小學幾何/角平分線

角平分線 $\angle ABC$

1. 使用圓規找到與頂點 B 等距的點 D 和 E。
2. 畫一條線 ${\overline {DE}}$.
   
   
   
   
3. 構造一個等邊三角形 在 ${\overline {DE}}$ 上，第三個頂點為 **F**，得到 $\triangle DEF$。（線 DF 和 EF 的長度相等）。
   
   
   
   
4. 畫一條線 ${\overline {BF}}$.
   
   
   
   

論點

1. 角 $\angle ABF$、$\angle FBC$ 等於 $\angle ABC$ 的一半。

證明

1. ${\overline {DE}}$ 是從圓心到圓周的一條線段，因此等於 $\circ B,{\overline {BD}}$ 的半徑。
2. 因此，${\overline {BE}}$ 等於 ${\overline {BD}}$.
3. ${\overline {DF}}$ 和 ${\overline {EF}}$ 是等邊三角形 $\triangle DEF$ 的邊。
4. 因此，${\overline {DF}}$ 等於 ${\overline {EF}}$。
5. 線段 ${\overline {BF}}$ 等於它本身。
6. 根據邊邊邊全等定理，三角形 $\triangle ABF$ 和 $\triangle FBC$ 全等。
7. 因此，角 $\angle ABF$，$\angle FBC$ 等於 $\angle ABC$ 的一半。

注意

我們展示了一種將角度分成兩部分的簡單方法。一個自然而然的問題是，如何將角度分成其他部分。自歐幾里得時代以來，數學家們一直在尋找一種方法來三等分角，即將其分成3等分。經過多年的嘗試，人們才證明了這種方法不存在，因為這種結構是不可能實現的，只能使用尺規作圖。

練習

1. 找到將一個角度分成4等分的構造方法。
2. 找到將一個角度分成8等分的構造方法。
3. 對於哪些其他數字可以找到這種構造方法？