交通/選擇模型基礎

模式選擇分析是傳統四步交通預測模型的第三步，在出行生成和目的地選擇之後，路線選擇之前。雖然出行分配的區域間互動分析產生了出行起源-目的地（OD）表，表明出行將在哪裡發生，但模式選擇分析允許建模者確定將使用哪種交通方式。

非聚集旅行需求模型

旅行需求理論在交通生成附錄中介紹。該領域的核心是一組模型，這些模型是在 Stan Warner 1962 年（城市旅行中的模式戰略選擇：二元選擇研究）的工作之後發展起來的。使用 CATS 的資料，Warner 研究了使用生物學和心理學模型的分類技術。從 Warner 和其他早期研究人員開始，非聚集需求模型出現了。分析是非聚集的，因為個人是觀察的基本單位，但又是聚集的，因為模型產生了一組描述人口選擇行為的單一引數。行為進入是因為該理論利用了來自經濟學的消費者行為概念和來自心理學的某些選擇行為概念。加州大學伯克利分校的研究人員（尤其是 Daniel McFadden，因其貢獻獲得了諾貝爾經濟學獎）和麻省理工學院 (Moshe Ben-Akiva)（以及與 MIT 相關的諮詢公司，尤其是劍橋系統公司）發展了後來被稱為選擇模型、直接需求模型 (DDM)、隨機效用模型 (RUM) 或其最常用形式，多項式 Logit 模型 (MNL) 的模型。

選擇模型引起了很多關注和研究；國際旅行行為研究協會的會議記錄了這些模型的演變。這些模型在現代交通規劃和交通工程教科書中都有論述。

快速模型開發的一個原因是人們的切實需要。人們正在提出一些系統（尤其是交通系統），而這些系統中沒有使用轉向曲線中的經驗資料。選擇模型允許比較兩種以上的替代方案以及替代方案屬性的重要性。人們普遍希望有一種分析技術，這種技術更少依賴於聚合分析，並且具有更大的行為內容。此外，選擇模型也具有吸引力，因為選擇模型具有邏輯和行為根源，這些根源可以追溯到 1920 年代，以及凱爾文·蘭卡斯特的消費者行為理論、效用理論和現代統計方法的根源。

Logit 模型

Logit 模型廣泛用於各種形式的交通預測，它最早由 Daniel McFadden 提出。Logit 模型指出，選擇某種模式的機率與 $e$ 乘以效用成正比，而與 $e$ 乘以效用之和成正比。

$P_{m}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {e^{u_{ijm}}}{\sum {e^{u_{ijm}}}}}{\rm {}}\,\!$

對於任何 Logit 模型，所有模式的機率之和將等於 1。

$1{\rm {}}={\rm {}}\sum {P_{m}}{\rm {}}\,\!$

Logit 模型還指出，如果在系統中新增新的交通方式（或取消交通方式），那麼原始交通方式將失去（或獲得）的出行量與其最初的份額成正比。

Logit 模型的步驟

計算每個 OD 對和模式的效用
計算每個 OD 對和模式的指數化效用
對每個 OD 對的指數化效用求和
計算每個模式的每個 OD 對的機率
將每個 OD 對的機率乘以每個 OD 對的出行次數

心理根源

Distribution of perceived weights — 感知權重的分佈

早期心理學研究涉及典型的實驗：這裡有兩個物體，它們的重量分別是 $w_{1}$ 和 $w_{2}$ ，哪個更重？從這樣的實驗中發現，重量差異越大，正確選擇的機率就越大。類似於右圖的圖形將產生結果。

路易斯·利昂·瑟斯頓 (Louis Leon Thurstone) 在 1920 年代提出，感知重量

$w=v+e$ ,

其中 $v$ 是真實重量，而 $e$ 是隨機的，並且具有 $E(e)=0.$

假設 $e$ 服從正態獨立同分布（NID），就產生了二元機率模型。

計量經濟學公式

經濟學家處理的是效用而不是物理重量，他們說

觀察到的效用 = 平均效用 + 隨機項。

在這種情況下，效用指的是從做出特定選擇或消費商品或服務中獲得的總滿足感（或幸福感）。

必須考慮物件的特徵 x，因此我們有

u(x) = v(x) + e(x)。

如果我們遵循瑟斯頓的假設，我們又會得到一個機率模型。

另一種選擇是假設誤差項獨立同分布，並服從威布林、古姆貝爾 I 型或雙指數分佈（它們非常相似，並且在尾部（更厚）與正態分佈略有不同）。這會產生多項式 logit 模型 (MNL)。丹尼爾·麥克法登認為，威布林分佈與其他可能使用的分佈相比具有理想的屬性。其中，誤差項服從正態獨立同分布。logit 模型僅僅是選擇一種模式的機率與不選擇該模式的機率的對數比。

\log \left({\frac {P_{i}}{1-P_{i}}}\right)=v(x_{i})\,\!

請注意 logit 模型與我們之前估計的 S 曲線之間的數學相似性，儘管這裡的共享隨著效用而不是時間的增加而增加。使用選擇模型，我們解釋了使用某種模式的旅行者比例（或者說單個旅行者使用某種模式的機率乘以旅行者數量）。

與 S 曲線的比較表明，隨著效用的增加，模式（或技術）會被採用，而效用隨著時間的推移會因多種原因而增加。首先，因為效用本身是網路效應的函式，使用者越多，服務就越有價值，與加入網路相關的效用就越高。其次，因為效用隨著使用者成本下降而增加，當固定成本可以在更多使用者之間分攤時（另一種網路效應），就會發生這種情況。第三，技術進步會隨著時間的推移以及使用者數量的增加而發生，從而降低相對成本。

效用表示式的示例如下

\log \left({\frac {P_{A}}{1-P_{A}}}\right)=\beta _{0}+\beta _{1}\left({c_{A}-c_{T}}\right)+\beta _{2}\left({t_{A}-t_{T}}\right)+\beta _{3}I+\beta _{4}N=v_{A}\,\!

其中

P_i = 選擇模式 i 的機率。

P_A = 選擇汽車的機率

c_A,c_T = 汽車、公交的成本

t_A,t_T = 汽車、公交的出行時間

I = 收入

N = 旅行者數量

透過代數運算，該模型可以轉換為其最常用的形式

{\frac {P_{A}}{1-P_{A}}}=e^{v_{A}}\,\!

P_{A}=e^{v_{A}}-P_{A}e^{v_{A}}\,\!

P_{A}\left({1+e^{v_{A}}}\right)=e^{v_{A}}\,\!

P_{A}={\frac {e^{v_{A}}}{1+e^{v_{A}}}}\,\!

可以對該模型的估計和使用發表兩個相互矛盾的意見

它就像“紙牌屋”，
但在技術嫻熟且有思想的分析師手中，它很有用。

“紙牌屋”問題主要源於模型規範的效用理論基礎。總體而言，效用理論假設（1）使用者和供應商對市場擁有完美的資訊；（2）他們具有確定性函式（面對相同的選擇，他們始終會做出相同的選擇）；以及（3）在替代方案之間切換是無成本的。這些假設與人們已知的行為並不十分相符。此外，由於沒有通用的效用尺度，因此無法跨人群聚合效用。

假設一個選項的淨效用為u_jk（選項k，人j）。我們可以想象它有一個系統部分v_jk，該部分是物件和人j特性的函式，加上一個隨機部分e_jk，它代表了品味、觀測誤差以及一大堆其他因素（這裡變得模糊不清）。（例如，汽車本身並沒有效用，是汽車的特性具有效用。）引入e 使我們能夠進行一些聚合。如上所述，我們認為可觀察效用是以下函式：

v_{A}=\beta _{0}+\beta _{1}\left({c_{A}-c_{T}}\right)+\beta _{2}\left({t_{A}-t_{T}}\right)+\beta _{3}I+\beta _{4}N\,\!

其中，每個變數都代表汽車旅行的一個特徵。值β₀被稱為替代方案特定常數。大多數建模者說它代表了方程式中遺漏的特徵（例如，一種模式的政治正確性，如果我乘坐公交，我會感到道義上的正義，因此β₀對於汽車來說可能是負的），但它包含了使誤差項NID 所需的一切。

計量經濟學估計

Figure: Likelihood Function for the Sample {1,1,1,0,1}. — 圖：樣本 {1,1,1,0,1} 的似然函式。

現在轉到一些技術問題，我們如何估計v(x)？效用 (v(x)) 是不可觀察的。我們所能觀察到的只是選擇（例如，測量為 0 或 1），我們想討論的是選擇機率，範圍從 0 到 1。（如果我們對 0 和 1 進行迴歸，我們可能會測量j 的機率為 1.4 或 -0.2 的乘坐汽車。）此外，誤差項的分佈將沒有合適的統計特徵。

MNL 方法是對這種函式形式進行最大似然估計。似然函式是

L^{*}=\prod _{n=1}^{N}{f\left({y_{n}\left|{x_{n},\theta }\right.}\right)}\,\!

我們求解估計引數

{\hat {\theta }}\,\!

使 L* 最大化。當

{\frac {\partial L}{\partial {\hat {\theta }}_{N}}}=0\,\!

對數似然更容易處理，因為乘積變成了求和

\ln L^{*}=\sum _{n=1}^{N}{\ln f\left({y_{n}\left|{x_{n},\theta }\right.}\right)}\,\!

考慮 John Bitzan 的《運輸經濟學筆記》中採用的一個例子。令X 為二元變數，以機率 (1- gamma) 為gamma 和 0。那麼 f(0) = (1- gamma) 且 f(1) = gamma。假設我們有 5 個關於 X 的觀測值，得到樣本 {1,1,1,0,1}。要找到gamma 的最大似然估計，請檢查gamma 的各種值，並針對這些值確定繪製樣本 {1,1,1,0,1} 的機率。如果gamma 取值為 0，則繪製我們樣本的機率為 0。如果gamma 為 0.1，則得到我們樣本的機率為：f(1,1,1,0,1) = f(1)f(1)f(1)f(0)f(1) = 0.1*0.1*0.1*0.9*0.1=0.00009。我們可以在gamma 的範圍內計算得到我們樣本的機率——這就是我們的似然函式。logit 模型中 n 個獨立觀測值的似然函式是

L^{*}=\prod _{n=1}^{N}{P_{i}^{Y_{i}}}\left({1-P_{i}}\right)^{1-Y_{i}}\,\!

其中：Y_i = 1 或 0（例如，選擇汽車或不選擇汽車）和 Pi = 觀察 Yi=1 的機率。

因此，對數似然為

\ell =\ln L^{*}=\sum _{i=1}^{n}{\left[{Y_{i}\ln P_{i}+\left({1-Y_{i}}\right)\ln \left({1-P_{i}}\right)}\right]}\,\!

在二項式（兩個選擇）logit 模型中，

P_{auto}={\frac {e^{v(x_{auto})}}{1+e^{v(x_{auto})}}}\,\!

，所以

\ell =\ln L^{*}=\sum _{i=1}^{n}{\left[{Y_{i}v(x_{auto})-\ln \left({1+e^{v(x_{auto})}}\right)}\right]}\,\!

對數似然函式透過將偏導數設為零來最大化

{\frac {\partial \ell }{\partial \beta }}=\sum _{i=1}^{n}{\left({Y_{i}-{\hat {P}}_{i}}\right)=}0\,\!

以上是現代 MNL 選擇模型的本質。

無關選擇獨立性（IIA）

無關選擇獨立性是 Logit 的一個屬性，但並非所有離散選擇模型都具有該屬性。簡而言之，IIA 的含義是，如果你新增一個模式，它將按現有模式的份額比例從現有模式中提取。（同樣，如果你刪除一個模式，它的使用者將按其先前份額的比例切換到其他模式）。為了瞭解為什麼該屬性可能會導致問題，請考慮以下示例：假設在我們的 logit 模式選擇模型中，我們有七種模式（單獨駕駛、拼車 2 人、拼車 3 人以上、步行到公交、駕車到公交（停車換乘）、駕車乘客到公交（kiss and ride）、步行或騎腳踏車）。如果我們取消 Kiss and Ride，可能會有不成比例的人使用停車換乘或拼車。

再舉個例子。假設在駕駛和乘坐紅色巴士之間進行模式選擇，目前兩者各佔 50% 的份額。如果我們引入另一種模式，我們稱之為藍色巴士，其屬性與紅色巴士相同，那麼 logit 模式選擇模型將給每種模式 33.3% 的市場份額，換句話說，巴士將總共佔據 66.7% 的市場份額。邏輯上，如果模式是真正相同的，它就不會吸引任何額外的乘客（雖然可以想象新增容量會增加巴士模式的份額，特別是在巴士容量受限的情況下）。

有幾種策略可以幫助解決 IIA 問題。巢狀選擇可以幫助我們減少這個問題。但是，巢狀結構存在問題。其他替代方案包括更復雜的模型（例如混合 Logit），這些模型更難估計。

迴歸本質

以上討論基於經濟學家的效用公式。在 MNL 模型開發時，人們對心理學家對選擇的研究（例如， Luce 在其 1959 年的《個人選擇行為》一書中討論的 Luce 選擇公理）也有一些關注。它在計算過程建模中有一個分析方面。重點是如何人們在做出選擇或解決問題時思考（見 Newell 和 Simon 1972）。換句話說，與效用理論相反，它強調的不是選擇本身，而是選擇的方式。它為出行選擇和涉及長期和短期記憶、效應器以及其他思維和決策過程方面的活動議程提供了一個概念框架。它採取規則的形式，處理資訊搜尋和處理的方式。雖然在交通工作中有很多關注行為分析，但現代心理學中最棒的想法才剛剛開始進入該領域。（例如 Golledge、Kwan 和 Garling 1984；Garling、Kwan 和 Golledge 1994）。

例子

示例 1：模式選擇模型

TProblem

問題

給定一個出行方式選擇模型 $U_{ijm}=-0.412(C_{c}/w)-0.0201*C_{ivt}-0.0531*C_{ovt}-0.89*D_{1}-1.78D_{3}-2.15D_{4}\,\!$

其中

$C_{c}/w\,\!$ = 出行方式成本（美分）/ 工資率（每分鐘美分）
$C_{ivt}\,\!$ = 車內旅行時間（分鐘）
$C_{ovt}\,\!$ = 車外旅行時間（分鐘）
$D\,\!$ $D\,\!$ = 出行方式特定虛擬變數：（虛擬變數取值為1或0）
- $D_{1}$ = 自駕，
- $D_{2}$ = 步行接駁公交，[基準出行方式]
- $D_{3}$ = 汽車接駁公交，
- $D_{4}$ = 拼車

給出這些輸入

'	自駕	步行接駁公交	汽車接駁公交	拼車
t = 車內旅行時間（分鐘）	10	30	15	12
t0 = 車外旅行時間（分鐘）	0	15	10	3
$D_{1}$ = 自駕，	1	0	0	0
$D_{2}$ = 步行接駁公交，[基準出行方式]	0	1	0	0
$D_{3}$ = 汽車接駁公交，	0	0	1	0
$D_{4}$ = 拼車	0	0	0	1
成本	25	100	100	150
工資率	60	60	60	60

最終的出行方式份額是多少？

示例

解決方案

輸出	1: 自駕	2: 步行接駁公交	3: 汽車接駁公交	4: 拼車	總計
效用	-1.26	-2.09	-3.30	-3.58
EXP(V)	0.28	0.12	0.04	0.03
P(V)	59.96%	26.31%	7.82%	5.90%	100%

解釋

時間價值

$.0411/2.24=\$0.0183/min=\$1.10/hour$

（1967年美元，當時的工資率約為2.85美元/小時）

這意味著，如果你能以低於1.10美元/小時/人的成本改善旅行時間（例如透過增加公交線路、減少交通瓶頸），那麼從社會角度來看這是值得的。

示例2：出行方式選擇模型解讀

在一個確定性世界中，考慮到以下事實，一個完全理性的、完全知情的旅行者會選擇哪種出行方式？

TProblem

情況1

'	公交	汽車	引數
Tw	10分鐘	5分鐘	-0.147
Tt	40分鐘	20分鐘	-0.0411
C	$2	$1	-2.24

汽車總是勝出（只要所有引數都小於0，就與引數無關）

TProblem

情況2

'	公交	汽車	引數
Tw	5分鐘	5分鐘	-0.147
Tt	40分鐘	20分鐘	-0.0411
C	$2	$4	-2.24
結果	-6.86	-10.51

在觀察到的引數下，公交總是勝出，但在所有引數下不一定如此。

需要注意的是，個體在引數方面存在差異。我們可以引入社會經濟特徵和其他可觀察特徵，以及隨機誤差項，使問題更接近現實。

示例問題

問題 (解決方案)
問題 (解決方案)

附加問題

變數

$U_{ijm}$ - 從i到j通過出行方式m的效用
$D_{n}$ = 出行方式特定虛擬變數：（虛擬變數取值為1或0）
$P_{m}$ = 模式 m 的機率
$C_{c}/w$ = 模式成本（美分）/ 工資率（每分鐘美分）
$C_{ivt}$ = 車內旅行時間（分鐘）
$C_{ovt}$ = 車外旅行時間（分鐘）
$D_{n}$ = 出行方式特定虛擬變數：（虛擬變數取值為1或0）

縮略語

WCT - 步行接駁公交
ADT - 汽車接駁公交（獨自駕駛/停車換乘）
APT - 汽車接駁公交（汽車乘客/接送）
AU1 - 汽車駕駛員（無乘客）
AU2 - 汽車 2 名乘客
AU3+ - 汽車 3+ 名乘客
WK/BK - 步行/騎行
IIA - 無關選擇的獨立性

關鍵術語

出行方式選擇
Logit 模型
機率
無關選擇的獨立性 (IIA)
虛擬變數（取值為 1 或 0）

影片

參考文獻

Garling, Tommy Mei Po Kwan 和 Reginald G. Golledge。家庭活動安排，交通研究，22B，第 333-353 頁。1994 年。
Golledge。Reginald G.，Mei Po Kwan 和 Tommy Garling，“家庭出行決策的計算過程建模”，區域科學論文集，73，第 99-118 頁。1984 年。
Lancaster, K.J.，消費者理論的新方法。政治經濟學雜誌，1966 年。74(2): 第 132-157 頁。
Luce, Duncan R. (1959)。個人選擇行為，理論分析。紐約，Wiley。
Newell, A. 和 Simon, H. A. (1972)。人類問題解決。新澤西州英格伍德懸崖：普倫蒂斯-霍爾。
Ortuzar, Juan de Dios 和 L. G. Willumsen 的交通建模。第三版。Wiley 和 Sons。2001 年，
Thurstone, L.L. (1927)。比較判斷法。心理評論，34，278-286。
Warner, Stan 1962 城市旅行中的出行方式戰略選擇：二元選擇研究