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離散時間穩定性

離散時間系統對離散時間訊號輸入進行操作，併產生離散時間訊號輸出。它們用於數字訊號處理，例如用於影像或聲音的數字濾波器。離散時間系統中既是線性的又是時不變的類別被稱為離散時間LTI系統。

可以使用控制器增益K使離散時間LTI系統穩定，該增益可以使用LMI最佳化找到，使得閉環系統穩定。

系統

具有狀態空間實現的離散時間LTI系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

資料

矩陣：系統$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

最佳化問題

應最佳化以下可行性問題

在滿足LMI約束的同時最大化P。
然後找到K。

LMI

離散時間穩定性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\K_{d}=WP^{-1}\end{aligned}}$

結論

系統是可穩定化的，當且僅當存在一個$P$，使得$P>0$。矩陣$A_{d}+B_{d}K_{d}$是舒爾矩陣，其中$K_{d}=WP^{-1}$

實現

CodeOcean 或其他線上實現 LMI 的連結
MATLAB 程式碼

相關 LMI

[1] - 連續時間穩定性

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。