廣義相對論/逆變和協變指標

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秩和維數

現在我們已經討論了張量，我們需要弄清楚如何對它們進行分類。一個重要的特徵是張量的秩，它是指定張量所需的索引數量。一個普通的矩陣是一個秩為 2 的張量，一個向量是一個秩為 1 的張量，一個標量是秩為 0 的張量。一般來說，張量可以具有大於 2 的秩，而且通常確實如此。

張量的另一個特徵是張量的維數，它是每個索引的計數。例如，如果我們有一個包含 3 行的矩陣，每行有 4 個元素（列），那麼該矩陣是一個維數為 (3,4) 或等效地維數為 12 的張量。

秩和維數的重要之處在於它們在座標系的變化下是不變的。您可以隨意更改座標系，秩和維數不會改變。這引發了一個重要的問題，即當您更改座標系時，張量如何變化。當我們研究這個問題時，我們會發現實際上有兩種不同型別的向量。

逆變和協變向量

想象一下，您正在以每小時 1000 公里的速度向東飛行，或者沿著正 x 軸飛行。我們將您的速度向量稱為v。現在，我們將向量保持為一維。突然，您意識到您處於米的情緒中，因此我們想弄清楚您以米為單位的速度有多快。快速更改您的座標系，您發現您正在以每小時 1000 * 1000 = 1000 000 米的速度向東飛行。我們將此向量稱為v'。沒問題。

現在您決定爬升，您注意到溫度正在變化。然後我們繪製一張地圖，顯示當我們飛行時溫度如何變化。然後我們沿著最陡峭的上升路徑或最快冷卻路徑飛行。在我們當前的位置，溫度以每公里向東 10 攝氏度的速度下降。讓我們將此溫度梯度向量稱為w。同樣，您進入米的情緒。快速計算後，您發現溫度變化的梯度為 -10/1000 = -.01 攝氏度/米。我們將此向量稱為w'。

您注意到什麼有趣的事情了嗎？

即使我們談論的是兩個向量，但我們在更改座標時對它們的處理方式卻截然不同。在第一種情況下，向量對座標變化的反應是乘法。也就是說，v'=k•v。在第二種情況下，我們進行了一個除法：w'=1/k•w。在第一種情況下，我們正在改變一個距離/某物的向量，而在第二種情況下，向量是某物/距離。這些是兩種截然不同的向量型別。下面的圖形描繪了表示v、v'、w 和w'的向量。

第一組向量，代表速度，是逆變的；當比例從公里變為米時，向量的長度會增加。第二組向量，代表溫度梯度，是協變的；當比例從公里變為米時，向量的長度也會減小。

第一種向量的數學術語稱為逆變向量。第二種向量型別稱為協變向量。有時協變向量被稱為一形式。

試圖更充分地解釋

很容易看出為什麼w 被稱為協變。協變僅僅意味著w 所度量的特徵（溫度變化）隨著沿座標系位移的增加而增加。換句話說，您離固定點越遠，溫度變化就越大，或者等效地，溫度變化與位移變化協變。

雖然有點難以理解，但v 被稱為逆變的原因恰恰相反。由於v 代表速度或距離/單位時間，我們可以將v 視為時間/單位距離的倒數，這意味著在走完一定固定距離時經過的時間量。時間/單位距離顯然是協變的，因為您離固定點越遠，經過的時間就越多。換句話說，時間與位移協變。由於速度是時間/單位距離的倒數，因此速度一定是逆變的。

這種差異在度量單位中也很明顯。v 的度量單位是米/小時，而w 的度量單位是攝氏度/米。座標系是空間中的位置，以米為單位測量。因此，我們再次看到座標系出現在v 的分子中，這表明v 是逆變的（在這種情況下是時間的倒數），而座標系出現在w 的分母中，這表明w 是協變的（與溫度變化有關）。

逆變向量描述的是那些距離單位出現在分子中的量（如速度），而協變向量是那些距離單位出現在分母中的量（如溫度梯度）。

當然，這些只是花哨的數學名稱。正如我們所見，逆變向量和協變向量彼此非常不同，我們希望避免將它們混淆。為此，數學家想出了一個巧妙的表示法。逆變向量的分量用上標表示，而協變向量的分量用下標表示。因此，向量v 的分量為v¹ 和v²，而向量w 的分量為w₁ 和w₂。

尺度不變性

現在我們有了逆變向量和協變向量，我們可以做一些非常有趣的事情並將它們結合起來。我們有一個逆變向量來描述我們前進的方向和速度。我們有一個協變向量來描述溫度變化的速率和方向。如果我們使用點積將它們組合起來

$f\ \ =\ \ \mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

dT/dt = 1000 · -10 = -10000 攝氏度/小時

我們得到了溫度變化率f，當我們在某個方向上移動時，其單位為攝氏度/小時。f 的單位的有趣之處在於它們不包含任何距離單位，如米或公里。因此，現在假設我們更改座標系，從米更改為公里。f 如何變化？

$f\ \ =\ \ \mathbf {v'} \cdot \mathbf {w'}$

dT/dt = 100,0000 · -.01 = -10000 攝氏度/小時

它沒有。我們稱這種特徵為尺度不變性，我們說f 是一個尺度不變量。f 的值在座標系尺度的變化下是不變的。

到目前為止，我們一直將w 視為一種奇怪型別的向量。但有一種更強大的方法來思考w。看看我們剛剛做了什麼。我們取v，將它與w 結合起來，得到了一個在您更改座標系時不會更改的東西。現在，一種思考方式是說w 是一個函式，它接受v 並將其轉換為一個尺度不變的值f。直白地說，w 將是接受任何粒子的速度併產生該粒子每小時經歷的溫度變化的函式（對於前面宣告的特定溫度場）。

向量空間和基向量

這種事實，即協變向量，如w，可以將任何逆變向量，如v，轉換為尺度不變值，如f，概括為說w 是一個線性泛函。

讓我們更精確地解釋“像”這個詞。數學運算，例如將一種型別的向量轉換為另一種型別的向量，是在向量空間中進行的。有關向量空間的詳細定義，請參閱向量空間。簡單地說，我們可以說向量空間是一組可以相加並乘以數字的向量，其結果始終是同一個向量空間中的另一個向量。

我們定義$V$ 為逆變向量，如v的向量空間。

然後，所有協變向量，如w的集合，它將v中的向量從$V$轉換為標量，如f，我們也可以將其稱為所有線性泛函w的集合$V$，可以被命名為$V^{*}$，我們稱之為對偶空間。

$V^{*}$ 也是一個向量空間。請記住，我們可以將w視為向量或函式，這取決於我們希望強調其哪些屬性。

現在，我們可以更仔細地解釋“像”這個詞，說明w和v必須是哪個空間的成員：$V^{*}$（稱為協變向量或1-形式）中的任何向量w都可以將$V$（稱為逆變向量）中的任何向量v轉換為一個尺度不變的值，如f。（我們沒有說明f是哪個空間或集合的成員：在實踐中，我們通常只對f作為實數集合的成員感興趣。）

任何向量空間都有一組基向量。也就是說，如果$\mathbf {v} \in V$，那麼$\mathbf {v}$ 可以寫成$\sum _{\alpha }v^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }$ 其中，

• ${\alpha }$ 是一個從 1 到$\mathbf {v}$ 的維度進行索引的指標。
• 集合 {$\mathbf {e} _{\alpha }$} 是向量空間$\mathbf {V}$ 的基向量。
• $v^{\alpha }$ 是一個常數。

請注意，儘管逆變向量的分量用上標（“上標”）表示，但基向量用下標（“下標”）表示。如果集合 {$\mathbf {e} _{\alpha }$} 是 $V$ 的基底，那麼 $\mathbf {v} \in V$ 可以寫成線性組合 $\mathbf {v} =v^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$。（我們使用愛因斯坦求和約定，詳見 下一節；這是一種簡寫形式，代表 $\sum _{\mu }v^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$。）

在討論協變向量之前，我們必須定義 **對偶基** 的概念。請記住，$V^{*}$ 的元素是 $V$ 上的線性泛函。因此，我們可以將協變向量“作用”於逆變向量以得到一個標量。例如，如果 $\mathbf {\sigma } \in V^{*}$ 並且 $\mathbf {v} \in V$，那麼 $\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )$ 將返回一個標量。現在，對偶基定義如下：如果 {$\mathbf {e} _{\alpha }$} 是 $V$ 的基底，那麼對偶基是 $V^{*}$ 的基底 {$\mathbf {\omega ^{\alpha }}$}，滿足 $\mathbf {\omega } ^{\mu }(\mathbf {e} _{\nu })=\delta _{\nu }^{\mu }$ （其中 $\delta _{\nu }^{\mu }$ 是 克羅內克δ）對於每個 $\mu$ 和 $\nu$ 成立。

現在，協變向量的分量用下標（“下標”）表示。由於 {$\mathbf {\omega ^{\alpha }}$} 是 $V^{*}$ 的基底，我們可以將協變向量 $\mathbf {\sigma }$ 寫成 $\mathbf {\sigma } =\sigma _{\mu }\mathbf {\omega } ^{\mu }$。

現在我們可以評估應用於任何向量（逆變向量）的任何泛函（協變向量）。如果$\mathbf {\sigma } \in V^{*}$ 且 $\mathbf {v} \in V$，則由線性性 $\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )=\sigma _{\alpha }\mathbf {\omega } ^{\alpha }(v^{\beta }\mathbf {e} _{\beta })=\sigma _{\alpha }v^{\beta }\mathbf {\omega } ^{\alpha }(\mathbf {e} _{\beta })=\sigma _{\alpha }v^{\beta }\delta _{\beta }^{\alpha }=\sigma _{\alpha }v^{\alpha }$。最後，如果我們定義 $\mathbf {e} _{\alpha }(\mathbf {\omega } ^{\beta })=\delta _{\alpha }^{\beta }$，我們看到$\mathbf {v} (\mathbf {\sigma } )=\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )$。