控制中的LMI / 點選此處繼續 / 控制器綜合 / 多面體二次穩定性

可以使用此LMI進行多面體二次穩定性控制器綜合，需要有關 $A$ ， $\Delta _{A(t)}$ ， $B$ 和 $\Delta _{B(t)}$ 矩陣的資訊。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。
該系統包含以下形式的不確定性

{\begin{aligned}\Delta _{A(t)}=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\Delta _{B(t)}=B_{1}\delta _{1}(t)+....+B_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$ , $u\in \mathbb {R} ^{n}$ , $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$ 以及 $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$

此 LMI 所需的矩陣為 $A$ , $\Delta _{A(t)}\,ie\,A_{i}$ ， $B$ 以及 $\Delta _{B(t)}\,ie\,B_{i}$

存在一個 K 使得

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+\Delta _{A}+(B+\Delta _{B})K)x(t)\\\end{aligned}}

對於 $(\Delta _{A},\Delta _{B})\in C_{0}((A_{1},B_{2}),...,(A_{k},B_{k}))$ 是二次穩定的，當且僅當存在一些 P>0 以及 Z 使得

{\begin{aligned}(A+A_{i})P+P(A+A_{i})^{T}+(B+B_{i})Z+Z^{T}(B+B_{i})^{T}<0\quad for\quad i=1,...k.\end{aligned}}

控制器增益矩陣提取為 $K=ZP^{-1}$
請注意，這裡控制器不依賴於 $\Delta$