線性代數/行等價

我們將透過證明每個矩陣都行等價於唯一一個簡化行階梯形式矩陣來結束本節和本章。這裡出現的思想將在下一章中再次出現並得到進一步發展。

這裡的基本主題是理解數學情況的一種方法是能夠對可能發生的情況進行分類。我們已經多次遇到過這個主題。我們已經將線性方程組的解集分類為無元素、一個元素和無限多個元素的情況。我們還根據方程數量與未知量數量的比較，將線性方程組分類為非奇異和奇異的情況。我們採用這些分類，因為它們為我們提供了一種理解我們正在研究的情況的方法。在這裡，我們正在研究行等價，我們知道所有矩陣的集合被分解為行等價類。當我們完成這裡的證明時，我們將有辦法理解每個類——它的矩陣可以被認為是從該類中唯一的簡化行階梯形式矩陣透過行操作得到的。

為了理解行操作如何將一個矩陣轉換為另一個矩陣，我們考慮它們對矩陣各個部分的影響。關鍵的觀察是，行操作以線性方式組合了行。

定義 2.1

的線性組合$x_{1},\ldots ,x_{m}$ 是以下形式的表示式$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\,\cdots \,+c_{m}x_{m}$ 其中 $c$ 是標量。

（我們已經在這本書中使用過“線性組合”這個詞。意思不變，但下一個結果的陳述為了更正式的定義。）

引理 2.2（線性組合引理）

線性組合的線性組合是一個線性組合。

證明

給出線性組合 $c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n}$ 到 $c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n}$，考慮這些組合的組合

$d_{1}(c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n})\,+\dots +\,d_{m}(c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n})$

其中 $d$ 是標量以及 $c$。分配那些 $d$ 並重新分組得到

$=(d_{1}c_{1,1}+\dots +d_{m}c_{m,1})x_{1}\,+\dots +\,(d_{1}c_{1,n}+\dots +d_{m}c_{m,n})x_{n}$

這是一個 $x$ 的線性組合。

在本小節中，我們將使用以下約定：如果矩陣用大寫羅馬字母命名，則匹配的小寫希臘字母命名行。

$A={\begin{pmatrix}\cdots \alpha _{1}\cdots \\\cdots \alpha _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \alpha _{m}\cdots \end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}\cdots \beta _{1}\cdots \\\cdots \beta _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \beta _{m}\cdots \end{pmatrix}}$

推論 2.3

當一個矩陣化簡為另一個矩陣時，第二個矩陣的每一行都是第一個矩陣的行的線性組合。

下面的證明使用歸納法，根據將一個矩陣化簡為另一個矩陣所使用的行操作次數進行歸納。在我們繼續之前，這裡有一個論證的提綱（不熟悉歸納法的讀者可以將這個論證與 "${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$" 證明中的論證進行比較）。 首先，對於論證的基本步驟，我們將驗證當化簡可以透過零次行操作完成時，命題是正確的。其次，對於歸納步驟，我們將論證，如果能夠在某些次數$t\geq 0$的操作中將第一個矩陣化簡為第二個矩陣，這意味著第二個矩陣的每一行都是第一個矩陣的行的線性組合，那麼能夠在$t+1$次操作中將第一個矩陣化簡為第二個矩陣，也意味著同樣的事情。綜上所述，這個基本步驟和歸納步驟證明了這個結果，因為根據基本步驟，命題在零操作情況下是正確的，而根據歸納步驟，它在零操作情況下是正確的，這意味著它在一次操作情況下是正確的，並且再次應用歸納步驟表明它在兩次操作情況下是正確的，等等。

證明

我們根據將第一個矩陣 $A$ 化簡為第二個矩陣 $B$ 所需的最小行操作次數進行歸納。

在基本步驟中，零次化簡操作就足夠了，這兩個矩陣相等，並且 $B$ 的每一行顯然都是 $A$ 行的組合： ${\vec {\beta }}_{i}=0\cdot {\vec {\alpha }}_{1}+\dots +1\cdot {\vec {\alpha }}_{i}+\dots +0\cdot {\vec {\alpha }}_{m}$.

對於歸納步驟，假設歸納假設：當 $t\geq 0$ 時，如果一個矩陣可以透過 $A$ 在 $t$ 步或更少的運算中推匯出，那麼它的行是 $A$ 的行的線性組合。考慮一個矩陣 $B$，它需要 $t+1$ 步運算。因為運算次數大於零，所以必須存在一個倒數第二個矩陣 $G$ 使得 $A\longrightarrow \cdots \longrightarrow G\longrightarrow B$。這個 $G$ 距離 $A$ 只有 $t$ 步運算，因此歸納假設適用於它，也就是說，$G$ 的每一行都是 $A$ 的行的線性組合。

如果最後一步，從 $G$ 到 $B$ 的運算，是一個行交換，那麼 $B$ 的行只是 $G$ 的行重新排序，因此 $B$ 的每一行也是 $A$ 的行的線性組合。另外兩種可能的最後一步操作，即乘以一個行向量和一個標量，以及將一個行的倍數加到另一個行，都會導致 $B$ 的行是 $G$ 的行的線性組合。但是，根據線性組合引理，$B$ 的每一行都是 $A$ 的行的線性組合。

這樣，我們就有了基本步驟和歸納步驟，因此命題成立。

示例 2.4

在降階中

${\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

將矩陣稱為 $A$，$D$，$G$，和 $B$。證明方法表明存在三組線性關係。

${\begin{aligned}\delta _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\delta _{2}&=1\cdot \alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\gamma _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\beta _{1}&=(-1/2)\alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\beta _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}$

先前結果讓我們認識到，高斯消元法透過對行進行線性組合來工作。但最終目的是什麼？為什麼要將線性系統轉化為階梯形，作為線性系統的簡單或基本形式？答案是，階梯形適合回代，因為我們已經將變數隔離了。例如，在以下矩陣中

$R={\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\\0&0&1&5&1&1\\0&0&0&3&3&0\\0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}$

$x_{1}$ 已從 $x_{5}$ 的方程中移除。也就是說，高斯消元法已經使 $x_{5}$ 的行與 $x_{1}$ 的行線性無關。

下一章將精確定義並探討行向量或任何型別向量的線性無關性。但我們可以初步理解，例如，上面的第三行不能由其他行線性表示，也就是說 $\rho _{3}\neq c_{1}\rho _{1}+c_{2}\rho _{2}+c_{4}\rho _{4}$。假設存在標量 $c_{1}$，$c_{2}$ 和 $c_{4}$ 使得該關係成立。

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}0&0&0&3&3&0\end{pmatrix}}&=c_{1}{\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{2}{\begin{pmatrix}0&0&1&5&1&1\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{4}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}\end{array}}$

第一行的首項位於第一列，如果我們只考慮第一列中的元素，則上述關係可以簡化為 $0=2c_{1}+0c_{2}+0c_{4}$，由此可得 $c_{1}=0$。第二行的首項位於第三列，該列元素的方程 $0=7c_{1}+1c_{2}+0c_{4}$，以及我們已知 $c_{1}=0$，則可得 $c_{2}=0$。最後，第三行的首項位於第四列，該列元素的方程 $3=8c_{1}+5c_{2}+0c_{4}$，以及 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$，會得到一個不可能的結果。

以下結果表明這種效應始終成立。它表明高斯消元法消除的是行之間的線性關係。

引理 2.5

在階梯形矩陣中，沒有非零行是其他行的線性組合。

證明

設 $R$ 是階梯形矩陣。假設，為了得到矛盾，某一非零行是其他行的線性組合。

$\rho _{i}=c_{1}\rho _{1}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1}+c_{i+1}\rho _{i+1}+\ldots +c_{m}\rho _{m}$

我們首先用歸納法證明與 $\rho _{i}$ 以上的行相關的係數 $c_{1}$，...，$c_{i-1}$ 都為零。矛盾將來自考慮 $\rho _{i}$ 以及它下面的行。

歸納論證的基步是證明第一個係數 $c_{1}$ 為零。設第一行的首項位於第 $\ell _{1}$ 列，並考慮該列元素的方程。

$\rho _{i,\ell _{1}}=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1,\ell _{1}}+c_{i+1}\rho _{i+1,\ell _{1}}+\ldots +c_{m}\rho _{m,\ell _{1}}$

矩陣處於階梯形，因此條目 $\rho _{2,\ell _{1}}$，…，$\rho _{m,\ell _{1}}$，包括 $\rho _{i,\ell _{1}}$，都為零。

$0=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\dots +c_{i-1}\cdot 0+c_{i+1}\cdot 0+\dots +c_{m}\cdot 0$

由於條目 $\rho _{1,\ell _{1}}$ 不為零，因為它引領了其所在行，因此係數 $c_{1}$ 必須為零。

歸納步驟是要證明對於每個行索引 $k$ 在 $1$ 和 $i-2$ 之間，如果係數 $c_{1}$ 和係數 $c_{2}$，…，$c_{k}$ 都為零，那麼 $c_{k+1}$ 也為零。該論證以及結束此證明的矛盾將在 問題 11 中給出。

現在我們可以證明每個矩陣都與一個且僅一個簡化階梯形矩陣行等價。我們發現將論證的前半部分作為初步引理分解起來很方便。一方面，它適用於任何階梯形，而不僅僅是簡化階梯形。

引理 2.6

如果兩個階梯形矩陣行等價，則它們第一行的首項位於同一列。對於所有非零行來說也是如此——它們第二行的首項位於同一列，依此類推。

為了證明，我們將結果用更專業的術語重新表述。定義一個$m\!\times \!n$矩陣的**形式**為序列$\langle \ell _{1},\ell _{2},\ldots \,,\ell _{m}\rangle$，其中$\ell _{i}$是第$i$行首元所在的列號，如果該行沒有首元，則$\ell _{i}=\infty$。引理指出，如果兩個階梯形矩陣行等價，那麼它們的形是相等的序列。

證明

設$B$和$D$是行等價的階梯形矩陣。由於它們行等價，所以它們的大小必須相同，假設為$m\!\times \!n$。設$B$的第$i$行首元所在的列號為$\ell _{i}$，設$D$的第$j$行首元所在的列號為$k_{j}$。我們將透過歸納法證明$\ell _{1}=k_{1}$，$\ell _{2}=k_{2}$，等等。

這個歸納論證依賴於矩陣行等價的事實，因為線性組合引理及其推論因此表明，$B$的每一行都是$D$的行的線性組合，反之亦然。

$\beta _{i}=s_{i,1}\delta _{1}+s_{i,2}\delta _{2}+\dots +s_{i,m}\delta _{m}\quad {\text{and}}\quad \delta _{j}=t_{j,1}\beta _{1}+t_{j,2}\beta _{2}+\dots +t_{j,m}\beta _{m}$

其中 $s$ 和 $t$ 是標量。

歸納法的基本步驟是驗證引理對矩陣的第一行成立，即驗證 $\ell _{1}=k_{1}$。如果任一行是零行，則由於該矩陣處於階梯形，整個矩陣為零矩陣，因此兩個矩陣均為零矩陣（根據推論 2.3），因此$\ell _{1}$ 和 $k_{1}$ 均為 $\infty$。對於$\beta _{1}$ 和 $\delta _{1}$ 均不是零行的情況，考慮上述線性關係的 $i=1$ 例項。

${\begin{array}{rl}\beta _{1}&=s_{1,1}\delta _{1}+s_{1,2}\delta _{2}+\dots +s_{1,m}\delta _{m}\\{\begin{pmatrix}0&\cdots &b_{1,\ell _{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=s_{1,1}{\begin{pmatrix}0&\cdots &d_{1,k_{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +s_{1,2}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +s_{1,m}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

首先，請注意 $\ell _{1}<k_{1}$ 是不可能的：在 $D$ 中第 $k_{1}$ 列左側的所有列的元素都是零（因為 $d_{1,k_{1}}$ 是第一行的首項），因此如果 $\ell _{1}<k_{1}$，那麼第 $\ell _{1}$ 列元素的方程將是 $b_{1,\ell _{1}}=s_{1,1}\cdot 0+\dots +s_{1,m}\cdot 0$，但是 $b_{1,\ell _{1}}$ 不為零，因為它位於其行的首項，因此這是不可能的。接下來，對稱性論證表明 $k_{1}<\ell _{1}$ 也是不可能的。因此，$\ell _{1}=k_{1}$ 的基本情況成立。

歸納步驟是要證明如果 $\ell _{1}=k_{1}$，並且 $\ell _{2}=k_{2}$，…，並且 $\ell _{r}=k_{r}$，那麼 $\ell _{r+1}=k_{r+1}$ 也是成立的（對於 $r$ 在區間 $1\,..\,m-1$ 內）。該論證儲存在 問題 12 中。

這個引理回答了我們提出的兩個問題：(i) 矩陣的任何兩個階梯形式版本具有相同的自由變數，因此，(ii) 任何兩個階梯形式版本具有相同的自由變數數量。不存在這樣的線性系統或行操作組合，例如，我們可以用一種方式求解系統並得到 $y$ 和 $z$ 是自由變數，但用另一種方式求解系統，則得到 $y$ 和 $w$ 是自由變數，或者用一種方式求解系統，得到兩個自由變數，而用另一種方式求解系統則得到三個自由變數。

現在，我們將重點關注簡化階梯形式矩陣的情況。

定理 2.7

每個矩陣都行等價於唯一的簡化階梯形式矩陣。

證明

顯然，任何矩陣都行等價於至少一個簡化階梯形式矩陣，透過高斯-約旦消元法可以實現。對於另一半，即任何矩陣都等價於至多一個簡化階梯形式矩陣，我們將證明，如果一個矩陣透過高斯-約旦消元法可以簡化為兩個其他矩陣，則這兩個矩陣相等。

假設一個矩陣行等價於兩個簡化階梯形式矩陣 $B$ 和 $D$，因此它們彼此行等價。線性組合引理及其推論允許我們將一個矩陣的行（例如 $B$）寫成另一個矩陣的行（$\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\cdots +c_{i,m}\delta _{m}$）的線性組合。初步結果，引理 2.6，指出在兩個矩陣中，相同的行集為非零行。因此，如果 $\beta _{1}$ 到 $\beta _{r}$ 是 $B$ 的非零行，則 $D$ 的非零行為 $\delta _{1}$ 到 $\delta _{r}$。零行對總和沒有貢獻，因此我們可以改寫關係，只包含非零行。

$\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,r}\delta _{r}\qquad (*)$

初步結果還表明，對於每一行 $j$ 在 $1$ 和 $r$ 之間，矩陣 $B$ 和 $D$ 第 $j$ 行的第一個元素出現在同一列，記為 $\ell _{j}$。將上述關係改寫成關注第 $\ell _{j}$ 列的元素。

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}&\cdots &b_{i,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=c_{i,1}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{1,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{i,2}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{2,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +c_{i,r}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{r,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

給出了從 $i=1$ 到 $i=r$ 的方程組。

${\begin{array}{rl}b_{1,\ell _{j}}&=c_{1,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{j,\ell _{j}}&=c_{j,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{r,\ell _{j}}&=c_{r,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,r}d_{r,\ell _{j}}\end{array}}$

由於 $D$ 是簡化行階梯形式，所有 $d$ 在列 $\ell _{j}$ 中為零，除了 $d_{j,\ell _{j}}$，其值為 $1$。因此，上面每個方程簡化為 $b_{i,\ell _{j}}=c_{i,j}d_{j,\ell _{j}}=c_{i,j}\cdot 1$。但 $B$ 也為簡化行階梯形式，因此所有 $b$ 在列 $\ell _{j}$ 中為零，除了 $b_{j,\ell _{j}}$，其值為 $1$。因此，每個 $c_{i,j}$ 為零，除了 $c_{1,1}=1$，$c_{2,2}=1$，...，以及 $c_{r,r}=1$。

我們已經證明，在標記為 ($*$) 的線性組合中，唯一非零係數是 $c_{j,j}$，其值為 $1$。因此 $\beta _{j}=\delta _{j}$。由於這對於所有非零行都成立，因此 $B=D$。

我們以回顧總結。在高斯消元法中，我們從一個矩陣開始，然後推匯出一個其他矩陣的序列。我們將兩個矩陣定義為相關，如果一個可以從另一個推匯出。這種關係是一種等價關係，稱為行等價，因此將所有矩陣集劃分成行等價類。

(該類中存在無限多個矩陣，但我們只能顯示兩個。) 我們已經證明，每個行等價類中只有一個且僅有一個簡化行階梯形矩陣。 因此，簡化行階梯形矩陣是行等價的規範形式：簡化行階梯形矩陣是類的代表。

我們可以透過將問題轉化為關於代表的問題來回答關於類的疑問。

示例 2.8

我們可以透過檢視高斯-約旦消元法是否產生相同的簡化行階梯形結果來判斷矩陣是否可以相互轉化。因此，這些矩陣不等價

${\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&-3\\-2&5\end{pmatrix}}$

因為它們的簡化行階梯形矩陣不相等。

${\begin{pmatrix}1&-3\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

示例 2.9

任何非奇異 $3\!\times \!3$ 矩陣經高斯-約旦消元后會變為這樣。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

示例 2.10

我們可以透過列出所有可能的簡化行階梯形矩陣來描述這些類。任何 $2\!\times \!2$ 矩陣都屬於其中一個：與該矩陣行等價的矩陣類，

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

與以下型別之一行等價的矩陣的無限多個類

${\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}}$

其中$a\in \mathbb {R}$ （包括$a=0$），與之行等價的矩陣類，

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

以及與之行等價的矩陣類

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

（這是非奇異$2\!\times \!2$ 矩陣的類）。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

確定矩陣是否行等價。

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&1\\5&-1&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\2&0&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\4&3&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&2&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&2\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

問題 2

描述示例 2.10 中每個類中所代表的矩陣。

問題 3

描述這些矩陣的行等價類中的所有矩陣。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}}$

問題 4

有多少個行等價類？

問題 5

行等價類是否可以包含不同大小的矩陣？

問題 6

行等價類的規模有多大？

1. 證明任意零矩陣的類是有限的。
2. 是否有其他類只包含有限個成員？

建議所有讀者完成此練習。

問題 7

給出兩個行階梯形矩陣，它們的主元素在同一列，但它們行不等價。

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問題 8

證明任意兩個 $n\!\times \!n$ 非奇異矩陣行等價。任意兩個奇異矩陣行等價嗎？

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問題 9

描述所有包含這些矩陣的行等價類。

1. $2\!\times \!2$ 矩陣
2. $2\!\times \!3$ 矩陣
3. $3\!\times \!2$ 矩陣
4. $3\!\times \!3$ 矩陣

問題 10

1. 證明向量 ${\vec {\beta }}_{0}$ 是集合 $\{{\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$ 中成員的線性組合，當且僅當存線上性關係 ${\vec {0}}=c_{0}{\vec {\beta }}_{0}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 其中 $c_{0}$ 不為零。（提示。 注意 ${\vec {\beta }}_{0}={\vec {0}}$ 的情況。）
2. 利用它簡化 引理 2.5 的證明。

建議所有讀者完成此練習。

問題 11

完成 引理 2.5 的證明。

1. 首先透過證明 $c_{2}=0$ 說明歸納步驟。
2. 進行完整的歸納步驟：當 $1\leq n<i-1$ 時，假設 $c_{k}=0$ 對於 $1<k<n$ 成立，並推匯出 $c_{n+1}=0$ 也成立。
3. 找到矛盾之處。

問題 12

完成 引理 2.6 中的歸納論證。

1. 陳述歸納假設，並陳述從該假設中必須得出的結論。
2. 檢查歸納假設是否意味著在關係 $\beta _{r+1}=s_{r+1,1}\delta _{1}+s_{r+2,2}\delta _{2}+\dots +s_{r+1,m}\delta _{m}$ 中，係數 $s_{r+1,1},\,\ldots \,,s_{r+1,r}$ 都為零。
3. 透過與基本情況類似的論證來完成歸納步驟，即 $\ell _{r+1}<k_{r+1}$ 和 $k_{r+1}<\ell _{r+1}$ 是不可能的。

問題 13

為什麼在 定理 2.7 的證明中，我們特意限制在非零行上？為什麼不直接使用我們最初的關係 $\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,m}\delta _{m}$，其中使用 $m$ 而不是 $r$，並利用它論證唯一非零係數是 $c_{i,i}$，它等於 $1$ 嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 14

三位卡車司機走進一家路邊咖啡館。一位卡車司機買了四份三明治、一杯咖啡和十個甜甜圈，共計 $$8.45$。另一位司機買了三份三明治、一杯咖啡和七個甜甜圈，共計 $$6.30$。第三位卡車司機為一份三明治、一杯咖啡和一個甜甜圈付了多少錢？ (Trono 1991)

問題 15

高斯消元法不允許用零乘以一行，這是證明簡化行階梯形唯一性的必要條件，否則每個矩陣都可以行等價於一個全零矩陣。這個條件在哪裡使用？

建議所有讀者完成此練習。

問題 16

線性組合引理說明哪些方程可以透過對給定線性系統進行高斯消元得到。

1. 寫出一個不被該系統所蘊含的方程。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=&8\\2x&+&y&=&3\end{array}}$

2. 從一個不一致的系統中可以推匯出任何方程嗎？

問題 17

將行等價的定義擴充套件到線性系統。根據你的定義，等效系統是否具有相同的解集？（Hoffman & Kunze 1971）

建議所有讀者完成此練習。

問題 18

在這個矩陣中

${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&0&3\\1&4&5\end{pmatrix}}$

第一列和第二列加起來等於第三列。

1. 證明在任何行操作下，這個性質仍然保持。
2. 做一個推測。
3. 證明這個推測是正確的。

解答

參考文獻

• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear Algebra (第二版 ed.), Prentice Hall
• Trono, Tony (compilier) (1991), University of Vermont Mathematics Department High School Prize Examinations 1958-1991, mimeograhed printing