群論/拓撲群

定義（拓撲群）:

一個拓撲群 $G$ 是一個群，其底層集合具有拓撲結構，使得

1. 群律是一個連續函式 $G\times G\to G$ 並且
2. 求逆是一個連續函式 $G\to G$.

因此，拓撲群是具有結構的群，在拓撲空間的範疇中。

命題（每個拓撲群都是一致空間）:

令 $G$ 是一個拓撲群，並令 $(U_{\alpha })_{}$ 是其單位元的鄰域系統。那麼集合

${\displaystyle }$

形成一個鄰域系統，其誘導的拓撲結構與 $G$ 的拓撲結構相同。

證明： $\Box$

定理（Birkhoff-Kakutani 定理）:

命題（拓撲群的單位元的連通分量是其正規子群之一）:

令 $G$ 是一個拓撲群，並令 $K\subseteq G$ 是其單位元的連通分量。那麼 $K\trianglelefteq G$.

證明： $\Box$

命題（每個區域性緊湊拓撲群都是其 σ-緊緻開放子群的平移的非交併集）:

令 $G$ 是一個區域性緊湊拓撲群。那麼存在一個 σ-緊緻開放子群 $H\leq G$，當然我們可以由此推斷

$G=\bigsqcup _{g\in S}gH$,

其中 $S$ 是一個集合，其中包含每個 $H$ 左陪集的一個元素（方括號中的並集符號表示並集是非交的）。此外，每個 $H$ 的左陪集 $gH$ 是 σ-緊緻且開放的。

證明：我們將$G$的單位元記為$e$。令$K$ 是$e$的一個緊緻鄰域。我們定義$L:=K\cup K^{-1}$。由於連續對映下緊集的像也是緊集 以及兩個緊集的並集是緊集，$L$ 是$e$的一個緊緻鄰域。此外，由歸納法，兩個緊集的積是緊集，以及連續對映下緊集的像也是緊集（應用於連續的群乘法對映），可以推出所有集合$L^{2},L^{3},\ldots$都是緊緻的。然而，群

$H:=\langle L\rangle \leq G$,

即由$L$中的元素生成的群，是這些集合的並集，因此是σ-緊緻的。

現在只需要證明$H$ 是開集。為此，我們可以利用以下事實：由於$L$ 是$e$ 的一個鄰域，存在開集$V\subseteq L$ 使得$e\in L$。由於乘以群元素是一個同構，集合$hV$ 在$H$中是開集，只要$h\in H$。因此，

$H=\bigcup _{h\in H}hV$

是開集。

最後，$gH$ 是開放且 σ-緊的，因為乘以 $g$ 是拓撲空間類別中 $G$ 的自同構，因此它保留了開放性和緊緻性。$\Box$