分形/展開

展開是平面變換的一個例子

名稱

• 包裹和展開
• 滾動和展開
  • 曲線
  • 表面
• 摺疊和展開
• 莫比烏斯變換

示例

圓形

• 展開單位圓的周長以檢視它的長度
• "展開這些圓形會填充一個底邊為 2 π r、高為 r 的三角形（其中 r 是填充圓盤的半徑）。這樣的三角形面積為 π r²。這不能作為圓形面積為什麼是這樣的完整證明，但可以讓你對為什麼應該這樣有一些直觀的認識。" Matthen

展開單位圓（半徑為 1 的圓）周長的動畫。由於 C = 2πr，單位圓的周長為 2π.

影像魔法：

convert sun.jpg +distort DePolar 0 result.jpg

橢圓形

• 滾動不同維度的橢圓形以測量它們的周長

心臟線

要展開心臟線，請執行以下操作

• 心臟線到圓形的轉換
• 展開圓形

歷史

• 1988 年：海因茨·奧托·佩特根、迪特瑪·索普、尤瓦爾·費舍爾，以及在“分形影像的科學”這本書中另外 5 人：“沿著心臟線的一個區域被連續放大和拉伸，使得心臟線的相應段變成一條線段。... 我們的放大係數是根據所有磁碟在圖 4.22 中都具有相同尺寸的結果來選擇的。”
• Linas Vepstas 2000 年
• Claude Heiland-Allen 2013 年

圖片

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演算法

展開曼德勃羅集主心臟線的兩個步驟：莫比烏斯對映和共形對映

此影像是使用克勞德·海蘭德-艾倫描述的算法制作的

The main idea here is choose 3 points on the base image (P0, P1, Pinf) which define a circle, and map them respectively to 0., 1., inf. ( Geoffroy Billotey) 

海因茨·奧托·佩特根 和 D. Saupe 的名為“分形影像的科學”的書中第 204-205 頁上的圖 4.22 中有描述

沿著心臟線的一個區域被連續放大和拉伸，使得心臟線的相應段變成一條線段。... 我們的放大係數是根據所有磁碟在圖 4.22 中都具有相同尺寸的結果來選擇的。

從線到圓的一半再到心臟線一半的變換

有 3 個複平面

• k 平面（克勞德·海蘭德-艾倫符號中的線所在位置）
• w 平面（圓所在位置）
• c 平面（用於心臟線）

從 k 平面到 c 平面的兩個步驟

• 使用莫比烏斯變換 fi 從 k 平面轉到 w 平面
• 使用共形對映 gi 從 w 平面轉到 c 平面

$w=f_{i}(k)$

$c=g_{i}(w)$

因此

$c=g_{i}(f_{i}(k))$

Maxima CAS 原始碼

z(%i1) k:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) fi(k):=(-%i-k)/(%i-k);
(%o2) fi(k):=−%i−k/%i−k
(%i3) gi(w):=w/2-w*w/4;
(%o3) gi(w):=w/2−(w*w)/4
(%i4) gfi(k):=gi(fi(k));
(%o4) gfi(k):=gi(fi(k))
(%i5) c:gfi(k)$

如何從 k 計算 c，而無需使用 CAS

(%i6)  ratsimp(realpart(c));
(%o6) (y^4−4*y^3+(2*x^2+2)*y^2+(4−4*x^2)*y+x^4+6*x^2−3)/(4*y^4−16*y^3+(8*x^2+24)*y^2+(−16*x^2−16)*y+4*x^4+8*x^2+4)
(%i7) ratsimp(imagpart(c));
(%o7) −(2*x*y−2*x)/(y^4−4*y^3+(2*x^2+6)*y^2+(−4*x^2−4)*y+x^4+2*x^2+1)

使用一些已知值檢查 gfi 函式

(%i8) gfi(0);
(%o8) −3/4
(%i12) gfi(%i/3);
(%o12) −2

與之比較

• shadertoy：樹木在呼吸，作者 jld
• shadertoy：曼德爾帶，作者 jid
• 曼德勃羅集 - 海馬谷中 P/Q 肢體的收斂進化，作者 izaytsev0
• 大象（演示 2 第 10 頁）？“只在一個小區域上進行旋轉和重新縮放，而不是進行非線性變換”。請參見沃爾夫·榮格編寫的程式 Mandel 演示 2 第 10 頁
• 曼德勃羅芽和枝，作者 Timothy Chase
• Fractalshades 示例：莫比烏斯對映

另請參閱

• 維基百科中的迴圈展開
• 克勞德製作的二次茱莉亞集緩慢交配