控制中的LMI/頁面/矩陣特徵值最小化

矩陣特徵值最小化的LMI

綜合矩陣的特徵值在設計線性系統的控制器中起著重要作用。線性時不變系統的狀態矩陣的特徵值決定了系統是否穩定。如果狀態矩陣的所有特徵值都位於複平面的左半部分，則系統是穩定的。因此，我們可能希望最小化狀態矩陣的最大特徵值，使得最小化的特徵值位於左半平面，這保證了系統是穩定的。

系統

假設我們有一個變數 $x$ 的矩陣函式

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}A_{i},\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$ 是對稱矩陣。

對稱矩陣 $A_{i}$ （ ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\end{aligned}}$ ）是給定的。

最佳化問題是找到變數 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 以最小化以下代價函式

${\begin{aligned}J(x)=\lambda _{\text{max}}(A(x))\end{aligned}}$

其中 $J(x)$ 是代價函式，而 $\lambda _{\text{max}}(.)$ 表示矩陣的最大特徵值。

根據控制系統分析、設計與應用中的LMI（第10頁）中引理1.1，以下陳述是等價的

${\begin{aligned}\lambda _{max}(A(x))\leq t\iff A(x)-tI\leq 0\end{aligned}}$

其中， $t$ 定義為矩陣 $A$ 的最大特徵值。

此最佳化問題可以轉換為一個LMI問題。

LMI公式的數學描述可以寫成如下形式：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t\\&{\text{s.t.}}\quad A(x)-tI\leq 0\end{aligned}}$

因此，在解決此LMI問題後，得到變數 $x_{i},\quad i=1,2,...,n$ 。

此外，我們還獲得了矩陣 $A(x)$ 的最大特徵值 $t$ 。

此問題的Matlab程式碼連結位於Github倉庫中：