控制系統/非線性系統

非線性一般解

一般來說，非線性系統可以定義如下

$x'(t)=f(t,t_{0},x,x_{0})$

$x(t_{0})=x_{0}$

其中 f 是時間、系統狀態和初始條件的非線性函式。如果初始條件已知，我們可以將其簡化為

$x'(t)=f(t,x)$

這個方程的一般解（或我們在不知道 f 的形式的情況下可以陳述的最一般形式的解）由下式給出

$x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x)d\tau$

我們可以證明這是上述方程的一般解，因為當我們對兩邊求導時，我們得到了原始方程。

迭代法

非線性系統的一般解可以透過無限迭代的方法找到。我們將定義 x_n 為一組索引變數的迭代族。我們可以遞迴地定義它們如下

$x_{n}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{n-1}(\tau ))d\tau$

$x_{1}(t)=x_{0}$

我們可以證明以下關係是成立的

$x(t)=\lim _{n\to \infty }x_{n}(t)$

當 n 趨於無窮大時，x_n 方程組將收斂於方程的解。

非線性的型別

非線性可以分為兩種型別

1. 有意非線性：新增到系統中的非線性元素。例如：繼電器
2. 無意非線性：系統中已經存在的非線性行為。例如：飽和

線性化

非線性系統很難分析，因此分析這些系統最好的方法之一是找到系統的線性近似。通常，這些近似值只對某些工作範圍有效，而在某些邊界之外無效。找到非線性系統合適的線性近似過程稱為線性化。

此影像顯示了非線性系統響應（實線）的線性近似（虛線）。與大多數線性近似一樣，這種線性近似在一定範圍內是準確的，但在該範圍之外變得越來越不準確。注意曲線和線性近似如何在圖的右側發散。

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