群論/共軛作用和 p-群

定義（全域性穩定器）:

令 $G$ 為一個作用於 $A$ 的群，其中 $A$ 屬於某個代數簇 ${\mathcal {A}}$。令 $S\subseteq A$ 為一個子集。那麼 $S$ 的全域性穩定器 是集合

$G(S):=\{g\in G|gS\subseteq S\}$,

其中符號 $gS$ 表示集合 $\{gs|s\in S\}$。

定義（p-群）:

令 $p\in \mathbb {N}$ 為一個素數。那麼一個$p$-群 是一個階為 $p^{k}$ 的群，對於某個 $k\in \mathbb {N}$。

命題（p-群不動點集的基數等於集合模 p 的基數）:

令 $G$ 為一個作用於集合 $X$ 的 $p$-群。那麼

$|\operatorname {Fix} (G)|\equiv |X|\mod p$.

證明：根據類方程,

$|X|=\sum _{k=1}^{n}[G:G_{x_{k}}]$,

其中，對於每個 $G$ 在 $X$ 上的軌道，我們選取該軌道的一個代表元 $x_{k}$。由於 $G$ 是一個 $p$ 群，只要 $[G:G_{x_{k}}]$ 不等於 $1$，那麼根據拉格朗日定理，它可以被 $p$ 整除。因此，透過對上述等式取模 $\mod p$，我們得到

$|X|\equiv \sum _{j=1}^{l}1\equiv l\mod p$,

其中，$l$ 是那些 $x_{k}$ 的數量，對於這些 $x_{k}$，$[G:G_{x_{k}}]=1$。但 $[G:G_{x_{k}}]=1$ 準確地意味著 $x_{k}$ 的軌道是平凡的，也就是說，$x_{k}$ 被 $G$ 中的所有元素固定。 $\Box$

命題（p-群有非平凡的中心）:

令 $G$ 為一個 $p$ 群。則 $Z(G)\neq \{e\}$，其中 $e\in G$ 表示單位元。

證明： $G$ 透過共軛作用於自身。此外，

$h\in Z(G)\Leftrightarrow \forall g\in G:g^{-1}hg=h$,

所以 $Z(G)$ 正好是 $G$ 在該作用下的不動點集。但由於p-群不動點集的基數等於整個集合的基數模p，我們得到

$0\equiv |G|\equiv |\operatorname {Fix} (G)|\equiv |Z(G)|\mod p$,

如果 $|Z(G)|=1$，這將是不可能的。 $\Box$