曼德勃羅集的拓撲模型

Thurston 模型（抽象的曼德勃羅集）^[1]
- Lavaurs 演算法 ^[2]
- 抽象的曼德勃羅樹 ^[3]
仙人掌模型 ^[4]（轉到影像，其中包含演算法的原始碼和描述）
偽曼德勃羅集 = 沒有毛髮、細絲和原始雙曲分量的 M 集^[5]

Lavaurs 演算法

該演算法展示了

如何計算落在曼德勃羅集根點的外部射線的角度
如何繪製圖（圓上的層疊）顯示曼德勃羅集的結構

落在曼德勃羅集週期 p 分量的根點的外部角（以轉為單位，模 1）為

${\frac {n}{2^{p}-1}}$

弧線（弦）由以下部分組成：

落在相同根點的兩個外部角
根點。

名稱

二次次要層疊 = QML.
- 它是任何二次不變層疊的次要葉的集合。次要葉是層疊中最長葉的影像。^[6] 二次次要層疊的近似值僅包含週期性次要葉。
- 二次次要層疊 QML 包含樹枝狀二次多項式的次要標籤。
與曼德勃羅集相關的圓上層疊
抽象的曼德勃羅集（Thurston）
曼德勃羅集的捏合圓盤模型：在捏合（粘合）圓上所有由弧線連線的點之後。它是與曼德勃羅集同胚的空間^[7]

數學描述

繪製單位圓 $S^{1}$
用單位圓中垂直於邊界 $S^{1}$ 的弧線連線週期為二的角度：1/3 和 2/3
對於下一個週期，用弧線連線相同週期（第一和第二）的兩個角度，使得
- 沒有弧線交叉任何其他（先前的）弧線，
- 第一個角度是尚未連線的最小角度，第二個角度是尚未連線的下一個最小角度^[8]^[9]

週期 2
週期 3
週期 4
週期 5

程式設計師描述

在影像中間繪製以 (x0, y0) 為圓心、r0 為半徑的主圓
選擇週期，例如 p=3
計算角度對（以轉為單位）
對於每個角度對 (alpha,beta)，使用新圓的一部分繪製一條弧線，該圓在 2 個點 c1、c2 處與主圓正交^[10]^[11]

計算角度對

（待辦事項）

繪製連線角度的弧線

轉換角度單位

第一個單位是轉（角度對列表）

使用 ttr 函式

(defun ttr (turn)           
" Turns to Radians"
(* turn  (* 2 pi) ))

將它們轉換為弧度

(alpha (ttr ( first angle-list)))

計算交點

主圓 (x0,y0,r0) 和新的正交圓 (x,y,r) 有 2 個公共點

c1 = (a,b) = (x0 + r0 * cos(alpha) , y0 + r0 * sin(alpha))
c2 = (x0 + r0 * cos(beta) , y0 + r0 * sin(beta))

(ca (cos alpha))
(sa (sin alpha))
; first common point 
(a (+ x0 (* r0 ca))) ; a = x0 + r0 * cos(alpha)
(b (+ y0 (* r0 sa))) ; b = y0 + r0 * sin(alpha)

計算正交圓

半徑和圓心

在交點處，半徑 r0 和新半徑或正交圓也正交。新圓的圓心 (x,y) 位於透過點 (x0,y0) 且斜率由角度 gamma 定義的直線上。

gamma = alpha + (balpha - alpha)/2

(gamma (+ alpha (/ (- balpha alpha) 2))) ; angle between alpha and balpha

利用這些資訊，可以計算新的圓：(x,y,r)

新角度

我們有

主圓 (x0, y0, r0)
新圓 (x, y, r)
交點 c1 和 c2 及其角度：alpha 和 beta

因為圓弧將使用新圓繪製，所以必須計算（轉換）新角度（在新圓中測量的角度）。

點 c1 = (a,b) 在新圓單位中的角度。

 (phi  (atan r0 r))) ; phi = (new-alpha - new-balpha)
 (balha (+ pi gamma phi))  ; new balpha 
 (alpha (- (+ pi gamma) phi)) ; new alpha

繪製圓弧

這取決於可用的過程。

逐點繪製

最簡單的情況是從點 c1 到 c2 繪製圓弧。

Postscript

在 Postscript 中，有 arct 過程：^[12]

x1 y1 x2 y2 r arct

因此，在 Lisp 中，可以直接建立 ps 檔案並使用此過程。

; code by Copyright 2009 Rubén Berenguel
; http://www.mostlymaths.net/2009/08/lavaurs-algorithm.html
(defun DrawArc (alpha balpha R)
  "Generate the postscript arcs using arct 
   x1 y1 x2 y2 r arct "
  (format t "newpath ~A ~A moveto 300 300 ~A ~A ~A arct" 
	  (+ 300 (* 100 (cos balpha))) 
	  (+ 300 (* 100 (sin balpha)))
	  (+ 300 (* 100 (cos alpha))) 
	  (+ 300 (* 100 (sin alpha)))
	  R))

SVG

在 SVG 中，有橢圓弧曲線命令。^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]

它是路徑命令的一個版本，用於從當前點到 (x, y) 繪製橢圓弧。

橢圓的大小和方向由兩個半徑 (rx, ry) 和一個 x 軸旋轉定義，它指示橢圓整體相對於當前座標系的旋轉方式。

橢圓的中心 (cx, cy) 是自動計算的，以滿足其他引數施加的約束。

large-arc-flag 和 sweep-flag 有助於自動計算並幫助確定如何繪製圓弧。

rx ry x-axis-rotation large-arc-flag sweep-flag x y

<path d="M 100,100 a100,100 0 0,0 100,50" fill="none" stroke="red" stroke-width="6" />

<?xml version="1.0" standalone="no"?>
<svg width="800px" height="800px" version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <path d="M100 100
           A 100 100 0 0 0 162.55 162.45
           " stroke="black" fill="none" stroke-width="2" fill-opacity="0.5"/>
</svg>

SVG 路徑元素

M100 100 指定圓弧的絕對起點 (100,100)
A 100 100 表示此圓弧的長軸和短軸長度相同 = 100
0 0 0 分別是 x 軸旋轉、large-arc-flag 和 sweep-flag
162.55 162.45 是圓弧的終點

因此，可以透過像這樣向 svg 檔案寫入路徑命令來繪製圓弧。

(format stream-name "<path d=\"M~,0f ~,0f A~,0f ~,0f 0 0 0 ~,0f ~,0f\"  />~%" 
	(first arc-list)
	(second arc-list)
	(third arc-list)
	(third arc-list)
	(fourth arc-list)  ; 
 	(fifth arc-list))

請記住，SVG 中的**初始座標系**原點位於左上角，x 軸指向右側，y 軸指向下方。^[19]對於繪製所有圓弧，這可能並不重要，但帶有角度的標籤將不正確。

角到角繪製

這種情況比較困難，因為必須將角度從主圓轉換為新的正交圓。當角度轉換後，

將當前點移動到圓弧的第一個點（交點）。此處 c1 = (a,b)
繪製圓弧。順時針繪製圓弧比逆時針繪製更容易。

在 Vecto Common Lisp 包中，有 arcn 過程 ^[20]

(vecto:move-to ( sixth arc-list) (seventh arc-list)) ; beginning of arc is point (a,b)
(vecto:arcn
	( first arc-list)  ; x
	(second arc-list)  ; y
	(third arc-list)   ; radius
	(fourth arc-list)  ; angle1
 	(fifth arc-list))) ; angle2

 (vecto:stroke)

程式碼示例

Common Lisp 程式碼
- 用於由 Ruben Berenguel 繪製 poscript 檔案^[21]
- 用於使用 Vecto 包繪製 png 檔案
- 用於繪製 svg 檔案
Claude Heiland-Allen 編寫的帶有 SVG 輸出的 Haskell 程式碼
來自程式 Mandel by Wolf Jung 第 4 頁第 7 頁的 c++ 程式碼

參考文獻

↑ 曼德勃羅集中的組合學 - Lavaurs 演算法
↑ Lavaurs 演算法用 Lisp 實現 by Ruben Berenguel
↑ 抽象曼德勃羅樹
↑ 曼德勃羅仙人掌
↑ Burns A M : : 繪製逃逸 - 曼德勃羅集中拋物線分叉的動畫。數學雜誌：第 75 卷，第 2 期，第 104-116 頁，第 104 頁
↑ Freddie Exall : 等價交配簡介
↑ A. DOUADY，計算曼德勃羅集中角度的演算法（混沌動力學和分形，由 Barnsley 和 Demko 編輯，Acad. Press，1986 年，第 155-168 頁）。
↑ Lavaurs，P.，“M 在奇數分母有理數上定義的內卷的組合描述”，C. R. Acad. Sci. Paris 303（1986），143-146。
↑ 曼德勃羅集中的組合學 - Lavaurs 演算法
↑ 從耶魯大學的分形幾何構建正交圓
↑ planetmath.org 上的正交圓
↑ Postscript 運算子
↑ SVG 文件：橢圓弧曲線命令
↑ svg 基礎圓弧描述
↑ 橢圓弧實現說明
↑ Mozilla 開發者中心路徑
↑ Pilat Informative Educative 圓弧
↑ O'Reilly 文件
↑ 初始座標系 - w3.org 上的 SVG 文件
↑ Zach Beane 編寫的 Vecto Common Lisp 包中的 arcn 過程。
↑ Ruben Berenguel 的 Lavaurs 演算法

另請參閱

層疊
Julia 集的層疊
圓的無交叉劃分

Mandelbrot 集的拓撲模型（反映物件的結構）。沒有迷你 Mandelbrot 集和 Misiurewicz 點的 Mandelbrot 集的拓撲模型（仙人掌模型）
分形旋轉裁剪
Mandelbrot 集的灌木模型

[1] 曼德勃羅集中的組合學 - Lavaurs 演算法

[2] Lavaurs 演算法用 Lisp 實現 by Ruben Berenguel

[3] 抽象曼德勃羅樹

[4] 曼德勃羅仙人掌

[5] Burns A M : : 繪製逃逸 - 曼德勃羅集中拋物線分叉的動畫。數學雜誌：第 75 卷，第 2 期，第 104-116 頁，第 104 頁

[6] Freddie Exall : 等價交配簡介

[7] A. DOUADY，計算曼德勃羅集中角度的演算法（混沌動力學和分形，由 Barnsley 和 Demko 編輯，Acad. Press，1986 年，第 155-168 頁）。

[8] Lavaurs，P.，“M 在奇數分母有理數上定義的內卷的組合描述”，C. R. Acad. Sci. Paris 303（1986），143-146。

[9] 曼德勃羅集中的組合學 - Lavaurs 演算法

[10] 從耶魯大學的分形幾何構建正交圓

[11] tmath.org 上的正交圓

[12] Postscript 運算子

[13] SVG 文件：橢圓弧曲線命令

[14] svg 基礎圓弧描述

[15] 橢圓弧實現說明

[16] Mozilla 開發者中心路徑

[17] Pilat Informative Educative 圓弧

[18] O'Reilly 文件

[19] 初始座標系 - w3.org 上的 SVG 文件

[20] Zach Beane 編寫的 Vecto Common Lisp 包中的 arcn 過程。

[21] Ruben Berenguel 的 Lavaurs 演算法

[1]

[2]

[3]

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