交通訊號燈 交通訊號 是人們熟悉的交叉口控制方式之一。透過固定或自適應的訊號排程，交通訊號燈允許交叉口的部分割槽域通行，同時阻止其他區域通行，並透過一套彩色訊號燈（通常為標準的紅-黃（琥珀色）-綠燈格式）向駕駛員傳遞指令。交通訊號的幾個目的包括：（1）提高整體安全性，（2）減少透過交叉口的平均旅行時間，以及（3）使所有或大多數交通流的服務質量均衡。交通訊號燈提供有序的交叉口交通通行，能夠靈活應對交通流的變化，並可以優先處理某些交通流或車輛，例如緊急服務車輛。然而，它們可能會在非高峰時段增加延誤，並增加某些事故的發生機率，例如追尾事故。此外，如果配置不當，可能會造成駕駛員煩躁。對於繁忙的交叉口，交通訊號燈通常是一種被廣泛接受的交通控制方式，並且仍在不斷部署。其他交叉口控制策略包括標誌（停車和讓行）和環島。車流量大的交叉口可以採用立交橋。
交通訊號可以是預定時的、半感應的或全感應的。預定時的交叉口具有固定的迴圈週期。這易於實施，但在某些交叉口可能會導致過度延誤。半感應交叉口在支路設有車輛探測器。當車輛在支路上接近時，探測器會收到訊號，將訊號燈轉換為綠燈。在全感應交叉口中，所有路徑都設有探測器。每個相位都有一個初始綠燈時間間隔，為正在通行的車輛提供透過交叉口的時間。如果路徑上的探測器檢測到有車輛透過交叉口，則這個初始時間將延長。如果在一定時間內沒有車輛透過交叉口，訊號燈將會改變。這被稱為“間隙結束”。當綠燈時間達到最大限度後，即使還有車輛透過交叉口，訊號燈也會改變。這被稱為“最大限度結束”。
典型訊號排程和交通流示意圖，南北跨市（1929）摘自交通控制計劃訊號定時排程，1929 年 6 月 15 日。嘗試“綠波”：市場上 8.5 英里/小時；50 瓦拉區：南北 10.5 英里/小時，東西 14.5 英里/小時；100 瓦拉區：南北 14.5 英里/小時，東西 20.5 英里/小時。 在某些路徑被禁止通行的交叉口，排隊現象不可避免。在各種排隊模型中，D/D/1 排隊模型是最常見和最簡單的模型之一。該模型假設到達和離開是確定的 (D)，並且存在一個離開通道。D/D/1 模型非常直觀，易於求解。使用這種形式的排隊，到達率為 λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu }
一個重要的資訊是給定路徑的排隊持續時間。這個時間值可以透過以下公式計算：
t c = ρ r 1 − ρ {\displaystyle t_{c}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\rho r}{1-\rho }}\,\!}
其中
t c {\displaystyle t_{c}} ρ {\displaystyle \rho } r {\displaystyle r} 有了這個，就可以計算出各種與排隊相關的比例。第一個是確定迴圈週期中出現排隊的比例。
P q = r + t c C {\displaystyle P_{q}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {r{\rm {}}+{\rm {}}t_{c}}{C}}{\rm {}}\,\!}
其中
P q {\displaystyle P_{q}} C {\displaystyle C} 同樣，可以計算出停止車輛的比例。
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = r + t C C = P q {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {r+t_{C}}{C}}=P_{q}\,\!}
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = μ t C λ C = t C ρ C {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {\mu t_{C}}{\lambda C}}={\frac {t_{C}}{\rho C}}\,\!}
其中
P s {\displaystyle P_{s}} g {\displaystyle g} 因此，可以找到佇列中的最大車輛數。
Q max = λ r {\displaystyle Q_{\max }{\rm {}}={\rm {}}\lambda r\,\!}
已經提出了各種孤立交叉口交叉口延誤模型，將排隊論與各種到達率和放電時間的經驗觀察相結合（Webster 和 Cobbe 1966；Hurdle 1985；Hagen 和 Courage 1992）。幹線上的交叉口是更復雜的現象，包括訊號進展和相鄰交叉口之間佇列溢位等因素。延誤分為兩部分：均勻延誤 ，這是如果到達模式均勻，將發生的延誤；以及溢位延誤 ，是由到達模式的隨機變化引起的，當到達率超過交叉口服務流量一段時間時，就會出現這種延誤。
瞭解到達率、離開率和紅燈時間可以計算延誤。從圖形上看，總延誤是所有佇列在它們存在的期間的乘積。
D t = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\rm {}}\,\!}
類似地，可以計算每個週期的平均車輛延誤。
d a v g = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) 1 λ C {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}{\rm {}}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\frac {1}{\lambda C}}{\rm {}}\,\!}
d a v g = r 2 2 C ( 1 − ρ ) {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\frac {r^{2}}{2C\left({1-\rho }\right)}}\,\!}
由此，可以找到任何車輛的最大延誤。
d max = r {\displaystyle d_{\max }{\rm {}}={\rm {}}r\,\!}
為了評估訊號化交叉口的效能，基於定量效能指標評估了一個稱為服務水平 (LOS) 的定性評估。對於 LOS，使用的效能指標是每輛車的平均控制延誤。確定 LOS 的一般程式是計算車道組容量、計算延誤，然後進行判斷。
車道組容量可以透過以下公式計算
c = s g C {\displaystyle c=s{\frac {g}{C}}\,\!}
其中
c {\displaystyle c} s {\displaystyle s} g {\displaystyle g} C {\displaystyle C} 因此，車輛平均控制延誤可以透過將前面提到的各種延誤型別加總來計算。
d = ( d 1 ( P F ) ) + d 2 + d 3 {\displaystyle d=(d_{1}(PF))+d_{2}+d_{3}\,\!}
如果您的交叉路口是 D/D/X： d = ( ( d 1 ( P F ) ) + d 3 {\displaystyle d=((d_{1}(PF))+d_{3}}
這是因為沒有隨機到達。
如果您的交叉路口是 M/D/X： d = ( d 1 ( P F ) ) + d 2 + d 3 {\displaystyle d=(d_{1}(PF))+d_{2}+d_{3}}
您可能認為由於交叉路口是 M/D/X，因此不會有確定性到達，但是，這是不正確的。d_1 可以被認為是交叉路口的基線。
其中
d {\displaystyle d} d 1 {\displaystyle d_{1}} D T {\displaystyle D_{T}} P F {\displaystyle PF} d 2 {\displaystyle d_{2}} d 3 {\displaystyle d_{3}} 均勻延誤可以透過以下公式計算： d 1 = 0.5 C ( 1 − g C ) 2 1 − [ min ( 1 , X ) g C ] {\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}\,\!}
其中
X {\displaystyle X} 類似地，可以計算隨機延誤
d 2 = 900 T [ ( X − 1 ) + ( X − 1 ) 2 + 8 k I X c T ] {\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]\,\!}
其中
T {\displaystyle T} k {\displaystyle k} I {\displaystyle I} 溢位延時通常僅適用於人口稠密的城市走廊，因為在此情況下，排隊車輛有時會溢位到前一個交叉路口。由於這種情況並不常見（通常是交叉路口時序不良、交通需求突然增加或緊急車輛經過區域所導致），因此在簡單問題中通常不會考慮溢位延時。
可以針對特定方向或車道組的單個車輛計算延時。可以使用以下公式計算方向 A 上每輛車的平均延時。
d A = ∑ i d i v i ∑ i v i {\displaystyle d_{A}={\frac {\sum \limits _{i}{d_{i}v_{i}}}{\sum \limits _{i}{v_{i}}}}\,\!}
其中
d A {\displaystyle d_{A}} d i {\displaystyle d_{i}} v i {\displaystyle v_{i}} 然後可以計算整個交叉路口每輛車的平均延時。
d I = ∑ A d A v A ∑ A v A {\displaystyle d_{I}={\frac {\sum \limits _{A}{d_{A}v_{A}}}{\sum \limits _{A}{v_{A}}}}\,\!}
其中
d I {\displaystyle d_{I}} d A {\displaystyle d_{A}} v A {\displaystyle v_{A}} 對於車道組運動的任何組合，一個車道組將在特定相位期間決定必要的綠燈時間。這個車道組稱為關鍵車道組。該車道組具有最高的交通強度（v/s），並且每個相位的綠燈時間的分配是基於該比率的。
關鍵車道組的流量比率之和可用於計算合適的迴圈週期長度。
Y c = ∑ i = 1 n ( v s ) c i {\displaystyle Y_{c}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\frac {v}{s}}\right)}_{ci}\,\!}
其中
Y c {\displaystyle Y_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} n {\displaystyle n} 類似地，迴圈週期的總損失時間也是迴圈週期長度計算中的一個要素。
L = ∑ i = 1 n ( t L ) c i {\displaystyle L=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({t_{L}}\right)_{ci}}\,\!}
其中
L {\displaystyle L} ( t L ) c i {\displaystyle (t_{L})_{ci}} 迴圈長度是透過將各個相位長度相加計算出來的。使用前面的公式作為輔助，可以很容易地計算出車道組流量和相位計劃所需的最小迴圈長度。
C m i n = L ∗ X c X c − ∑ i = 1 n Y i {\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}\,\!}
其中
C m i n {\displaystyle C_{min}} X c {\displaystyle X_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} n {\displaystyle n} 此等式計算出交叉口在可接受水平下執行所需的最小迴圈長度，但它不一定能使車輛平均延遲最小化。通常存在一個更最佳化的迴圈長度，可以使平均延遲最小化。Webster (1958) 提出了一個用於計算迴圈長度的等式，該等式旨在使車輛延遲最小化。下面列出了這個最佳迴圈長度公式。
C o p t = [ ( 1.5 L ) + 5 ] ( 1.0 − ∑ i = 1 n Y i ) {\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
其中
C o p t {\displaystyle C_{opt}} 確定迴圈長度後，下一步是確定分配給每個相位的綠燈時間。存在多種綠燈時間分配策略。其中一種較為流行的策略是將綠燈時間分配到關鍵車道組中，使 v/c 比率相等化。同樣，也可以使用綠燈時間的預定值找到 v/c 比率。
X i = v i c i = v i s i ∗ g i / C = v i / s i g i / C {\displaystyle X_{i}={\frac {v_{i}}{c_{i}}}={\frac {v_{i}}{s_{i}*g_{i}/C}}={\frac {v_{i}/s_{i}}{g_{i}/C}}\,\!}
其中
X i {\displaystyle X_{i}} 瞭解迴圈長度、損失時間和 v/s 比率後，就可以找到交叉口的飽和度。
X c = ∑ v i s i C C − L {\displaystyle X_{c}=\sum {{\frac {v_{i}}{s_{i}}}{\frac {C}{C-L}}}\,\!}
其中
X c {\displaystyle X_{c}} 由此，可以計算出所有相位的總有效綠燈時間。
∑ g i = ∑ v i s i C X c = C − L {\displaystyle \sum {g_{i}}=\sum {{\frac {v_{i}}{s_{i}}}{\frac {C}{X_{c}}}}=C-L\,\!}
另一種計算給定迴圈的有效紅燈和綠燈時間的方法是最小化路口的總延誤。假設路口控制基於 D/D/1 排隊，可以使用上述總延誤方程。由於訊號燈將包含至少兩個或更多個方向，因此必須計算每個方向的總延誤，然後將它們加在一起以確定路口的總延誤。對於有兩個方向的交通燈 a 和 b 的路口
D t = λ a r a 2 2 ( 1 − ρ a ) + λ b r b 2 2 ( 1 − ρ b ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda _{a}r_{a}^{2}}{2\left({1-\rho _{a}}\right)}}+{\rm {}}{\frac {\lambda _{b}r_{b}^{2}}{2\left({1-\rho _{b}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
此外，有效紅燈時間等於迴圈長度減去其他方向的有效綠燈時間。
C = r a + g a {\displaystyle C{\rm {}}=r_{a}+g_{a}{\rm {}}\,\!}
g a = r b {\displaystyle g_{a}{\rm {}}=r_{b}{\rm {}}\,\!}
將上述兩個迴圈長度和有效紅燈時間方程代入總延誤方程，就可以用一個紅燈時間變數來表示。
D t = λ a r a 2 2 ( 1 − ρ a ) + λ b ( C − r a ) 2 2 ( 1 − ρ b ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda _{a}r_{a}^{2}}{2\left({1-\rho _{a}}\right)}}+{\rm {}}{\frac {\lambda _{b}(C-r_{a})^{2}}{2\left({1-\rho _{b}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
對上述方程求導並令其等於零，就可以計算出最小有效紅燈時間。然後，可以使用上述兩個包含迴圈長度的方程來計算其他方向的有效紅燈時間和每個方向的有效綠燈時間。
問題 問題
一個預定訊號燈控制的路口的一個進路，到達率為 0.1 veh/sec，飽和流量為 0.7 veh/sec。在一個 60 秒的迴圈中，給出了 20 秒的有效綠燈時間。假設 D/D/1 排隊，對路口進行分析。
示例 解決方案
交通強度， ρ {\displaystyle \rho }
ρ = λ μ = 0.1 0.7 = 0.14 {\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {0.1}{0.7}}=0.14\,\!}
紅燈時間為 40 秒（C - g = 60 - 20）。其餘感興趣的值很容易找到。
有效綠燈開始後排隊清理時間
t c = ρ r 1 − ρ = 0.14 ( 40 ) 1 − 0.14 = 6.51 s {\displaystyle t_{c}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\rho r}{1-\rho }}={\frac {0.14(40)}{1-0.14}}=6.51\ s\,\!}
排隊佔迴圈比例
P q = r + t c C = 40 + 6.51 60 = 0.775 {\displaystyle P_{q}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {r{\rm {}}+{\rm {}}t_{c}}{C}}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {40{\rm {}}+{\rm {}}6.51}{60}}{\rm {}}=0.775\,\!}
車輛停止比例
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = 0.1 ( 40 + 6.51 ) 0.1 ( 40 + 20 ) = 0.775 {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {0.1\left({40+6.51}\right)}{0.1\left({40+20}\right)}}=0.775\,\!}
佇列中車輛最大數量
Q max = λ r = 0.1 ( 40 ) = 4 {\displaystyle Q_{\max }{\rm {}}={\rm {}}\lambda r={\rm {}}0.1(40)=4\,\!}
每個迴圈的總車輛延誤
D t = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) = 0.1 ( 40 2 ) 2 ( 1 − 0.14 ) = 93 v e h − s {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {0.1(40^{2})}{2\left({1-0.14}\right)}}{\rm {}}=93veh-s\,\!}
每輛車的平均延誤
d a v g = r 2 2 C ( 1 − ρ ) = ( 40 ) 2 2 ( 60 ) ( 1 − 0.14 ) = 15.5 s {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\frac {r^{2}}{2C\left({1-\rho }\right)}}={\frac {(40)^{2}}{2(60)\left({1-0.14}\right)}}=15.5\ s\,\!}
任何車輛的最大延誤
d max = r = 40 s {\displaystyle d_{\max }{\rm {}}={\rm {}}r={\rm {}}40\ s\,\!}
問題 問題
計算一個 60 秒迴圈週期的十字路口在特定條件下的平均進場延誤，該十字路口有 20 秒的綠燈時間，v/c 比為 0.7，前進中性狀態（PF=1.0），並且沒有交叉口溢位延誤（溢位延誤）的可能性。假設交通流量考慮高峰 15 分鐘期間，車道容量為 840 輛/小時，並且該十字路口是孤立的。
示例 解決方案
均勻延誤
d 1 = 0.5 C ( 1 − g C ) 2 1 − [ min ( 1 , X ) g C ] = 0.5 ( 60 ) ( 1 − 20 60 ) 2 1 − [ min ( 1 , 0.7 ) 20 60 ] = 17.39 s {\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}={\frac {0.5(60)\left({1-{\frac {20}{60}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,0.7}\right){\frac {20}{60}}}\right]}}=17.39\ s\,\!}
隨機延誤
T = 0.25 {\displaystyle T=0.25\,\!}
X = 0.7 {\displaystyle X=0.7\,\!}
k = 0.5 {\displaystyle k=0.5\,\!}
I = 1.0 {\displaystyle I=1.0\,\!}
c = 840 {\displaystyle c=840\,\!}
d 2 = 900 T [ ( X − 1 ) + ( X − 1 ) 2 + 8 k I X c T ] = 900 ( 0.25 ) [ ( 0.7 − 1 ) + ( 0.7 − 1 ) 2 + 8 ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.7 ) 840 ( 0.25 ) ] = 4.83 s {\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]=900(0.25)\left[{\left({0.7-1}\right)+{\sqrt {\left({0.7-1}\right)^{2}+{\frac {8(0.5)(1)(0.7)}{840(0.25)}}}}}\right]=4.83\ s\,\!}
溢位延誤
溢位延誤為零，因為假設沒有溢位。
d 3 = 0 {\displaystyle d_{3}=0\,\!}
總延誤
d = d 1 ( P F ) + d 2 + d 3 = 17.39 ( 1 ) + 4.83 + 0 = 22.22 s {\displaystyle d=d_{1}(PF)+d_{2}+d_{3}=17.39(1)+4.83+0=22.22\ s\,\!}
平均總延誤為 22.22 秒。
問題 問題
已知關鍵 v/c 比為 0.9，兩個關鍵方向的 v/s 比為 0.3，損失時間為 15 秒，計算橡樹街和華盛頓大道的交叉路口的最小和最佳迴圈長度。
示例 解決方案
最小迴圈長度
C m i n = L ∗ X c X c − ∑ i = 1 n Y i = 15 ∗ 0.9 [ 0.9 − ( 2 ( 0.3 ) ) ] = 45 s {\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}={\frac {15*0.9}{[0.9-(2(0.3))]}}=45\ s\,\!}
最佳迴圈長度
C o p t = [ ( 1.5 L ) + 5 ] ( 1.0 − ∑ i = 1 n Y i ) = 1.5 ( 15 ) + 5 1.0 − 2 ( 0.3 ) = 68.75 s {\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}={\frac {1.5(15)+5}{1.0-2(0.3)}}=68.75\ s\,\!}
最小迴圈長度為 45 秒，最佳迴圈長度為 68.75 秒。
問題
為什麼訊號交叉口不能比無訊號交叉口執行得更有效率？
解決方案
每次訊號變化帶來的固有損失時間是浪費的時間，而在無訊號交叉口不會出現這種浪費。這對西方世界來說可能很令人驚訝，因為那裡有很多交通訊號燈，但實際上有些交叉口在沒有任何控制的情況下也能很好地運作。YouTube 上有一個著名的影片展示了印度的一個無訊號交叉口，司機們在繁忙而混亂的環境中也能平穩高效地行駛。[ 1]
問題 (解決方案 )
作業
t c {\displaystyle t_{c}} ρ {\displaystyle \rho } r {\displaystyle r} P q {\displaystyle P_{q}} P s {\displaystyle P_{s}} c {\displaystyle c} s {\displaystyle s} g {\displaystyle g} C {\displaystyle C} d {\displaystyle d} d 1 {\displaystyle d_{1}} P F {\displaystyle PF} d 2 {\displaystyle d_{2}} d 3 {\displaystyle d_{3}} X {\displaystyle X} T {\displaystyle T} k {\displaystyle k} I {\displaystyle I} d A {\displaystyle d_{A}} d i {\displaystyle d_{i}} v i {\displaystyle v_{i}} d I {\displaystyle d_{I}} v A {\displaystyle v_{A}} Y c {\displaystyle Y_{c}} ( v / c ) c i {\displaystyle (v/c)_{ci}} n {\displaystyle n} C m i n {\displaystyle C_{min}} X c {\displaystyle X_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} C o p t {\displaystyle C_{opt}} X i {\displaystyle X_{i}} X c {\displaystyle X_{c}} 延誤
總延誤
平均延誤
均勻延誤
隨機延誤
溢位延誤
迴圈週期長度
v/c 比
v/s 比
飽和流量率
紅燈時間
有效綠燈
最小迴圈長度
最佳迴圈長度
關鍵車道組
飽和度
前進調整因子
損失時間
排隊 使用 STREET 網站 上的 GAME 軟體瞭解如何協調交通訊號以減少延誤。
使用 STREET 網站 上的 OASIS 軟體研究在給定有關時間相關車輛到達的資訊時訊號如何變化。
Hagen, Lawrence T. and Courage, Kenneth. (1992). “Comparison of Macroscopic Models for Signalized Intersection Analysis.” Transportation Research Record. 1225: 33-44.
Hurdle, V. F. (1982). “Signalized Intersections: A Primer for the Uninitiated.” Transportation Research Record 971:96-105.
Webster, F.V. (1958). Traffic Signal Settings. Road Research Technical Paper No. 39. London: Great Britain Road Research Laboratory.
Webster, F.V. and Cobbe, B. M. (1966). Traffic Signals. Road Research Technical Paper No. 56. HMSO London UK. 
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![{\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a1debf65437ab2b7240edaa3498eed59b73595)
![{\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d55f58926047a0c8a8efde50fe57cb57f98702)
![{\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5fb008a4ab0954cf160026ef7366e808e17d64)
![{\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}={\frac {0.5(60)\left({1-{\frac {20}{60}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,0.7}\right){\frac {20}{60}}}\right]}}=17.39\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df3fae1546f2b52b1e5c441f0c7435d5451c9a)
![{\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]=900(0.25)\left[{\left({0.7-1}\right)+{\sqrt {\left({0.7-1}\right)^{2}+{\frac {8(0.5)(1)(0.7)}{840(0.25)}}}}}\right]=4.83\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e91e58fdf3e777253e94a695de2c5b6c3bbf4f1)
![{\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}={\frac {15*0.9}{[0.9-(2(0.3))]}}=45\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379482f182dfb16c068a516d31dd22a8c49b40b6)
![{\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}={\frac {1.5(15)+5}{1.0-2(0.3)}}=68.75\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a98bb11a945e4d400e0c3be26c6d8c4c9da8cdb)
