幾何/直角三角形和勾股定理

直角三角形

直角三角形是三角形，其中一個內角是 90^o。一個 90^o 角被稱為直角。
直角三角形具有特殊的性質，在許多情況下，這使得它們的引數更容易理解和計算。

與直角相對的邊稱為斜邊。與直角相鄰的邊稱為直角邊。在使用勾股定理時，斜邊或其長度通常用小寫字母c表示。直角邊（或其長度）通常用a和b表示。

任何一條直角邊都可以被視為底邊，而另一條直角邊則被視為高（或垂線），因為直角自動使它們垂直。如果已知兩條直角邊的長度，則透過將其中一條邊設定為底邊 ( b )，另一條邊設定為高 ( h )，就可以很容易地使用以下公式計算直角三角形的面積

$Area=\,$(¹/₂)$bh\,$

這直觀上是合理的，因為另一個全等的直角三角形可以放在它旁邊，使斜邊成為同一條線段，形成一個長邊為 b，寬邊為 h 的矩形。矩形的面積是 b × h，所以構成它的兩個全等直角三角形之一的面積等於該矩形面積的一半。

直角三角形既不是等邊三角形、銳角三角形，也不是鈍角三角形。等腰直角三角形有兩個 45° 角，以及一個 90° 角。所有等腰直角三角形都是相似的，因為等腰直角三角形的對應角相等。如果另一個三角形可以被分成兩個直角三角形（見三角形），那麼這個三角形的面積就可以從構成它的兩個直角三角形的面積之和來確定。此外，勾股定理也可以用於非直角三角形。a2+b2=c2-2c

勾股定理

關於勾股定理的歷史，請參閱勾股定理。勾股定理指出

• 在直角三角形中，斜邊的平方等於另兩條邊的平方之和。

讓我們以這裡所示的直角三角形為例，將 c 設定為斜邊的長度，並將 a 和 b 分別設定為另外兩條邊的長度。然後勾股定理可以表示為以下等式

$\quad c^{2}=a^{2}+b^{2}$

使用勾股定理，如果已知直角三角形中任意兩條邊的長度，並且已知哪條邊是斜邊，那麼就可以從公式中確定第三條邊的長度。

直角三角形的正弦、餘弦和正切

正弦、餘弦和正切都是角度的函式，在直角三角形計算中非常有用。對於一個被指定為 θ 的角，正弦函式被縮寫為sin θ，餘弦函式被縮寫為cos θ，正切函式被縮寫為tan θ。對於任何
角度 θ，sin θ，cos θ 和 tan θ 都是單個確定的值，如果 θ 是已知值，則 sin θ，cos θ 和 tan θ 可以從表格中查閱或使用計算器找到。在本節末尾有一個列出這些函式值的表格。對於列出值之間的角度，該角度的正弦、餘弦或正切可以從表格中的值估計。反之，如果一個數字被認為是某個角度的正弦、餘弦或正切，那麼這些表格可以反過來使用來查詢（或估計）對應角度的值。

這三個函式與直角三角形的聯絡方式如下

在直角三角形中，

• 非直角的角度的正弦等於對邊長度除以斜邊長度。

• 非直角的角度的餘弦等於鄰邊長度除以斜邊長度。

• 非直角的角度的正切等於對邊長度除以鄰邊長度。

對於任何 cos θ ≠ 0 的 θ 值，

$\qquad \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$.

如果考慮一個代表直角三角形的圖，兩個非直角的角度為 θ₁ 和 θ₂，邊長為 a、b、c，如這裡所示

對於角度 θ₁ 的函式

$\sin \theta _{1}={\frac {b}{c}}\qquad \cos \theta _{1}={\frac {a}{c}}\qquad \tan \theta _{1}={\frac {b}{a}}$

類似地，對於角度 θ₂ 的函式

$\sin \theta _{2}={\frac {a}{c}}\qquad \cos \theta _{2}={\frac {b}{c}}\qquad \tan \theta _{2}={\frac {a}{b}}$

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從 0 到 90 度的角的正弦、餘弦和正切表

θ 以度為單位	θ 以弧度為單位	sin θ	cos θ	tan θ
0	0	0.0	1.0	0.0
1	0.017453293	0.01745240	0.9998477	0.017455065
2	0.034906585	0.034899497	0.99939083	0.034920769
3	0.052359878	0.052335956	0.99862953	0.052407779
4	0.06981317	0.069756474	0.99756405	0.069926812
5	0.087266463	0.087155743	0.9961947	0.087488664
6	0.10471976	0.10452846	0.9945219	0.10510424
7	0.12217305	0.12186934	0.99254615	0.12278456
8	0.13962634	0.1391731	0.99026807	0.14054083
9	0.15707963	0.15643447	0.98768834	0.15838444
10	0.17453293	0.17364818	0.98480775	0.17632698
11	0.19198622	0.190809	0.98162718	0.19438031
12	0.20943951	0.20791169	0.9781476	0.21255656
13	0.2268928	0.22495105	0.97437006	0.23086819
14	0.2443461	0.2419219	0.97029573	0.249328
15	0.26179939	0.25881905	0.96592583	0.26794919
16	0.27925268	0.27563736	0.9612617	0.28674539
17	0.29670597	0.2923717	0.95630476	0.30573068
18	0.31415927	0.30901699	0.95105652	0.3249197
19	0.33161256	0.32556815	0.94551858	0.34432761
20	0.34906585	0.34202014	0.93969262	0.36397023
21	0.36651914	0.35836795	0.93358043	0.38386404
22	0.38397244	0.37460659	0.92718385	0.40402623
23	0.40142573	0.39073113	0.92050485	0.42447482
24	0.41887902	0.40673664	0.91354546	0.44522869
25	0.43633231	0.42261826	0.90630779	0.46630766
26	0.45378561	0.43837115	0.89879405	0.48773259
27	0.4712389	0.4539905	0.89100652	0.50952545
28	0.48869219	0.46947156	0.88294759	0.53170943
29	0.50614548	0.48480962	0.87461971	0.55430905
30	0.52359878	0.5	0.8660254	0.57735027
31	0.54105207	0.51503807	0.8571673	0.60086062
32	0.55850536	0.52991926	0.8480481	0.62486935
33	0.57595865	0.54463904	0.83867057	0.64940759
34	0.59341195	0.5591929	0.82903757	0.67450852
35	0.61086524	0.57357644	0.81915204	0.70020754
36	0.62831853	0.58778525	0.80901699	0.72654253
37	0.64577182	0.60181502	0.79863551	0.75355405
38	0.66322512	0.61566148	0.78801075	0.78128563
39	0.68067841	0.62932039	0.77714596	0.80978403
40	0.6981317	0.64278761	0.76604444	0.83909963
41	0.71558499	0.65605903	0.75470958	0.86928674
42	0.73303829	0.66913061	0.74314483	0.90040404
43	0.75049158	0.68199836	0.7313537	0.93251509
44	0.76794487	0.69465837	0.7193398	0.96568877
45	0.78539816	0.70710678	0.70710678	1.0
46	0.80285146	0.7193398	0.69465837	1.03553031
47	0.82030475	0.7313537	0.68199836	1.07236871
48	0.83775804	0.74314483	0.66913061	1.11061251
49	0.85521133	0.75470958	0.65605903	1.15036841
50	0.87266463	0.76604444	0.64278761	1.19175359
51	0.89011792	0.77714596	0.62932039	1.23489716
52	0.90757121	0.78801075	0.61566148	1.27994163
53	0.9250245	0.79863551	0.60181502	1.32704482
54	0.9424778	0.80901699	0.58778525	1.37638192
55	0.95993109	0.81915204	0.57357644	1.42814801
56	0.97738438	0.82903757	0.5591929	1.48256097
57	0.99483767	0.82367057	0.54463904	1.53986496
58	1.01229097	0.8480481	0.52991926	1.60033453
59	1.02974426	0.8571673	0.51503807	1.66427948
60	1.04719755	0.8660254	0.5	1.73205081
61	1.06465084	0.87461971	0.48480962	1.80404776
62	1.08210414	0.88294759	0.46947156	1.88072647
63	1.09955743	0.89100652	0.4539905	1.96261051
64	1.11701072	0.89879405	0.43837115	2.05030384
65	1.13446401	0.90630779	0.42261826	2.14450692
66	1.15191731	0.91354546	0.40673664	2.24603677
67	1.1693706	0.92050485	0.39073113	2.35585237
68	1.18682389	0.92718385	0.37460659	2.47508685
69	1.20427718	0.93358043	0.35836795	2.60508906
70	1.22173048	0.93969262	0.34202014	2.74747742
71	1.23918377	0.94551858	0.32556815	2.90421088
72	1.25663706	0.95105652	0.30901699	3.07768354
73	1.27409035	0.95630476	0.2923717	3.27085262
74	1.29154365	0.9612617	0.27563736	3.48741444
75	1.30899694	0.96592583	0.25881905	3.73205081
76	1.32645023	0.97029573	0.2419219	4.01078093
77	1.34390352	0.97437006	0.22495105	4.33147587
78	1.36135682	0.9781476	0.20791169	4.70463011
79	1.37881011	0.98162718	0.190809	5.14455402
80	1.3962634	0.98480775	0.17364818	5.67128182
81	1.41371669	0.98768834	0.15643447	6.31375151
82	1.43116999	0.99026807	0.1391731	7.11536972
83	1.44862328	0.99254615	0.12186934	8.14434643
84	1.46607657	0.9945219	0.10452846	9.51436445
85	1.48352986	0.9961947	0.087155743	11.4300523
86	1.50098316	0.99756405	0.069756474	14.3006663
87	1.51843645	0.99862953	0.052335956	19.0811367
88	1.53588974	0.99939083	0.034899497	28.6362533
89	1.55334303	0.9998477	0.01745240	57.2899616
90	1.57079633	1.0	0.0	未定義

重要角度的通用規則：$sin45^{o}=cos45^{o}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$tan45^{o}=1$

$sin30^{o}={\frac {1}{2}}=cos60^{o}$

$cos30^{o}={\frac {\sqrt {3}}{2}}=sin60^{o}$