數學史/早期數學

古埃及

埃及人使用象形文字，如圖 1 所示，類似於後來的羅馬數字，這也使埃及人能夠描述分數。雖然每個符號代表 10 的冪，但埃及系統沒有像現代數字系統那樣的基數，因為數字在埃及數字中的位置不會告訴你它的值。埃及人會透過繪製給定符號，並根據其代表的倍數繪製多次，來表達數字。因此，數字 2369 可以寫成圖 2 所示。

$={\frac {1}{3}}$ $={\frac {1}{331}}$ $={\frac {1}{2}}$ $={\frac {2}{3}}$ $={\frac {3}{4}}$ 圖 3：分數

1 10 100 1,000 10,000 100,000 100 萬，或 無窮大 或 圖 1：數字象形文字 圖 2：2369 分數是用一個看起來像嘴巴的符號來描述的。這個符號會放在描述一個整數的一組象形文字上，從而得到一個單位分數。其他有理數將使用單位分數的總和來描述，然而，埃及人會透過不考慮超過 6 個單位分數來“四捨五入”有理數。½、⅔ 和 ¾ 有特殊的象形文字，數字可以用語音來寫，就像我們可以寫九而不是 9 一樣，但這很少發生在除 1 或 2 以外的數字上。圖 3 給出了一些例子。 埃及人使用看起來像一雙腿的象形文字來表示加法和減法。根據“腳”的方向和文字的流動方向，這些符號顯示了正在執行的操作；流入文字表示加法，否則表示減法。 和 圖 4：加法 & 減法 圖 5：114 - 25 圖 6：7/12

乘法是透過使用我們現在稱為二進位制算術的一種形式來完成的。被乘數將被寫到象形文字 1 旁邊，然後被乘數將被加倍並寫到象形文字 2 旁邊。然後兩個數字都被加倍，這個過程將繼續進行，直到象形文字的值等於或大於乘數的一半。最後，象形文字將從乘數中減去，而相應的被乘數將加在一起。因此，一個例子是將$12\times 13$

12 - 1 24 - 2 48 - 4 96 - 8

96 + 48 + 12 $=$ 156 13 - 8 - 4 - 1

圖 7：埃及人用 12 乘 13 的乘法

萊因德紙草書

萊因德紙草書的一部分

我們對埃及數學的大部分了解來自於對一些用草書書寫下來的紙草書的破譯。最著名的紙草書是萊因德數學紙草書，它可以追溯到公元前 1650 年左右，但它的作者阿赫摩斯將它確定為中王國紙草書的副本。萊因德紙草書包含 84 個文字問題和一個表格，其中列出了 101 個形式為 2/n 的埃及分數展開式。它還包括用於加、減、乘和除單位分數和的公式和方法，幷包含其他數學知識的證據，包括算術、幾何和調和平均數；複合數和質數；以及對埃拉托色尼篩和完全數理論的簡單理解。它還展示瞭如何求解一階線性方程以及如何求算術級數和幾何級數的和。

這些文字問題的一個例子要求讀者找到 x 和 x 的一個分數，使得 x 和其分數的和等於一個給定的整數。紙草書中的問題 #24 要求讀者“一個數量加上那個數量的四分之一等於 15。這個數量是多少？”用現代符號表示，這個問題就是解 x + x/4 = 15。這個問題是透過猜測 x = 4 來解決的，這樣就會從問題中去掉分數。當 x = 4 時，x + x/4 = 5，這不是正確答案，但是 5 x 3 = 15，因此 4 x 3 = 12 = x，這是正確的。一些歷史學家認為，這種方法是將 x 分成 4 個相等的部分，即 x = 4y，這樣解題者就可以找到使這些部分的數量等於 15 的部分數量，即 5，或者 4y + 4y/4 = 4y + y = 5y = 15。因此，每個部分的大小是 3，因為有 4 個部分組成 x，所以 x = 12。

莫斯科紙草書

莫斯科數學紙草書是一份古埃及數學紙草書，也稱為戈列尼謝夫數學紙草書，以其第一任主人，埃及學家弗拉基米爾·戈列尼謝夫的名字命名。戈列尼謝夫於 1892 年或 1893 年在底比斯購買了這份紙草書。它後來被收錄到莫斯科普希金國家藝術博物館的收藏中，至今仍儲存在那裡。

根據草書文字的古文字學和正字法，這份文字最有可能是在埃及第十三王朝寫下的，並且基於更早的材料，可能可以追溯到埃及第十二王朝，大約公元前 1850 年。大約 18 英尺長，寬度在 1½ 到 3 英寸之間變化，它的格式被分成 25 個問題，蘇聯東方學家瓦西里·瓦西里耶維奇·斯特魯維在 1930 年給出瞭解決方案。它與萊因德數學紙草書並稱為著名的數學紙草書。莫斯科數學紙草書比萊因德數學紙草書更古老，而萊因德紙草書是兩份中較大的那份。

柏林紙草書

柏林紙草書寫於公元前 1300 年左右，表明古埃及人已經解出了兩個二階一元方程，一些人稱之為丟番圖方程。柏林解 x2 + y2 = 100 的方法尚未在第二個草書文字中得到證實，儘管它已在第二個柏林紙草書問題中得到證實。

美索不達米亞

另一個擁有令人尊敬的數學的古代文明是美索不達米亞人。從蘇美爾人時代到巴比倫的衰落，這些民族所使用的數學被稱為巴比倫數學。從 19 世紀中期以來發現的數百塊泥板，我們瞭解了許多關於這些民族能力的資訊。

算術

圖 1：巴比倫數字

巴比倫數學基於六十進位制記數系統，與埃及人不同，他們使用位值制來描述大於 59 的數字。單個數字使用十進位制子系統來描述，其中“<”用於描述我們所說的“十位”的值，而“Y”用於描述“個位”的值。因此，數字 12 可以寫成 <YY，數字 31 可以寫成 <<<Y，參見圖 1。此外，諸如 82 這樣的數字將被寫成 Y<<YY; Y 或 1 代表高位數字，<<YY 或 22 代表低位數字。

巴比倫人最初沒有數字來代表數字 0，他們只是假設零的概念僅僅是數字的缺乏。因此，像 364 這樣的數字，在六十進位制中是 1,0,4，將被寫成 Y YYYY。請注意空格，後來將被佔位符取代，這將是巴比倫人唯一使用的近似於零的符號。

為了簡化使用現代阿拉伯數字書寫六十進位制數字，各位置通常用逗號隔開，小數點用分號表示，因此數字 398.44 將被寫成 6,38;44。要將十進位制轉換為六十進位制，請將該數字除以最大的六十進位制位值，該位值可以進入該數字，然後對餘數重複操作。(7299 → 20 × 360 + 99 → 20 × 360 + 1 × 60 + 39 → 7299 = 20,1,39)

對於乘法，巴比倫人使用平方表和公式

$ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$ 或 $ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$

因此，要找到 9 x 3，巴比倫人可以找到 9 + 3 (12) 和 9 - 3 (6) 的平方，分別為 144 和 36，然後從較大的 144 中減去較小的 36，即 108，然後取這個數字的四分之一，即 27。

為了進行除法，使用倒數表，方法基於以下事實：$a/b=a\times 1/b$。144/6 的例子，使用六十進位制記數法 (1,14/6)

${\frac {2,14}{6}}=2,14\times ;6={\frac {(2,14+;6)}{hi}}$

古代印度

在印度，許多耆那教的經書（聖典）包含複雜的數學。這些書籍非常古老，包含各種形式的數學。如果有人對包含數學的耆那教書籍進行適當的研究，這將對世界數學大有幫助。