數學物理導論/連續介質中的能量/電磁能量

介紹

在電磁能量部分，已經假設給定體積的電磁功率是坡印廷向量的流出。\index{坡印廷向量} 如果電流為零，則給系統提供的能量密度為

dU=HdB+EdD

多極分佈

在電磁相互作用部分，已經看到體積電荷分佈 $\rho$ 的能量是\index{多極}

U=\int \rho Vd\tau

其中 $V$ 是電勢。以下是常見電荷分佈的能量表達式

對於一個點電荷 $q$ ，勢能為： $U=qV(0)$ .
對於偶極子\index{偶極子} $P_{i}$ ，勢能為： $U=\int V{\mbox{ div }}(P_{i}\delta )=\partial _{i}V.P_{i}$ .
對於四極子 $Q_{i,j}$ ，勢能為： $U=\int V(\partial _{i}\partial _{j}Q_{i,j}\delta )=\partial _{i}\partial _{j}V.Q_{i,j}$ .

考慮由一組點電荷 $q_{n}$ 構成的物理系統，這些電荷位於 $r_{n}$ 。這些電荷可以是例如原子或分子的電子。讓我們將這個系統放置在一個與電勢 $U_{e}$ 相關的外部靜態電場中。利用麥克斯韋方程組的線性，位置 $r$ 處感受到的電勢 $U_{t}(r)$ 是外部電勢 $U_{e}(r)$ 和點電荷產生的電勢 $U_{c}(r)$ 的總和。系統的總勢能表示式為

U_{t}=\sum q_{n}(V_{c}(r_{n})+V_{e}(r_{n}))

在原子\index{atom} 中，與 $V_{c}$ 相關的項被認為是主要的，因為 $r_{n}-r_{m}$ 的值很小。該項用於計算原子態。第二項被視為擾動。讓我們尋找第二項 $U_{e}=\sum q_{n}V_{e}(r_{n})$ 的表示式。為此，讓我們將電勢在 $r=0$ 位置展開

U_{e}=\sum q_{n}V_{e}(r_{n})=\sum q_{n}(U(0)+x_{i}^{n}\partial _{i}(U)+{\frac {1}{2}}x_{i}^{n}x_{j}^{n}\partial _{i}\partial _{j}(U)+\dots )

其中 $x_{i}^{n}$ 表示第 $n$ 個電荷的位置向量。這個求和可以寫成

U_{e}=\sum q_{n}U(0)+\sum q_{n}x_{i}^{n}\partial _{i}(U)+{\frac {1}{2}}\sum q_{n}x_{i}^{n}x_{j}^{n}\partial _{i}\partial _{j}(U)+\dots

讀者可以識別出與多極相關的能量。

備註： 在量子力學中，從經典力學到量子力學的過渡法則允許定義與多極矩相關的張量算符（參見章節群）。

物質中的場

在真空電磁學中，以下本構關係是精確的：

eqmaxwvideE

D=\epsilon _{0}E

eqmaxwvideB

H={\frac {B}{\mu _{0}}}

這些關係包含在麥克斯韋方程中。內部電能變化為

dU=EdD

或者，透過使用勒讓德變換並選擇熱力學變數 $E$

dF=DdE

我們建議在這裡處理函式 $D(E)$ 建模的問題。換句話說，我們尋找介質的本構關係。這個問題可以用兩種不同的方法來處理。第一種方法是先驗地提出一個關係 $D(E)$ ，取決於要描述的物理現象。例如，實驗測量表明 $D$ 與 $E$ 成正比。因此，採用的本構關係為

D=\chi E

另一種觀點是從微觀層面開始，即將材料模型化為真空中的電荷分佈。然後可以使用真空中的麥克斯韋方程eqmaxwvideE和eqmaxwvideB來獲得宏觀模型。讓我們透過一些例子來說明第一種觀點

示例

如果施加以下型別的關係

D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}

則該介質被稱為電介質。\index{電介質} 能量表達式為

F=F_{0}+\epsilon _{ij}E_{i}E_{j}

示例

在線性響應理論\index{線性響應}中， $D_{i}$ 在時間 $t$ 被認為不僅取決於 $E$ 在同一時間 $t$ 的值，還取決於 $E$ 在之前時間的取值。假設這種依賴關係是線性的

D_{i}(t)=\epsilon _{ij}*E_{j}

其中 $*$ 表示時間卷積。

示例

為了處理光學活性 [ph:elect:LandauEle]，引入一個張量\index{光學活性} $a_{ijk}$ 使得

D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}+a_{ijk}E_{j,k}

被引入。注意這個定律仍然是線性的，但 $D_{i}$ 取決於 $E_{i}$ 的梯度。

以下兩個例子說明了第二種觀點

示例

磁化率的簡單模型： \index{磁化率} 一個位於 $r_{0}$ 的基本電偶極子可以用（參見部分電荷的模型化）一個電荷分佈 ${\mbox{ div }}(p\delta (r_{0}))$ 來建模。考慮一個在體積 $V$ 內均勻分佈 $N$ 個這樣的偶極子，偶極子位於位置 $r_{i}$ 。建模這個電荷分佈的函式 $\rho$ 是

\rho =\sum _{V}{\mbox{ div }}(p_{i}\delta (r_{i}))

由於散度運算元是線性的，它也可以寫成

\rho ={\mbox{ div }}\sum _{V}(p_{i}\delta (r_{i}))

考慮向量：

eqmoyP

P(r)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {\sum _{d\tau }p_{i}}{d\tau }}

該向量 $P$ 稱為極化向量\index{polarisation}。該向量 $P$ 的評估如圖 figpolar 所示。

figpolar

在點 $r$ 處的極化向量是包含在體積為 $d\tau$ 的盒子中的基本偶極矩之和與體積 d\tau 之比的極限，當它趨向於零時。

真空中的麥克斯韋-高斯方程

{\mbox{ div }}\epsilon _{0}E=\rho

可以寫成

{\mbox{ div }}(\epsilon _{0}E-P)=0

因此，我們將材料的微觀性質（ $p$ ）與材料的宏觀描述（透過向量 $D=\epsilon _{0}E-P$ ）聯絡起來。現在我們必須為 $p$ 提供一個微觀模型。可以提出幾種模型。材料可以由所有方向都朝向相同方向的小偶極子構成。其他材料，如油，由攜帶小偶極子的分子構成，當沒有 $E$ 場時，它們的取向是隨機的。但是，當存在一個非零 $E$ 場時，這些分子往往會沿著電場線定向它們的矩。由等式 eqmoyP 給出的 $P$ 的平均值 $p_{i}$ 當 $E$ 為零（由於矩的隨機取向）為零，在存在非零 $E$ 時變為非零。可以在不進入量子描述細節的情況下提出一個簡單的模型。它認為 $P$ 與 $E$ 成正比