控制系統/MIMO 系統

多輸入多輸出

具有多個輸入和/或多個輸出的系統被稱為多輸入多輸出系統，或簡稱為MIMO系統。 這與只具有單個輸入和單個輸出 (SISO) 的系統形成對比，例如我們之前討論過的系統。

狀態空間表示

如果本頁中的符號令你感到困惑，請參閱引言中的格式部分。

集中式和線性 MIMO 系統可以用狀態空間方程輕鬆描述。為了表示多個輸入，我們將輸入 u(t) 展開為一個具有所需輸入數量的向量 U(t)。類似地，為了表示具有多個輸出的系統，我們將 y(t) 展開為 Y(t)，它是一個包含所有輸出的向量。為了使這種方法起作用，輸出必須線性依賴於輸入向量和狀態向量。

$X'(t)=AX(t)+BU(t)$

$Y(t)=CX(t)+DU(t)$

示例：兩個輸入和兩個輸出

假設我們有兩個輸出 y₁ 和 y₂，以及兩個輸入 u₁ 和 u₂。它們在我們的系統中透過以下微分方程組相關聯

$y_{1}''+a_{1}y_{1}'+a_{0}(y_{1}+y_{2})=u_{1}(t)$

$y_{2}'+a_{2}(y_{2}-y_{1})=u_{2}(t)$

現在，我們可以這樣分配狀態變數，並生成一階微分方程

$x_{1}=y_{1}$

$x_{4}=y_{2}$

$x_{1}'=y_{1}'=x_{2}$

$x_{2}'=-a_{1}x_{2}-a_{0}(x_{1}+x_{4})+u_{1}(t)$

$x_{3}'=x_{4}$

$x_{4}'=-a_{2}(x_{4}-x_{1})+u_{2}(t)$

最後，我們可以將狀態空間方程組合起來

$x'={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-a_{0}&-a_{1}&0&-a_{0}\\0&0&0&1\\a_{2}&0&0&-a_{2}\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}x(t)$

傳遞函式矩陣

如果系統是 LTI 且集中引數，我們可以對狀態空間方程進行拉普拉斯變換，如下所示

${\mathcal {L}}[X'(t)]={\mathcal {L}}[AX(t)]+{\mathcal {L}}[BU(t)]$

${\mathcal {L}}[Y(t)]={\mathcal {L}}[CX(t)]+{\mathcal {L}}[DU(t)]$

這給我們帶來了結果

$s\mathbf {X} (s)-X(0)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)$

其中 X(0) 是系統狀態向量在時域中的初始條件。如果系統是鬆弛的，我們可以忽略這一項，但為了完整起見，我們將繼續推導它。

我們可以將狀態方程中的變數分離如下

$s\mathbf {X} (s)-A\mathbf {X} (s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

然後分解出一個X(s)

$\mathbf {[} sI-A]{X}(s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

然後我們可以將兩邊乘以[sI - A] 的逆矩陣，得到狀態方程

$\mathbf {X} (s)=[sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)$

現在，如果我們將此值代入我們上面給出的輸出方程，我們將得到一個更復雜的方程

$\mathbf {Y} (s)=C([sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s))+D\mathbf {U} (s)$

我們可以將矩陣C分配進去，得到我們的答案

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}X(0)+C[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)+D\mathbf {U} (s)$

現在，如果系統是鬆弛的，因此X(0)為0，這個方程的第一項就變為0。在這種情況下，我們可以從剩下的兩項中提取一個U(s)

$\mathbf {Y} (s)=(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

我們可以進行以下替換，得到傳遞函式矩陣，或者更簡單的說，傳遞矩陣，H(s)

[傳遞矩陣]

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

並根據傳遞矩陣將輸出方程改寫如下

[傳遞矩陣描述]

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

如果Y(s)和X(s)是1 × 1向量（SISO 系統），那麼我們就有了外部描述

$Y(s)=H(s)X(s)$

現在，由於X(s) = X(s)，以及Y(s) = Y(s)，那麼H(s)必須等於H(s)。這些只是描述相同方程、相同系統的兩種不同方式。

維度

如果我們的系統有q個輸入和r個輸出，那麼我們的傳遞函式矩陣將是一個r × q矩陣。

與傳遞函式的關係

對於SISO 系統，傳遞函式矩陣將簡化為傳遞函式，這可以透過對系統響應方程進行拉普拉斯變換得到。

對於 MIMO 系統，有n個輸入和m個輸出，傳遞函式矩陣將包含n × m個傳遞函式，其中每個條目都是每個單獨輸入和每個單獨輸出之間的傳遞函式關係。

透過對傳遞函式矩陣的推導，我們證明了拉普拉斯方法和狀態空間方法在表示系統方面的等效性。此外，我們還展示了拉普拉斯方法如何可以推廣以解決 MIMO 系統。在本解釋的其餘部分，我們將交替使用拉普拉斯方法和狀態空間方法，選擇在適當的時候使用其中一種方法。

零狀態和零輸入

如果我們有上面給出的完整的系統響應方程

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}\mathbf {x} (0)+(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

我們可以將其分成兩個獨立的部分

• $C[sI-A]^{-1}X(0)$零輸入響應。
• $(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$ 零狀態響應。

之所以這樣命名，是因為如果系統沒有輸入（零輸入），則輸出是系統對初始系統狀態的響應。如果系統沒有狀態，則輸出是系統對系統輸入的響應。完整的響應是無輸入系統的響應和無狀態的輸入的響應之和。

離散 MIMO 系統

在離散情況下，我們最終得到類似的方程，只是X(0) 初始條件項前多了z 變數。

$\mathbf {X} (z)=[zI-A]^{-1}zX(0)+[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)$

$\mathbf {Y} (z)=C[zI-A]^{-1}zX(0)+C[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)+D\mathbf {U} (z)$

如果X(0) 為零，該項就會消失，我們也可以在 Z 域中推匯出傳遞函式矩陣。

$\mathbf {Y} (z)=(C[zI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (z)$

[傳遞矩陣]

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

[傳遞矩陣描述]

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

示例：脈衝響應

對於數字系統，通常建議從狀態空間方程編寫脈衝響應方程。

$x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]$

$y[k]=Cx[k]+Du[k]$

我們可以使用係數矩陣A、B、C 和D 將這兩個方程合併成一個差分方程。為此，我們找到系統輸出向量Y[n] 與系統輸入向量U[n] 之比。

${\frac {Y(z)}{U(z)}}=H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$

因此，數字系統的系統響應可以透過脈衝響應方程得到，方法是

$Y(z)=H(z)U(z)$

我們可以透過以下 Z 變換將U(z) 設定為階躍輸入。

$u(t)\Leftrightarrow U(z)={\frac {z}{z-1}}$

將此代入我們的脈衝響應，我們得到階躍響應。

$Y(z)=(C(zI-A)^{-1}B+D)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

控制器設計

MIMO 系統的控制器設計比 SISO 系統更廣泛，也更復雜。Ackermann 公式，SISO 系統典型的全狀態反饋設計，不能用於 MIMO 系統，因為額外的輸入會導致一個超定系統。這意味著，在 MIMO 系統的情況下，反饋矩陣K是**不唯一的**。

控制器設計的幾種方法在MIMO 系統的特徵值分配一節中介紹。

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