高中數學擴充套件/素數/模算術

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模算術

簡介

模算術與素數有著有趣的聯絡。

模算術是一個系統，其中所有數字都小於某個正整數n，例如，如果從0開始計數，則會得到0, 1, 2, 3, ... , n - 1，但不會計數到n，而是從0重新開始。而原本的n + 1將變為1，原本的n + 2將變為2。一旦達到2n，數字將再次重置為0，以此類推。模算術也被稱為時鐘算術，因為我們只使用12個數字來表示標準時間。在時鐘上，我們從1而不是0開始，一直計數到12，然後從1重新開始。因此被稱為時鐘算術。

該序列也可以擴充套件到原本的負數。原本的-1現在是n - 1。例如，考慮模7算術，它與普通算術非常相似，只是我們只使用0, 1, 2, 3, 4, 5和6這7個數字。如果我們看到範圍之外的數字，我們會加7（或減7），直到它落在該範圍內。

如上所述，模算術與普通算術並沒有太大區別。例如，在模7算術中，我們有

$3+2=5\!$

$5+6=11=4\!$

$5-6=-1=6\!$

以及

${\begin{matrix}3\times 5=15=1\\5\times -6=-30=5\\\end{matrix}}$

我們對負數進行了一些計算。考慮5 × -6。由於-6不在0到6的範圍內，我們需要加7，直到它落在範圍內。而-6 + 7 = 1。所以，在模7算術中，-6 = 1。在上面的例子中，我們證明了5 × -6 = -30 = 5，但5 × 1 = 5。所以，使用-6代替1並沒有錯。為什麼？

注意 - 負數：-3的首選表示形式是4，因為-3 + 7 = 4，但在計算中使用-3和4都會得到相同的結果，只要我們把最終的答案轉換為0到6（含）之間的數字。

練習

在模11中求

1.

-1 × -5

2.

3 × 7

3. 計算2的前10次冪

2¹, 2², 2³, ... , 2¹⁰

你發現了什麼？
使用2的冪，求

6¹, 6², 6³, ... , 6¹⁰

你又發現了什麼？

4.

${\sqrt {4}}$

即，透過試錯法（或其他方法）找到所有滿足x² = 4 (mod 11)的數字x。有兩個解，找到這兩個解。

5.

${\sqrt {9}}$

即求所有滿足x² = 9 (mod 11) 的數x。有兩個解，求出這兩個解。

逆元

考慮一個數n，n的逆元是指乘以n得到1的數。例如，如果我們要解以下方程

$5x=3{\pmod {7}}\!$

(mod 7) 用於明確我們是在進行模7運算。我們想要以某種方式消除5。將其乘以某個數使其變為1可以實現這個目標。注意

$3\times 5=15=1{\pmod {7}}\!$

因為3乘以5得到1，我們說3是5在模7下的逆元。現在我們將兩邊都乘以3

$3\times 5\!$	$x\!$	$=3\times 3{\pmod {7}}\!$
	$x\!$	$=9{\pmod {7}}\!$
		$=2{\pmod {7}}\!$

因此x = 2 模7是所需的解。

定義（逆元）

(一個數) x 的逆元是指一個數y，使得xy = 1。我們用x^-1 或1/x 表示x的逆元。

逆元是唯一的

從上面我們知道5的逆元是3，但5還有其他逆元嗎？答案是否定的。事實上，在任何合理的數字系統中，一個數只有一個逆元。我們可以從下面的證明中看出這一點

假設n有兩個逆元b 和c

$b=b\times 1=b(nc)=(bn)c=1\times c=c\!$

從上面的論證中，n的所有逆元都必須相等。因此，如果數n有一個逆元，則這個逆元一定是唯一的。

任何模n算術的一個有趣的性質是，數n - 1 的逆元是它本身。即，(n - 1) × (n - 1) = 1 (mod n)，或者我們可以寫成 (n - 1)² = (-1)² = 1 (mod n)。證明留作本節末尾的練習。

逆元的存在

並非所有數在所有模算術中都有逆元。例如，3 在模6下沒有逆元，即我們找不到一個數x 使得 3x = 1 模6（讀者可以很容易地驗證這一點）。

考慮模15算術，並注意15是合數。我們知道1的逆元是1，14的逆元是14。但3、6、9、12、5和10呢？它們都沒有逆元！注意，它們每一個都與15有公因數！

例如，我們證明3在模15算術中沒有逆元。假設3有一個逆元x，那麼我們有

$3x=1{\pmod {15}}\!$

我們從模算術跳轉到有理數算術。如果3x = 1 在模15算術中成立，那麼

$3x=15k+1\!$

對於某個整數k。現在我們將兩邊除以3，得到

$x=5k+{\frac {1}{3}}\!$

但這不可能是真的，因為我們知道x是一個整數，而不是分數。因此3在模15算術中沒有逆元。要證明10沒有逆元更難，留作練習。

我們現在將陳述關於模算術中逆元存在的定理。

定理

如果n是素數，則每個數（除了0）在模n算術中都有逆元。

類似地

如果n是合數，則每個與n沒有公因數的數都有逆元。

有趣的是，除法與逆元的概念密切相關。考慮以下表達式

$6\times 3^{-1}{\pmod {7}}\!$

計算上述式子的常規方法是找到 3 的逆元（為 5）。所以

$6\times 3^{-1}=6\times 5=30=2{\pmod {7}}\!$

我們將 3 的逆元寫成 1/3，所以我們將 3^-1 的乘法看作是除以 3，得到

$6\times {\frac {1}{3}}={\frac {6}{3}}=2{\pmod {7}}\!$

注意我們得到了相同的答案！事實上，如果存在逆元，除法方法總是有效的。

然而，在不同的模系統中的表示式將產生錯誤的結果，例如

$6\times 3^{-1}{\pmod {9}}\!$

我們沒有得到 2，因為 3^-1 在模 9 中不存在，所以我們不能使用除法方法。

練習

1. 8 在模 16 運算中是否有逆元？如果沒有，為什麼？

2. 如果存在 x，求 x 模 7

$x=2^{-1}\!$

$x=3^{-1}\!$

$x=4^{-1}\!$

$x=5^{-1}\!$

$x=6^{-1}\!$

$x=7^{-1}\!$

3. 用兩種方法計算 x，求逆元 和 除法

$x=28\cdot 7^{-1}\ \ {\mbox{(mod 29)}}\!$

4. (技巧) 求 x

$x=5^{99}\times (40+3^{-1})\ {\pmod {11}}\!$

5. 求所有模 n 的逆元 (n ≤ 19)

互質數和最大公約數

如果兩個數的最大公約數（gcd）為 1，則稱這兩個數互質。例如，21 和 55 都是合數，但它們是互質數，因為它們的最大公約數為 1。換句話說，它們除了 1 之外沒有其他公約數。

存在一種快速且優雅的方法來計算兩個數的 gcd，稱為歐幾里德演算法。讓我們通過幾個例子來進行說明

示例 1

求 21 和 49 的 gcd。

我們建立一個兩列表格，其中兩個數中較大的那個數位於右側，如下所示

較小	較大
21	49

現在我們計算 49 (mod 21)，得到 7，將其放在第二行的較小列中，並將 21 放入較大列中。

較小	較大
21	49
7	21

對第二行執行相同的操作，生成第三行。

較小	較大
21	49
7	21
0	7

當我們在較小列中看到數字 0 時，我們知道相應的較大數字是最初兩個數字的 gcd，即 7 是 21 和 49 的 gcd。這種演算法被稱為歐幾里德演算法。

示例 2

求 31 和 101 的 gcd

較小	較大
31	101
8	31
7	8
1	7
0	1

示例 3

求 132 和 200 的 gcd

較小	較大
132	200
68	132
64	68
4	64
0	4

需要注意的是

1. gcd 不一定是質數。
2. 兩個不同質數的 gcd 為 1。換句話說，兩個不同質數總是互質的。

練習

1. 確定以下數字集是否互質

1. 5050 5051
2. 59 78
3. 111 369
4. 2021 4032

2. 求數字 15、510 和 375 的 gcd

資訊 -- 演算法

演算法是描述一系列動作的逐步說明，當正確執行時可以完成一項任務。存在用於查詢質數、判斷兩個數是否互質、查詢逆元以及許多其他用途的演算法。
您將在 [[../../../Mathematical Programming/]] 章節中學習如何使用計算機實現我們已經看到的某些演算法。

查詢逆元

讓我們從不同的角度再次審視逆元的概念。事實上，我們將提供一種萬無一失的方法來找到任何數的逆元。讓我們考慮

5x = 1 (mod 7)

我們知道x是5的逆，我們可以很快地算出它是3。但x = 10也是一個解，x = 17、24、31... 7n + 3也是。所以有無限多個解；因此我們說3等價於10、17、24、31等等。這是一個至關重要的觀察結果。

現在讓我們考慮

$216x\equiv 1\ \ {\mbox{(mod 811)}}$

這裡引入了一個新的符號，它是一個帶三個橫線的等號而不是兩個。它是“等價”符號；上面的語句應該讀作“216x 等價於 1”，而不是“216x 等於 1”。從現在開始，我們將使用等價符號表示模運算，使用等號表示普通算術。

回到例子，我們知道x存在，因為gcd(811,216) = 1。上面問題的問題是，沒有簡單的方法來確定x的值！我們所知最好的方法是將216乘以1、2、3、4... 直到得到答案，最多有811次計算，對於人類來說太繁瑣了。但有一個更好的方法，我們已經多次提到過它了！

我們注意到，我們可以像以前一樣將跳躍進入有理數學

${\begin{matrix}216a&=&1+811b\\0&\equiv &1+163b&{\pmod {216}}\\\end{matrix}}$

我們再次進入有理數學

${\begin{matrix}216c&=&1+163b\\53c&\equiv &1&{\pmod {163}}\\\end{matrix}}$

我們再跳一次

${\begin{matrix}53c&=&1+163d\\0&\equiv &1+4d&{\pmod {53}}\\\end{matrix}}$

現在模式很清楚了，我們將從頭開始，以免過程中斷

${\begin{matrix}216a&=&1+811b\\216c&=&1+163b\\53c&=&1+163d\\53e&=&1+4d\\e&=&1+4f\\\end{matrix}}$

現在我們只需要選擇一個f的值，然後代回找到a！記住a是216模811的逆。我們選擇f = 0，因此e = 1，d = 13，c = 40，b = 53，最後a = 199！如果f被選擇為1，我們將得到a的不同值。

細心的讀者應該已經注意到，這只是歐幾里得的gcd演算法反過來。

以下是一些這種巧妙方法應用的例子

示例 1

找到a的最小正值

${\begin{matrix}33a&\equiv &1\ \ {\mbox{(mod 101)}}\\33a&=&1+101b\\33c&=&1+2b\\c&=&1+2d\\\end{matrix}}$

選擇d = 0，因此a = 49。

例子2 找到a的最小正值

${\begin{matrix}27a&\equiv &1\ \ {\mbox{(mod 821)}}\\27a&=&1+821b\\27c&=&1+11b\\5c&=&1+11d\\5e&=&1+d\\\end{matrix}}$

選擇e = 0，因此a = -152 = 669

例子3 找到a的最小正值

${\begin{matrix}34a&\equiv &1\ \ {\mbox{(mod 55)}}\\34a&=&1+55b\\34c&=&1+21b\\13c&=&1+21d\\13e&=&1+8d\\5e&=&1+8f\\5g&=&1+3f\\2g&=&1+3h\\2i&=&1+h\\\end{matrix}}$

設 i = 0，則 a = -21 = 34。為什麼對於兩個這麼小的數字，這個方法這麼慢？ 你能對係數說些什麼？

示例 4 找出a 的最小正值

${\begin{matrix}21a&\equiv &1\ \ {\mbox{(mod 102)}}\\21a&=&1+102b\\21c&=&1+18b\\3c&=&1+18d\\3d&=&1\\\end{matrix}}$

現在d 不是整數，因此 21 在 mod 102 中沒有逆元。

到目前為止，我們討論瞭如何找到以下形式方程的整數解

ax + by = 1

其中x 和y 是未知數，a 和b 是兩個給定的常數，這些方程稱為線性丟番圖方程。有趣的是，有時沒有解，但如果存在解，則意味著存在無限多個解。

丟番圖方程

在模算術 部分，我們陳述了一個定理，該定理指出如果 gcd(a,m) = 1，則a^-1（a 的逆元）存在於 mod m 中。不難看出，如果p 是素數，則對所有小於p 的b，gcd(b,p) = 1，因此我們可以說在 mod p 中，除了 0 之外的每個數都有逆元。

我們還展示了一種在 mod p 中找到任何元素的逆元的方法。事實上，在模算術中找到一個數的逆元相當於解一種稱為丟番圖方程的方程。丟番圖方程是以下形式的方程

ax + by = d

其中x 和y 是未知數。

例如，我們應該嘗試找到 216 在 mod 811 中的逆元。設 216 的逆元為x，我們可以寫

$216x\equiv 1{\pmod {811}}\!$

我們可以用日常算術重新寫上述表示式

$216x+811y=1\!$

它具有丟番圖方程的形式。

現在我們將使用不優雅的方法來解決上述問題，然後使用優雅的方法（使用魔方表）。

上面提到的兩種方法都使用歐幾里得演算法來找到兩個數的 gcd。事實上，gcd 與逆元的概念密切相關。讓我們對數字 216 和 811 應用歐幾里得演算法。但是，這次我們應該儲存更多詳細資訊；更具體地說，我們想設定一個名為 PQ 的附加列，它代表部分商。部分商只是一個專業術語，表示“n 能進入m 多少次”，例如 3 和 19 的部分商是 6，4 和 21 的部分商是 5，最後一個例子 7 和 49 的部分商是 7。

較小	較大	PQ
216	811	3
163

表格說三個 216 能進入 811，餘數為 163，或者用符號表示

811 = 3×216 + 163。

讓我們繼續

較小	較大	PQ
216	811	3
163	216	1
53	163	3
4	53	13
1	4	4
0	1

從表格中讀取，我們可以形成以下表達式

811 = 3× 216 + 163

216 = 1× 163 + 53

163 = 3× 53 + 4

53 =13× 4 + 1

現在我們可以透過反向計算結果來計算 216 的逆元

1 = 53 - 13×4

1 = 53 - 13×(163 - 3×53)

1 = 40×53 - 13×163

1 = 40×(216 - 163) - 13×163

1 = 40×216 - 53×163

1 = 40×216 - 53×(811 - 3×216)

1 = 199×216 - 53×811

現在觀察 mod 811 下的方程，我們將看到 216 的逆元是 199。

魔方表

魔方表是完成上述計算的一種更優雅的方法，讓我們使用從歐幾里得演算法中得到的表格

較小	較大	PQ
216	811	3
163	216	1
53	163	3
4	53	13
1	4	4
0	1

現在我們設定所謂的“魔方表”，它最初看起來像這樣

0	1
1	0

現在我們在第一行寫入部分商

		3	1	3	13	4
0	1
1	0

我們根據以下規則生成表格

將部分商乘以它左側同一行中一個位置的數字，將乘積加到同一行中左側兩個位置的數字，並將和放入相應的行中。

聽起來比實際要複雜。讓我們透過生成一列來舉例說明

		3	1	3	13	4
0	1	3
1	0	1

我們在第二行中放入 3，因為 3 = 3×1 + 0。我們在第三行中放入 1，因為 1 = 3×0 + 1。

我們現在將生成整個表格，不間斷

		3	1	3	13	4
0	1	3	4	15	199	811
1	0	1	1	4	53	216

我們可以檢查

|199×216 - 811×53| = 1

事實上，如果魔方表構建正確，並且我們正確地交叉相乘並相減了最後兩列，那麼我們始終會得到 1 或 -1，前提是我們開始的兩個數字是互質的。魔方表只是完成數學的一種更簡潔的方法。

練習

1. 找到最小正x

$216x\equiv 1\ \ {\mbox{(mod 816)}}$

2. 找到最小正x

$42x\equiv 7\ \ {\mbox{(mod 217)}}$

3.

(a) 生成 33a = 1 (mod 101) 的魔方表

(b) 計算並用 p/q 的形式表示

$3+{1 \over 16+{1 \over 2}}$

你發現了什麼？

4.

(a) 生成 17a = 1 (mod 317) 的魔方表

(b) 計算並用 p/q 的形式表示

$18+{1 \over 1+{1 \over {1+{1 \over 1+{1 \over 5}}}}}$

你發現了什麼？

中國剩餘定理

中國剩餘定理在中國被稱為“韓信點兵”。它最直觀的翻譯是“韓信數他計程車兵”。最初的問題是這樣的

存在一個數 *x*，當除以 3 時餘數為 2，當除以 5 時餘數為 3，當除以 7 時餘數為 2。求最小的 *x*。

我們將問題轉化為符號形式

${\begin{matrix}x&\equiv &2{\pmod {3}}\\x&\equiv &3{\pmod {5}}\\x&\equiv &2{\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

我們如何找到這樣的 *x* 呢？我們將使用一個熟悉的方法，它最好透過例子來解釋

觀察 x = 2 (mod 3)，我們將“跳躍”到普通的數學中

${\begin{matrix}x&\equiv &2{\pmod {3}}\\x&=&2+3a\qquad (1)\end{matrix}}$

現在我們觀察這個方程模 5

$2+\!$	$3a\!$	$\equiv 3{\pmod {5}}\!$
	$3a\!$	$\equiv 1{\pmod {5}}\!$
	$a\!$	$\equiv 2{\pmod {5}}\!$
	$a\!$	$=2+5b\!$

將此代入 (1) 中，得到以下結果

$x\!$	$=2+3(2+5b)\!$
	$=8+15b\!$

現在觀察上面的結果模 7

$x=8+15b\equiv 2{\pmod {7}}\!$

我們得到

$b\equiv 1{\pmod {7}}\!$

我們選擇b = 1 來最小化x，因此x = 23。一個簡單的檢查（由讀者完成）應該確認x = 23 是一個解。一個值得思考的問題是：下一個最小的滿足這三個同餘式的x 是多少？答案是x = 128，下一個是 233，下一個是 338，它們相差 105，這是 3、5 和 7 的乘積。

我們將透過以下示例進一步說明求解同餘方程組的方法

示例 1 找到滿足以下條件的最小的x

$x\equiv 1{\pmod {3}}\!$

$x\equiv 2{\pmod {5}}\!$

$x\equiv 3{\pmod {7}}\!$

解

$x=\!$	$1+3\!$	$a\!$	$\equiv \!$	$2{\pmod {5}}\!$
		$a\!$	$=\!$	$2+5b\!$

現在將此代入第一個方程，我們得到

$x\!$	$=1+3(2+5b)\!$
	$=7+15b\!$
	$\equiv 3{\pmod {7}}\!$

我們得到

$b\equiv 3{\pmod {7}}\!$

$b=3+7c\!$

再次代入

$x\!$	$=7+15(3+7c)\!$
	$=52+15\times 7c\!$

因此，52 是滿足同餘方程的最小 *x*。

示例 2

找到滿足以下同餘方程的最小 *x*:

$x\equiv 5{\pmod {11}}\!$

$x\equiv 3{\pmod {7}}\!$

$x\equiv 8{\pmod {9}}\!$

解

$x\!$	$=5+11\!$	$a\equiv 3{\pmod {7}}\!$
		$a\equiv 3{\pmod {7}}\!$
		$a=3+7b\!$

代入回原式

$x=\!$	$5+11(3+7b)\!$
$=\!$	$38+11\times 7b\!$
$\equiv \!$	$8{\pmod {9}}\!$

現在求解 *b*:

$2+2\times 7b\!$	$\equiv 8{\pmod {9}}\!$
$b\!$	$\equiv 3{\pmod {9}}\!$
$b\!$	$=3+9c\!$

再次代入回原式

$x\!$	$=\!$	$38+11\times 7(3+9c)\!$
	$=\!$	$269+11\times 7\times 9c\!$

因此，269 是滿足同餘方程的最小 *x*。

練習

1. 求解 *x*

${\begin{matrix}3x&\equiv &5{\pmod {14}}\\2x&\equiv &-3{\pmod {17}}\\x&\equiv &6{\pmod {15}}\\\end{matrix}}$

2. 求解 _x_

${\begin{matrix}3x&\equiv &5{\pmod {19}}\\7x&\equiv &-3{\pmod {17}}\\x&\equiv &6{\pmod {11}}\\\end{matrix}}$

*解的存在性*

上面的練習都有解。那麼是否存在一個同餘方程組，使得找不到解？當然可能，考慮

x ≡ 5 (mod 15)

x ≡ 10 (mod 21)

一個更巧妙的例子是

x ≡ 1 (mod 2)

x ≡ 0 (mod 2)

但是我們不會考慮這種愚蠢的例子。

回到第一個例子，我們可以嘗試透過以下方法來求解

${\begin{matrix}x&=&5+15k&\equiv &10&{\pmod {21}}\\&&15k&\equiv &5&\\&&3k&\equiv &1&\\\end{matrix}}$

上述方程沒有解，因為 3 在模 21 下沒有逆元！

人們可能會快速得出結論，如果兩個模系統有公因子，那麼就沒有解。但這並不正確！考慮

$x\equiv 4{\pmod {15}}\!$

$x\equiv 7{\pmod {21}}\!$

我們可以找到一個解

$x=\!$	$4+15k\!$	$\equiv 7{\pmod {21}}\!$
	$15k\!$	$\equiv 3{\pmod {21}}\!$
	$5\times 3k\!$	$\equiv 3{\pmod {21}}\!$

現在我們兩邊都乘以 5 的逆元（即 17），得到

$3k\equiv 9\!$

顯然，_k_ = 3 是一個解，並且兩個模系統與第一個例子相同（即 15 和 21）。

那麼什麼決定了同餘方程組是否有解？讓我們考慮一般情況

$x\equiv a{\pmod {m}}\!$

$x\equiv b{\pmod {n}}\!$

我們有

$x=a+km\!$

$x=b+ln\!$

本質上，這個問題要求我們找到k和l，使得上述方程成立。

我們可以這樣解決這個問題

$0=(a-b)+(km-ln)\,\!$

$(ln-km)=(a-b)\,\!$

現在假設m和n的最大公約數是gcd(m,n) = d，並且m = dm_o，n = dn_o。我們有

$dln_{o}-dkm_{o}=(a-b)\,\!$

$ln_{o}-km_{o}=(a-b)/d\,\!$

如果(a - b)/d是整數，那麼我們可以取這個方程對m_o取模，我們得到

$ln_{o}\equiv (a-b)/d{\pmod {m_{o}}}\,\!$

同樣，上述結論只有在(a - b)/d是整數的情況下才成立。而且如果(a - b)/d是整數，那麼就存在解，因為m_o和n_o互質！

總之：對於兩個同餘方程組

$x\equiv a{\pmod {m}}\,\!$

$x\equiv b{\pmod {n}}\,\!$

存在解當且僅當

d = gcd(m,n) 能整除(a - b)

以上結論可以很好地推廣到兩個以上的同餘方程。對於n個同餘方程組

$x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\,\!$

$x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\,\!$

...

$x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\,\!$

為了使解存在，我們要求如果i ≠ j

gcd(m_i,m_j) 能整除(a_i - a_j)

練習

判斷每個同餘方程組是否有解。解釋原因。

1.

x ≡ 7 (mod 25)

x ≡ 22 (mod 45)

2.

x ≡ 7 (mod 23)

x ≡ 3 (mod 11)

x ≡ 3 (mod 13)

3.

x ≡ 7 (mod 25)

x ≡ 22 (mod 45)

x ≡ 7 (mod 11)

4.

x ≡ 4 (mod 28)

x ≡ 28 (mod 52)

x ≡ 24 (mod 32)

更進一步

本章是 數論 的一個簡要介紹，數論是數學中一個極其美麗的領域。之所以說它是簡要介紹，是因為它的數學難度較低，整體來說相當簡單。如果您喜歡本章的內容，您也會喜歡 模算術的進一步探討 ，它對該主題進行了更深入和更嚴謹的講解。

另外，如果您想挑戰一下，您可以嘗試我們為您準備的 習題集 。另一方面， 專案 要求您以更具探索性的方式深入研究中國剩餘定理的一些細微含義。

致謝

致謝：本書的這一章在很大程度上受到了悉尼大學數學系名譽副教授 Terry Gagen 的啟發，以及他關於“數論與代數”的講義。Terry 是學生們心目中廣受歡迎的人物，他以其引人入勝的教學風格而聞名。

參考文獻

1. 已知最大素數 - 摘要

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