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Schur 可檢測性

Schur 可檢測性是 Schur 可穩定性的對偶概念，定義如下，矩陣對 $(A,C),$ 當且僅當存在一個實矩陣 $L$ 使得 $A+LC$ 為 Schur 穩定。

系統

我們考慮以下系統

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\\y(k)=Cx(k)+Du(k)\\\end{aligned}}$

其中矩陣 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times r}$, $C\in \mathbb {R} ^{m\times n}$,$D\in \mathbb {R} ^{m\times r}$$x\in \mathbb {R} ^{n}$,$y\in \mathbb {R} ^{m}$ ，和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是狀態矩陣、輸入矩陣、狀態向量和輸入向量。

此外，$k$ 表示離散時間系統中的時間，而 $k+1$ 是下一個時間步。

狀態反饋控制律定義如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

其中 $K\in \mathbb {R} ^{n\times r}$ 是控制器增益。因此，閉環系統由下式給出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

資料

• 矩陣 $A,B,C,D$ 是適當維度的系統矩陣，已知。

最佳化問題

存在一個對稱矩陣 $P$ 和一個滿足以下條件的矩陣 W
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&A^{T}P+C^{T}W^{T}\\PA+WC&P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
存在一個對稱矩陣 $P$ 滿足以下條件
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-N_{c}^{T}PN_{c}&N_{c}^{T}A^{T}P\\PAN_{c}&-P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
其中 $N_{c}$ 是 $C$ 的右正交補。
存在一個對稱矩陣 P 使得
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&PA\\A^{T}P&-P-\gamma C^{T}C\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
$\gamma >1$

LMI

Schur 可檢測性的 LMI 可以寫成以下約束條件下標量 $\gamma$ 的最小化

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \gamma \\&{\text{s.t.}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&A^{T}P+C^{T}W^{T}\\PA+WC&P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-N_{c}^{T}PN_{c}&N_{c}^{T}A^{T}P\\PAN_{c}&-P\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$
${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-P&PA\\A^{T}P&-P-\gamma C^{T}C\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

結論

因此，透過證明上述條件，我們證明了矩陣對 $(A,C)$ 是 Schur 可檢測的。

實現

Github 倉庫中此問題的 Matlab 程式碼連結：Schur 可檢測性

相關 LMI

Hurwitz 穩定性 LMI
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外部連結

• [1] - LMI 在控制系統分析、設計和應用中的應用

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