控制系統/狀態反饋
系統的狀態空間模型是單個工廠的模型，而不是真正的反饋系統。將x'與x相關聯的反饋機制表示的是工廠內部的機制，其中工廠的狀態與其導數相關。因此，我們沒有A“元件”，因為我們不能用另一個A“晶片”來替換一個A“晶片”。整個狀態空間模型，包括A、B、C和D，都是一個裝置的一部分。通常，這些矩陣是不可變的，也就是說工程師無法改變它們，因為它們是工廠的固有組成部分。但是，如果工廠本身發生變化，例如透過熱效應和射頻干擾，這些矩陣可能會發生變化。
如果系統可以被視為基本上不可變的（除了工程師無法控制的影響外），那麼我們需要找到一種從外部修改系統的方法。從我們在經典控制中的研究中，我們知道最適合這種修改的系統是反饋迴路。我們最終想要做的是新增一個額外的反饋元件K，該元件可以用來將系統的極點移動到任何所需的位置。使用一種稱為“狀態反饋”的技術在一個可控系統上，我們就可以做到這一點。
在狀態反饋中，狀態向量的值被反饋到系統的輸入。我們定義一個新的輸入r，並定義以下關係
K是一個常數矩陣，它位於系統外部，因此可以修改它以調整系統極點的位置。這種技術只有在系統可控時才能起作用。
如果我們有一個外部反饋元件K，則稱該系統為閉環系統。如果沒有這個反饋元件，則稱該系統為開環系統。使用我們在上面概述的r和u之間的關係，我們可以寫出閉環系統的方程
現在，我們的閉環狀態方程似乎與我們的開環狀態方程具有相同的形式，只是(A + BK)的和替換了矩陣A。我們可以將閉環狀態矩陣定義為
Acl是閉環狀態矩陣，Aol是開環狀態矩陣。透過改變K，我們可以改變該矩陣的特徵值，從而改變系統極點的位置。如果系統是可控的，我們可以找到該系統的特徵方程為
計算行列式不是一項簡單的任務，該矩陣的行列式可能非常複雜，特別是對於較大的系統而言。但是，如果我們將系統轉換為可控規範型，則計算將變得容易得多。計算K的另一種方法是使用Ackermann公式。
考慮一個沒有參考輸入的線性反饋系統
其中K是增益元素的向量。這種形式的系統通常稱為調節器。請注意，此係統是我們上面介紹的系統的簡化版本，除了我們忽略了參考輸入。將其代入狀態方程得到
阿克曼公式（由 Jürgen Ackermann 提出）為我們提供了一種選擇增益值K的方法，以控制系統極點的分佈。如果系統是可控的，我們可以使用阿克曼公式為我們的調節器系統選擇任意極點。
[阿克曼公式]
其中，a(z)是系統期望的特徵方程，ζ是原始系統的可控性矩陣。
可以使用以下 MATLAB 命令，透過阿克曼公式計算增益K
K=acker(A, B, p);
其中，K 是狀態反饋增益，p 是期望的閉環極點位置。這種調節器的目標是將狀態向量驅動至零。透過使用參考輸入而不是線性狀態反饋，我們可以使用相同的想法將狀態向量驅動至任意狀態，並賦予系統任意極點。
上述系統使用線性反饋且沒有參考輸入，其目的是將系統狀態向量驅動至零。如果我們有一個系統參考輸入r，我們可以定義一個向量N作為我們狀態的期望值。這個組合輸入等於
其中，xr是我們希望狀態x達到的參考狀態。下面是一個使用這種狀態參考的系統框圖。
我們有增益矩陣K和參考輸入rN。從數學上，我們可以證明
在這個系統中，假設系統是 1 型或更高型別，我們可以證明
隨著時間趨於無窮大，狀態將逼近參考狀態。
參考輸入在連續域中使用以下公式計算
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}N_{x}\\N_{u}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd2d75cd7479ff1e1fe500364cb232e94d1d96)
以及
