高中數學擴充套件/素數/習題集

高中數學擴充套件

---

補充章節 — 素數和模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論與無窮過程 — 計數與生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進階模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

HSME
內容
素數
模算術
問題和專案
習題集
專案
解答
練習解答
習題集解答
雜項
定義表
完整版
PDF 版本

習題集

1. 是否存在一個規則來確定一個三位數是否能被 11 整除？如果有，請推匯出該規則。

2. 證明如果 p 是一個大於 3 的整數，則 p、p + 2 和 p + 4 不會全部是素數。

3. 求解 x

${\begin{matrix}x\equiv 1^{7}+2^{7}+3^{7}+4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}\ {\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

4. 證明不存在整數 x 和 y 使得

$x^{2}-5y^{2}=3\!$

5. 在模運算中，如果

$x^{2}\equiv y{\pmod {m}}\!$

對於某些 m，則可以寫成

$x\equiv {\sqrt {y}}{\pmod {m}}$

我們稱 x 為 y 模 m 的平方根。

注意，如果 x 滿足 x² ≡ y，則 m - x ≡ -x 的平方也與 y 同餘。我們認為 x 和 -x 都是 y 的平方根。

設 p 為素數。證明

(a)

$(p-1)!\equiv -1\ {\mbox{(mod p)}}$

其中

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$

例如 3! = 1*2*3 = 6

(b)

因此，證明

${\sqrt {-1}}\equiv {\frac {p-1}{2}}!{\pmod {p}}$

對於 p ≡ 1 (mod 4)，即證明上面的平方等於 1。