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離散時間二次穩定性

穩定性是一個重要的屬性，穩定性分析對於控制理論來說是必要的。對於魯棒控制，該準則適用於不確定的離散時間線性系統。它基於離散時間Lyapunov穩定性。

系統

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}(\alpha )x_{k}\\Where:\\&A_{d}(\alpha )=A_{d}+\Delta A_{d}(\delta (t))\\&\Delta A_{d}(\delta (t))=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}(t)A_{d;k}\in \mathrm {R} ^{n\times n}\\&\delta (t)=[\delta _{1}(t),...\delta _{n}(t)]-{\text{The set of perturbation parameters}}\\&\delta (t)\in \mathrm {R} \;\;\;A_{d;i}\in \mathrm {R} ^{n\times n}\end{aligned}}$

資料

矩陣 $A\in R^{n\times n}\;A_{d;i}\in R^{n\times n}$.

最佳化問題

以下可行性問題應該被解決

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P>0:\\&(A_{d;0}+\Delta A_{d}(\delta (t)))^{T}P(A_{d;0}+\Delta A_{d}(\delta (t)))-P<0{\text{ for all }}\delta \end{aligned}}$

其中 $P\in R^{n,n}$.

在多面體不確定性的情況下

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P>0:\\&(A_{d;0}+A_{d;i})^{T}P(A_{d;0}+A_{d;i})-P<0{\text{ for all }}i=1,...n\end{aligned}}$

結論

這個 LMI 允許我們研究多面體不確定性情況下魯棒控制問題的穩定性，並給出該情況下控制器。

實現

• [1] - 使用 YALMIP 框架和 Mosek 求解器的 Matlab 實現

相關 LMI： =

• - 離散時間可穩定性
• 連續時間情況下的多面體穩定性
• 二次多面體穩定
• 離散時間 Lyapunov 穩定性

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 列出的 LMI。（第 3.20.2 頁，第 64 頁）
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。

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