控制系統/矩陣運算

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線性代數
和
工程分析

矩陣代數定律

矩陣必須是相容的大小才能使運算有效

加法

矩陣必須具有相同的維度（相同行數，相同列數）。矩陣加法是可交換的

$A+B=B+A$

乘法

矩陣必須具有相同的內部維度（第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數）。例如，如果矩陣 A 為 n × m，矩陣 B 為 m × k，那麼我們可以乘以

$AB=C$

其中 C 為 n × k 矩陣。矩陣乘法不可交換

$AB\neq BA$

由於不可交換，必須區分“左乘”和“右乘”。

除法

在矩陣代數中沒有除法，儘管乘以矩陣的逆矩陣執行相同的基本功能。要找到逆矩陣，矩陣必須是非奇異的，並且必須具有非零行列式。

轉置矩陣

矩陣的轉置，用

$X^{T}$

表示，是將 X 的行和列互換得到的矩陣。在某些情況下，矩陣的轉置用

$X'$

表示。當在單個等式中對大量矩陣使用上標 T 時，這種簡寫表示法會使用，否則表示法會變得過於擁擠。當本書中使用這種表示法時，導數將用

${\frac {d}{dt}}X(t)$

行列式

矩陣的行列式是一個標量值。它類似於標量的絕對值

$|X|$

如果矩陣是方陣，並且矩陣的行列式不為零，則矩陣具有逆矩陣。

逆矩陣

矩陣 A 的逆矩陣，我們在這裡用“B”表示，是任何滿足以下等式的矩陣

$AB=BA=I$

具有這種伴隨矩陣的矩陣被稱為“可逆矩陣”或“非奇異矩陣”。沒有滿足此等式的逆矩陣的矩陣稱為“奇異矩陣”或“不可逆矩陣”。

逆矩陣可以用多種不同的方法計算

1. 將矩陣 A 與相同大小的單位矩陣拼接。使用行變換使矩陣的左側成為單位矩陣。拼接矩陣的右側將是逆矩陣

   $[A|I]\to [I|B]$

2. 逆矩陣由伴隨矩陣除以行列式給出。伴隨矩陣是伴隨矩陣的轉置。

   $A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{|A|}}$

3. 逆矩陣可以從凱萊-哈密爾頓定理計算。

特徵值

矩陣的特徵值，用希臘字母 lambda λ 表示，是矩陣特徵方程的解

$|X-\lambda I|=0$

特徵值僅存在於方陣中。非方陣沒有特徵值。如果矩陣 X 是實矩陣，特徵值將全部為實數，或者將存在複共軛對。

特徵向量

矩陣的特徵向量是特徵方程的零空間解

$(X-\lambda _{i}I)v_{i}=0$

對於每個不同的特徵值，至少存在一個不同的特徵向量。特徵向量的倍數也是特徵向量。然而，線性無關的特徵值被稱為“非不同”特徵向量，可以忽略。

左特徵向量

左特徵向量是特徵方程的右手零空間解

$w_{i}(A-\lambda _{i}I)=0$

這些也是逆轉換矩陣的行。

廣義特徵向量

在重複特徵值的情況下，可能不存在與這些特徵值相關的完整的一組 *n* 個不同特徵向量（右或左特徵向量）。廣義特徵向量可以按如下方式生成

$(A-\lambda I)v_{n+1}=v_{n}$

由於廣義特徵向量是相對於另一個特徵向量或廣義特徵向量形成的，因此它們構成一個有序集，並且不應該在該順序之外使用。

變換矩陣

變換矩陣是所有特徵向量或廣義特徵向量有序集的矩陣

$T=[v_{1}v_{2}\cdots v_{n}]$

逆轉換矩陣是左特徵向量的矩陣

$T^{-1}={\begin{bmatrix}w_{1}'\\w_{2}'\\\cdots \\w_{n}'\end{bmatrix}}$

透過乘以轉換矩陣，可以對矩陣進行對角化

$A=TDT^{-1}$

或

$T^{-1}AT=D$

如果矩陣有一組不完整的特徵向量，因此有一組廣義特徵向量，則該矩陣無法對角化，但可以轉換為約旦標準型

$T^{-1}AT=J$

MATLAB

MATLAB 程式設計環境專門為矩陣代數和操作而設計。以下是關於如何在 MATLAB 中操作矩陣的簡要複習

加法

要將兩個矩陣加在一起，請使用加號（“+”）

C = A + B;

乘法

要將兩個矩陣相乘，請使用星號（“*”）

C = A * B;

如果您的矩陣尺寸不正確，MATLAB 將發出錯誤。

轉置

要查詢矩陣的轉置，請使用單引號（“’”）

C = A';

行列式

要查詢行列式，請使用det函式

d = det(A);

逆矩陣

要查詢矩陣的逆矩陣，請使用函式inv

C = inv(A);

特徵值和特徵向量

要查詢矩陣的特徵值和特徵向量，請使用eig命令

[E, V] = eig(A);

其中 E 是一個方陣，其對角線條目是 A 的特徵值，而 V 是由相應的特徵向量組成的矩陣。如果特徵值不不同，則特徵向量將重複。MATLAB 不會計算廣義特徵向量。

左特徵向量

要查詢左特徵向量，假設存在一組完整的不同右特徵向量，我們可以取特徵向量矩陣的逆矩陣

[E, V] = eig(A);
C = inv(V);

C 的行將是矩陣 A 的左特徵向量。

有關 MATLAB 的更多資訊，請參閱華夏公益教科書MATLAB 程式設計。

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