控制中的 LMI / 點選此處繼續 / 控制器綜合 / 二階系統的穩定性

穩定性是控制中一個非常重要的概念，對於二階系統來說也不例外。二階系統可以最簡單地用質量-彈簧-阻尼器模型來概念化。速度和位置當然被選擇作為該系統的狀態，狀態空間模型可以寫成如下所示。在這種情況下，穩定性的目標是設計一個控制律，該控制律由兩個控制器增益矩陣 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$ ， $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$ 組成。這些允許構建一個穩定的閉環控制器。

系統

這裡，我們想穩定以下形式的二階系統

{\begin{aligned}M{\ddot {x}}+D{\dot {x}}+Kx&=Bu,\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分別是狀態向量和控制向量，M（稱為“質量矩陣”）、D（稱為“結構阻尼矩陣”）、K（稱為“剛度矩陣”）和 B 是適當維度的系統係數矩陣。

為了使系統遵循標準慣例，我們將系統重新表述為

{\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+A_{1}{\dot {x}}+A_{0}x&=Bu\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x,\end{aligned}}

其中： $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分別是狀態向量和控制向量； $y_{d}\in R^{m_{d}}$ 和 $y_{p}\in R^{m_{p}}$ 分別是導數輸出向量和比例輸出向量； $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},$ 和 $C_{p}$ 是適當維度的系統係數矩陣。注意， $A_{2}$ 必須是 $>0$ ，並且 $A_{0},A_{2}$ 必須是 $\in S^{n}$ .

To further define: $x$ is $\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$ , $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$ , and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$ .