小學幾何/線段的平分

在本章中，我們將學習如何平分線段。給定一條線段${\overline {AB}}$，我們將將其分成兩個相等的線段${\overline {AC}}$和${\overline {CB}}$。該構造基於第一卷第10條命題。

構造

1. 構造等邊三角形 $\triangle ABD$ 在${\overline {AB}}$上。
2. 平分角 在$\angle ADB$ 上使用線段${\overline {DE}}$。
3. 令 **C** 為${\overline {DE}}$ 和${\overline {AB}}$ 的交點。

結論

1. 兩者${\overline {AC}}$ 和${\overline {CB}}$ 都等於${\overline {AB}}$ 的一半。

證明

1. ${\overline {AD}}$ 和${\overline {BD}}$ 是等邊三角形$\triangle ABD$ 的邊。
2. 因此，${\overline {AD}}$ 等於 ${\overline {BD}}$。
3. 線段 ${\overline {DC}}$ 等於它本身。
4. 根據構造，$\angle ADE$ 和 $\angle EDB$ 相等。
5. 線段 ${\overline {DE}}$ 和 ${\overline {DC}}$ 彼此重合。
6. 因此，$\angle ADE$ 等於 $\angle ADC$，$\angle EDB$ 等於 $\angle CDB$。
7. 根據邊角邊全等定理，三角形 $\triangle ADC$ 和 $\triangle CDB$ 全等。
8. 因此，${\overline {AC}}$ 和 ${\overline {CB}}$ 相等。
9. 由於 ${\overline {AB}}$ 是 ${\overline {AC}}$ 和 ${\overline {CB}}$ 的和，它們各自等於它的一半。