控制中的 LMI/pages/矩陣範數最小化

矩陣範數最小化的 LMI

這個問題是對矩陣特徵值最小化問題的輕微推廣。計算矩陣範數在設計 $H_{2}$ 或 $H_{\infty }$ 線性時不變系統的最優控制器時是必要的。在這些情況下，我們需要計算閉環系統的矩陣範數。此外，我們希望設計控制器以最小化閉環矩陣範數。

系統

假設我們有一個變數的矩陣函式 $x$

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}A_{i},\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$ 是對稱矩陣。

對稱矩陣 $A_{i}$ ( ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\end{aligned}}$ ) 是給定的。

最佳化問題是找到變數 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 以最小化以下成本函式

${\begin{aligned}J(x)=||A(x)||_{2}\end{aligned}}$

其中 $J(x)$ 是成本函式， $||.||_{2}$ 表示矩陣函式 $A$ 的範數。

根據控制系統分析、設計和應用中的 LMI (第 10 頁) 中的引理 1.1，以下陳述是等價的

${\begin{aligned}A^{T}A-t^{2}I\leq 0\iff {\begin{bmatrix}-tI&A\\A^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}$

此最佳化問題可以轉換為 LMI 問題。

LMI 公式的數學描述可以寫成如下

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t&\\&{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-tI&A(x)\\A(x)^{T}&-tI\end{bmatrix}}\leq 0\\\end{aligned}}$

因此，在解決此 LMI 問題後，我們將獲得變數 $x_{i},\quad i=1,2,...,n$ ，並得到 $t$ ，即矩陣函式 $A(x)$ 的範數。

此問題的 Matlab 程式碼在 Github 儲存庫中的連結

記錄和驗證 LMI 的參考資料列表。