控制系統/噪聲驅動系統

噪聲驅動系統

系統通常不僅要處理控制輸入u，還要處理隨機噪聲輸入v。在某些學科中，例如在電信系統的研究中，噪聲和資料訊號可以加在一起形成一個複合輸入r = u + v。但是，在研究控制系統時，由於各種不同的原因，我們不能將這些輸入組合在一起

1. 控制輸入用於穩定系統，而噪聲輸入用於使系統不穩定。
2. 這兩個輸入是獨立的隨機變數。
3. 這兩個輸入可能以完全不同的方式作用於系統。

正如我們將在下一個示例中展示的那樣，將噪聲和控制輸入分開考慮通常是一個好主意

示例：考慮一輛正在移動的汽車。汽車的控制訊號包括作用於車輛車輪的加速（油門踏板）和減速（剎車踏板）輸入，並用於產生前進運動。系統的噪聲輸入可以包括風對汽車垂直面的推力、輪胎下方的粗糙路面（甚至泥土）、撞擊擋風玻璃的蟲子和碎屑等。正如我們所看到的，控制輸入作用於車輛的車輪，而噪聲輸入可以以不同的方式作用於車輛的多個側面。

機率複習

我們將在下面對基於微積分的機率做一個簡短的複習，重點關注我們將在本章其餘部分使用的主題。

期望

期望運算子E用於找到給定隨機變數的預期值或平均值。期望運算子定義為

$E[x]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)dx$

如果我們有兩個相互獨立的變數，則它們的乘積的期望為零。

協方差

協方差矩陣Q是隨機向量與其轉置的期望

$E[x(t)x'(t)]=Q(t)$

如果我們在不同的時間點取x轉置的值，我們可以計算出協方差為

$E[x(t)x'(s)]=Q(t)\delta (t-s)$

其中 δ 是脈衝函式。

噪聲驅動系統描述

我們可以定義包含噪聲向量v的系統的狀態方程

$x'(t)=A(t)x(t)+H(t)u(t)+B(t)v(t)$

為了普遍性，我們將討論時變系統的案例。時不變系統結果將是時變案例的簡化。此外，我們將假設v是高斯隨機變數。我們之所以這樣做，是因為物理系統通常近似於高斯過程，而且我們有一套龐大的數學工具可以用來處理這些過程。我們將假設我們的高斯過程均值為零。

平均系統響應

我們想了解我們的系統將如何響應新的噪聲輸入。每次系統迭代都將產生不同的響應，該響應隨噪聲輸入而變化，但所有這些迭代的平均值應該收斂於單個值。

對於控制輸入為零的系統，我們有

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

對於它，我們知道我們的通解給出為

$x(t)=\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

如果我們取這個函式的**期望值**，它應該給我們系統輸出的期望值。換句話說，我們希望透過新增一個新的噪聲輸入來確定系統的預期輸出將是什麼。

$E[x(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}]+E[\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau ]$

在這個等式的第二項中，φ 和 B 都不是隨機變數，因此它們可以從期望運算中移出。由於v 是零均值的，它的期望為零。因此，第二項為零。在第一個等式中，φ 不是隨機變數，但 x₀ 會導致x(t) 的輸出產生依賴關係，我們需要對其進行期望。這意味著

$E[x(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}]$

換句話說，系統的預期輸出平均而言是，如果沒有任何噪聲，輸出將是什麼樣的值。請注意，如果我們的噪聲向量v 不是零均值的，並且它不是高斯分佈的，這個結果將不成立。

系統協方差

我們現在將分析具有噪聲輸入的系統的協方差。我們將我們的系統解乘以它的轉置，並取期望值：（此等式很長，可能會分成多行）

$E[x(t)x'(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau ]$$E[(\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau )']$

如果我們逐項乘以這個，並取消期望值為零的期望，我們會得到以下結果

$E[x(t)x'(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}x_{0}']\phi '(t,t_{0})=P$

我們將這個結果稱為P，我們可以使用鏈式法則找到 P 的一階導數

$P'(t)=A(t)\phi (t,t_{0})P_{0}\phi (t,t_{0})+\phi (t,t_{0})P_{0}\phi '(t,t_{0})A'(t)$

其中

$P_{0}=E[x_{0}x_{0}']$

我們可以將其簡化為

$P'(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)+B(t)Q(t)B'(t)$

換句話說，我們可以分析系統 *而無需計算狀態轉移矩陣*。 這是件好事，因為計算狀態轉移矩陣通常非常困難。

替代分析

讓我們再次看看我們的通解

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

我們可能會遇到一個問題，因為在高斯分佈中，尤其是具有高方差的系統（尤其是具有無限方差的系統），*v* 的值可能會在短時間內變得未定義（接近無窮大），這會導致 *x* 的值在某些點同樣變得未定義。 這是不可接受的，並且使這個問題的進一步分析變得困難。 讓我們再看看我們原來的方程，其中控制輸入為零

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

我們可以將兩邊乘以 *dt*，得到以下結果

$dx=A(t)x(t)dt+B(t)v(t)dt$

這個新項，*dw*，是一個隨機過程，被稱為 **維納過程**，它是以這種方式變換高斯過程的結果。

我們可以定義一個新的微分，*dw(t)*，它是時間的無窮小函式，如

$dw(t)=v(t)dt$

現在，我們可以對該方程的兩邊進行積分

$x(t)=x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}A(\tau )x(\tau )d\tau +\int _{t_{0}}^{t}B(\tau )dw(\tau )$

然而，這將我們帶到一個不尋常的地方，也是我們（可能）沒有準備進一步深入的地方：在左邊第三項中，我們試圖相對於一個 *函式* 而不是一個 *變數* 進行積分。 在這種情況下，我們都熟悉的標準黎曼積分無法求解這個方程。 然而，有一些稱為 **伊藤微積分** 的高階技術可以求解這個方程，但這些方法目前超出了本書的範圍。

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