數學證明和數學原理/預備知識/數學證明

現在我們已經談論了陳述，讓我們來談談數學家對它們做了什麼，即試圖說服人們它們是正確的。一般來說，“證明”是指旨在做到這一點的論證。在數學之外，存在許多型別的證明，例如，你可能會引用一個可靠的權威。在科學中，你可能會進行一個實驗來測試該陳述是否正確。但在數學中，只有邏輯論證被接受為有效的證明。數學家可能會引用另一位數學家給出的結果，否則每個人都必須從頭開始，但前提是證明已經過獨立檢查。

透過這種方式，數學成為一個非常平等的科學。至少在理論上，每個人在他們聲稱的內容是否可信方面都遵循相同的標準。

我們將更詳細地介紹數學中使用的邏輯論證，但你可能想知道其他型別的論證以及為什麼它們不被允許。

歸納推理

一種可能性是歸納推理（不要與稍後將要介紹的歸納證明混淆）。為了舉例說明幾何學，假設你已經測量了 100 個三角形的角度，並且發現每個三角形中的角度加起來都等於 180 度。你可能會形成一個假設，即三角形的角度始終加起來等於 180 度，並要求其他人透過嘗試各種形狀的三角形來檢驗這個假設。如果他們證實了這個假設，那麼這個假設將被接受為科學事實。

這種論證方式的問題在於，它本質上不可靠。也許存在一種極其罕見的三角形，它的角度不加起來等於 180 度，而碰巧還沒有人發現它。另一種可能性是，這個規則適用於正常大小的三角形，但如果它們小於原子或大於星系，則會失效。

在數學中，沒有用邏輯論證證明但似乎是正確的陳述稱為猜想。一個結果被證明是錯誤的猜想是萊昂哈德·尤拉在 1769 年提出的。它指出，不存在整數 a、b、c、d，使得

a⁴+b⁴+c⁴=d⁴

200 多年後，諾姆·埃爾基斯使用尤拉時代不存在的方法證明了這一點是錯誤的。推翻這個猜想的 a、b、c、d 的最小值是 a=2682440，b=15365639，c=18796760 和 d=20615673。類似於推翻猜想的東西稱為反例。有許多猜想最終被證明，還有許多其他的命運仍然未知。

這並不是說收集資料在數學中毫無用處。它可以用來形成一個假設，這個假設可以被轉化為一個定理，或者找到一個反例可以防止浪費時間試圖證明一個錯誤的東西。

直覺

另一種證明數學陳述的可能性是訴諸直覺，簡單地宣佈它是顯而易見的。再舉一個幾何學的例子，比如三角形兩邊的和永遠不超過第三邊。直覺告訴我們，如果你想從 A 到 B，最短的路線是在它們之間的直線上，而不是經過直線上其他點 C。但歐幾里得仍然覺得有必要證明它。

直覺的問題在於，它臭名昭著地不可靠。一個被稱為辛普森悖論的例子，涉及到當資料被分成組時統計比較如何變化。假設有一所大學正在為潛在學生準備一份宣傳手冊，並決定包括一些入學統計資料，以證明該大學的入學政策沒有性別歧視。這所大學有兩個專案，本科和研究生。本科專案收到 1100 份入學申請，其中 500 份來自男性，600 份來自女性。研究生專案收到 500 份申請，其中 300 份來自男性，200 份來自女性。這兩個系都遵循嚴格的性別中立政策，錄取了相同比例的男性和女性申請者，事實上，事實證明，女性在兩個系中的錄取率都略高於男性。看起來如果女性在兩個系中都有優勢，那麼她們總體上也會有優勢，但有時情況並非如此，如以下表格所示

	UG	Grad	總計
男性	100/500=20%	120/300=40%	220/800=27.5%
女性	126/600=21%	84/200=42%	210/800=26.25%

歷史章節中也提供了一些案例，其中一些普遍的信念結果是錯誤的。例如，在微積分中，曾經有人認為一個連續函式必須有一個導數，至少對於除了一些例外值之外的所有值。事實上，魏爾斯特拉斯函式反駁了這一點。儘管如此，直覺仍然是一種有用的工具，可以用來創造新的猜想併為它們找到證明。

演繹推理

但僅僅演繹推理也有其問題。主要問題是，必須做出一些無法證明的假設。一些陳述可以在沒有任何假設的情況下被證明，但這些陳述被稱為“重言式”，從數學的角度來看，它們並不被認為是有趣的。例如

凡人皆有一死。

數字要麼是偶數，要麼不是偶數。

重言式的概念在邏輯學甚至演算法研究中都很重要，但你永遠不會稱它為定理。

因此，數學必須做出一些初始的假設，即所謂的第一原理。它們現在通常被稱為公理，但你可能還會聽到它們被稱為公設。但公理從何而來？我們如何判斷它們是否正確？事實證明，這是一個難題。一種方法是退回到歸納和直覺，但我們又將面臨上面列出的問題。另一種方法是將公理視為或多或少任意的假設，就像紙牌遊戲中的規則一樣。不同的規則會導致不同的遊戲，不同的公理會導致不同型別的數學。