分形/複平面迭代/曼德勃羅集/MF點12

$F_{1/2}$ 家族的梅爾貝格-費根鮑姆點是什麼？

名稱

• MF = 梅爾貝格-費根鮑姆點
• 費根鮑姆點
• 週期倍增級聯的累積點

影像

• 
  朝費根鮑姆點放大
• 
  費根鮑姆點（紅色箭頭）是分岔點的極限
• 
  費根鮑姆點朱利亞集

屬性

梅爾貝格-費根鮑姆點是

• 引數平面上的一個點 c
• 一個米修列維奇點
• 一個雙可達點。這意味著它是兩條具有無理角度的外部射線的著陸點。射線根本不旋轉（沒有轉彎），因為如果米修列維奇點是一個實數，它根本不會轉彎
• 混沌（-2 < c < MF）和週期區域（MF< c < 1/4）之間的邊界點
• 累積點是圓盤中心的極限
• 它是週期-2ⁿ分量的分岔引數（根點 $c_{n}$）序列的極限。換句話說，週期倍增級聯在梅爾貝格-費根鮑姆點結束。
• 它是帶合併點 $m_{n}$ 序列的極限。換句話說，混沌帶的週期倍增級聯也從相反方向在 MF 點結束。

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=c_{\infty }=c_{F}$

$\lim _{n\to \infty }m_{n}=m_{\infty }=c_{F}$

費根鮑姆點的地址是什麼？

帶角度的內部地址:

$\mathbf {MF} _{1/2}{\xleftarrow {1/2}}....{\xleftarrow {1/2}}\ 16\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 8\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 4\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 2\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 1$

費根鮑姆點的值是多少？

梅爾貝格-費根鮑姆點

$\mathbf {MF} _{1/2}=c=-1.401155\ldots$

哪些外部射線落在梅爾貝格-費根鮑姆點上？

落在梅爾貝格-費根鮑姆點上的射線的外部角度 t 的十進位制值為（0.412454...，0.58755...）

如何計算外部射線的角度？

要計算角度，可以使用兩種方法

• 找到週期-2ⁿ分量的分岔引數（根點 $c_{n}$）序列的極限。
• 找到帶合併點 $m_{n}$ 序列的極限

如何計算落在分岔引數上的角度的極限？

候選上外部角透過使用替換（字串替換）獲得：0 -> 01 和 1 -> 10 重複

• 0
• 01
• 0110
• 01101001
• 0110100110010110
• ...

但尚不清楚射線是否實際上會落在上面；也許 M 在費根鮑姆點處不是區域性連通的，並且一些長的裝飾物正在將其遮蔽在外部射線之外。

可以使用 Maxima CAS 程式計算它

kill(all);
remvalue(all);

f(x):=if (x=0) then [0,1] else [1,0];
compile(all);

a:[];
a:endcons([0],a);

for n:2 thru 10 step 1 do (
   a:endcons([],a),
   for x in a[n-1] do (
      a[n]:endcons(first(f(x)),a[n]),
      a[n]:endcons(second(f(x)),a[n])),
      print(n,a[n])
);

如何計算週期的 n 倍分叉點？

• 複雜對映中週期 n 倍的普遍性，由 Predrag CVITANOVIC 和 Jan MYRHEIM 撰寫。物理快報 A，第 94 卷，第 8 期，1983 年 3 月 28 日，第 329-333 頁。
• 週期三倍
  • Golberg - Sinai - Khanin (GSK) 點 lGSK = 0.0236411685 + 0.7836606508i
  • 對應的臨界點（GSK 點）位於 λc = 0.0236411685377 + 0.7836606508052i 處，並以以下臨界指數 [2] 為特徵，即臨界乘數 µc，比例因子 α 和引數縮放常數 δ：
    • µc = −0.47653179 − 1.05480867i
    • α = −2.0969 + 2.3583i
    • δ = 4.6002 − 8.9812i
  • 在臨界點 GSK 附近，Mandelbrot 集的“葉”結構具有關於用複數因子 d=4.60022558 -8.98122473i 對 g-gGSK 進行重新縮放的尺度不變性。

縮放

• "一系列插圖，每個檢視都以費根鮑姆點為中心，放大倍數每次增加 4.6692（費根鮑姆常數）。細絲變得越來越密集，直到它們充滿視野。"

參考文獻

• 邏輯對映的累積點的十進位制展開。