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頁面 命題語言 簡要介紹了英語和 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 命題字母之間的翻譯。我們在這裡更詳細地看一下。

英語命題連線詞

在接下來的討論中，我們將假設將以下英語句子分配給 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 命題字母

$\mathrm {P} \,:\,\!$  2 是一個質數。

$\mathrm {Q} \,:\,\!$  2 是一個偶數。

$\mathrm {R} \,:\,\!$  3 是一個偶數。

非

將 $\lnot \,\!$ 翻譯成英語的規範方式是 “並非是……的情況”。根據上面的分配，

(1)    $\lnot \mathrm {P} \,\!$

翻譯成英語為

並非是 2 是一個質數的情況。

但我們通常用 “不是” 或在單詞末尾新增縮略詞 “n't” 來表達英語中的否定。因此 (1) 也可以翻譯成以下任何一種：

2 不是一個質數。

2 不是一個質數。

如果

將 $\rightarrow \,\!$ 翻譯成英語的規範方式是 “如果……那麼……”。因此

(2)    $\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

翻譯成英語為

(3)    如果 2 是一個質數，那麼 2 是一個偶數。

人們對規範翻譯提出了異議，我們的例子可能說明了這個問題。將 (3) 視為真可能看起來很奇怪；然而，我們的語義規則確實將 (2) 視為真（因為 $\mathrm {P} \,\!$ 和 $\mathrm {Q} \,\!$ 都是真的）。我們可能期望，如果一個條件語句及其前提為真，則結論為真，因為前提為真。也許我們期望一個一般規則

(4)    如果 x 是一個素數，那麼 x 是一個偶數

為真——但這條規則顯然是假的。無論如何，我們通常期望前提的真值（如果它確實是真）在某種程度上與結論的真值相關（如果結論確實是真）。(2) 是一個數字是素數與一個數字是偶數之間通常相關性的例外。

$\rightarrow \,\!$ 的條件語句 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 被稱為實質條件，以區別於嚴格條件或反事實條件。相關邏輯試圖定義一個滿足這些異議的條件語句。另請參閱斯坦福哲學百科全書關於相關邏輯的條目。

今天人們普遍接受，並非表示式的所有語言使用方面都是其語言意義的一部分。有些人認為，將“如果”解釋為實質條件的異議是基於會話含義，因此不是基於“如果”的意義。有關更多資訊，請參閱斯坦福哲學百科全書關於會話含義的條目。我們將採用這種觀點，因為它更多的是一種簡化假設，而不是其他什麼。我們也可以指出，為了有用，翻譯不必完全準確。即使我們的簡化假設是錯誤的，$\rightarrow \,\!$ 仍然是 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 中最接近“如果”的表示式。還應該注意的是，在數學陳述和證明中，數學家總是將“如果”用作實質條件。他們接受 (2) 和 (3) 作為彼此的翻譯，並且不認為將 (3) 視為真有任何奇怪之處。

“如果”可以出現在條件語句的開頭或中間。“那麼”可以省略。因此，以下兩者（除了 (3) 之外）都翻譯成 (2)。

如果 2 是一個素數，那麼 2 是一個偶數。

如果 2 是一個素數，那麼 2 是一個偶數。

蘊含

我們不將“蘊含”翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$。特別地，我們拒絕

2 是一個素數蘊含 2 是一個偶數。

因為它在語法上是不合法的，因此不能翻譯成 (2)。有關更多詳細資訊，請參閱蘊含部分的有效性。

當且僅當

英語

(5)    2 是一個素數當且僅當 2 是一個偶數

等價於英語

如果 2 不是一個偶數，那麼 2 不是一個素數。

反過來，這翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 為

(6)    $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} \,\!$

我們在條件語句部分的命題聯結詞的性質中看到，(6) 等價於

(7)    $\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

許多邏輯書籍將此作為 (5) 翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的首選翻譯。這允許使用方便的規則“如果”總是引入一個前提，而“當且僅當”總是引入一個結論。

與“如果”一樣，“當且僅當”可以出現在條件語句的第一個位置或中間位置。(5) 等價於

2 是一個素數當且僅當 2 是一個偶數。

只要

“只要”——以及類似的表達，如“鑑於”和“假設”——可以與“如果”等價使用。因此，以下每個都翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as (2)。

2 是一個偶數，只要 2 是一個質數。

2 是一個偶數，假設 2 是一個質數。

只要 2 是一個質數，2 就是一個偶數。

在“只要”前面加上“只有”，作用與在“如果”前面加上“只有”相同。因此，以下每個都翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as (6) 或 (7)。

2 是一個質數，只有當 2 是一個偶數的時候。

2 是一個質數，只有假設 2 是一個偶數的時候。

只有當 2 是一個偶數的時候，2 才是質數。

或者

將 $\lor \,\!$ 翻譯成英語的規範方法是“[…] 或者 […]”（其中“或者”是可選的）。因此

(8)    $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$

翻譯成英語為

(9)    2 是一個質數，或者 2 是一個偶數。

或者

2 是一個質數，或者 2 是一個偶數。

我們在 連線詞的可互定義性 部分看到了 可表達性，(8) 等價於

$\lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

就像對理解“如果”為 $\rightarrow \,\!$ 有異議一樣，對理解“或者”為 $\lor \,\!$ 也有類似的異議。我們再次做出簡化的假設，即我們可以忽略這些異議。

英語中的“或者”既有包含性的，也有——有點爭議地——排他性的用法。包含性或 當至少一個析取式為真時為真；排他性或 當且僅當只有一個析取式為真時為真。 $\lor \,\!$ 運算子與包含性用法相匹配。包含性用法在否定中尤為明顯。如果布什總統承諾不入侵伊朗或朝鮮，即使是最好的共和黨宣傳家也不會聲稱他可以透過入侵兩國來信守承諾。對 (9) 的排他性解讀翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as

$(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\land \lnot (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\,\!$

或者更簡單地（更不直觀地）為

$\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$

在英語中，可以使用“或者”來進行縮略。因此，(8) 翻譯為

2 既是一個質數，又是一個偶數。

同樣，

$\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

翻譯為

2 或者 3 是一個偶數。

除非

“除非”與“如果不是”意思相同。因此

(10)    $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \,\!$

翻譯為

(11)    除非 2 是偶數，否則 2 是質數

並且

(12)    除非 2 是偶數，否則 2 是質數。

我們在連詞的可互定義性部分的可表達性中看到，(10) 等價於 (8)。許多邏輯書籍將 (8) 作為將 (11) 或 (12) 翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的首選翻譯。

也不

在聯合否定部分的可表達性中，我們臨時將 $\downarrow \,\!$ 新增到 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 作為聯合否定的連詞。如果我們仍然可以使用該連詞，我們可以將

2 不是質數，也不是偶數

翻譯為

$\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} \,\!$.

然而，由於 $\downarrow \,\!$ 實際上並不在 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的詞彙中，我們需要改寫。以下任何一種都可行

(13)    $\lnot (\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\,\!$.

(14)    $(\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$.

與“或”一樣，也適用相同的縮寫。

2 既不是質數，也不是偶數

翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 作為 (13) 或 (14) 之一。類似地，

2 和 3 都不是偶數

翻譯成以下任一

$\lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$.

$(\lnot \mathrm {Q} \land \lnot \mathrm {R} )\,\!$.

並且

將 $\land \,\!$ 翻譯成英語的規範方式是“[...] 並且 [...]”（其中“both”是可選的）。因此

(15)    $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$

翻譯成英語為

2 是一個質數，2 也是一個偶數。

或者

2 既是質數，又是偶數。

我們將“和”翻譯成 $\land \,\!$ 並不特別有爭議。然而，“和”有時用來表達時間順序。這兩句話

她結婚了，然後懷孕了。

她懷孕了，然後結婚了。

通常聽起來很不一樣。

“和”與“或”具有相同的伸縮性。

2 既是質數，又是偶數。

翻譯成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 為（15）

2 和 3 都是偶數。

翻譯成英語為

$\mathrm {Q} \land \mathrm {R} \,\!$.

當且僅當

$\leftrightarrow \,\!$ 到英語的標準翻譯是“... 當且僅當 ...”。因此

(16)    $\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$

翻譯成英語為

2 是一個質數，當且僅當 2 是一個偶數。

英文句子

(17)    2 是一個質數，當且僅當 2 是一個偶數。

是

2 是一個質數，如果 2 是一個偶數，並且 2 是一個質數，只有當 2 是一個偶數。

的簡短形式，翻譯為

$(\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} )\land (\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} )\,\!$

或者更簡潔地，作為等效公式

(18)    $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} )\,\!$.

我們在 連線詞的可互定義性 部分看到了（18）等價於（16）。關於“如果”的物質解釋和非物質解釋的問題也適用於“當且僅當”。

當且僅當

數學家和其他專業人士有時使用“iff”作為“當且僅當”的縮寫形式。所以

2 是一個質數，iff 2 是一個偶數。

是（17）的縮寫，翻譯為（16）。