數學證明與數學原理/集合/歷史
我們現在終於離開了邏輯學，正式進入數學領域。這部分關於集合論的介紹包括一些歷史和哲學背景。
如果你是在集合在小學就被引入的一代人中長大的，那麼你可能會驚訝地發現，現代集合的概念誕生不到 150 年。這個概念並非作為為數學建立正式基礎的一種方式而產生的，而是作為研究相當專業領域的傅立葉分析的副產品而產生的。然而，僅僅一代人後，人們就發現集合可以用來為數字的概念提供邏輯基礎，從那裡就可以推匯出所有數學。但是，當我們說“發現”時，我們應該補充說，這是當時人們的看法，現在又經過了幾代人，最初的樂觀情緒有所減退。
集合的概念實際上很簡單，甚至可以說很枯燥。你可以把集合想象成一個沒有任何內部結構或關係的物體袋。這是一個如此簡單的概念，讓人驚訝的是，為什麼沒有人早點想到這個概念，或者像數字的概念一樣，它沒有在世界各地的文明中獨立產生。
也許問題在於這個概念太簡單了，簡單到似乎從它身上得不到任何有趣的東西。然而，儘管它很簡單，但它卻有一些微妙之處。例如，對於某個物體，比如蘇格拉底，我們會區分物體本身和包含該物體的集合；在這個例子中，蘇格拉底不是{蘇格拉底}。
最初，集合的概念與謂詞的概念相似；對於一個物體，如果給定謂詞 為真，則它屬於該集合，如果 為假，則它不屬於該集合。區別在於，對應於 的集合變成了一個新的物體
它現在成為了論域的一部分。這個想法如此簡單，以至於當時有些人認為集合可以被歸納到邏輯中，既然數學可以被歸納到集合論中，那麼所有數學都可以作為邏輯的一個分支推匯出來。這個計劃實際上是在 20 世紀初期嘗試的，主要由弗雷格和羅素嘗試。
不久之後，這個所謂數學基礎的裂縫就變得明顯起來。最初，它們看起來很小，很容易修補，但後來羅素自己發現了一個主要的悖論，需要對已經產生的內容進行一些重大的重組才能挽救。
問題的根源在於沒有足夠小心地避免自指語句。事實上，悖論可以用不使用集合語言，而是隻使用謂詞來表達。如果謂詞可以作為物件，那麼就可以討論謂詞應用於其他謂詞。然後可以問一個謂詞是否對自身為真。因此，你可以定義一個謂詞，表示，換句話說， 為真，當且僅當 是一個謂詞且對 為真。這還沒有問題，但我們已經開始出現一些自指現象。從這裡，只需一小步就可以定義謂詞 ，表示非，換句話說， 為真，當且僅當 是一個謂詞且對 為假。
悖論出現在我們試圖確定 為真還是假時。如果 為真，那麼由於其中一個要求是 為假，它不能說對自身為真，因此 為假。但如果 為假，那麼我們可以檢查要求， 是一個謂詞且 為假，因此 為真。無論哪種方式，我們都會得到矛盾。這種機制與我們第一次討論什麼是語句時提到的說謊者悖論非常相似。這裡根本原因，就像之前的悖論一樣，是自指，雖然它不像之前那樣直觀。
如果使用集合論的語言，那麼這個陳述就會變得簡單一些。寫 當 屬於集合 。（我們將在下一頁對其進行更正式的定義。）我們定義 為集合 ，並這次詢問 是否成立。同樣，透過類似的論證， 為真意味著它為假，而 為假意味著它為真。
解決悖論
[edit | edit source]由於悖論的根本原因是自指，因此避免它的方法是首先防止自指。羅素透過引入型別層次結構來做到這一點。粗略地說，簡單物件位於最底層，型別為 0。簡單物件的謂詞位於下一層，型別為 1。該方案無限期地繼續，每層上的謂詞僅適用於較低層上的物件。利用這個想法，羅素和他的合著者阿爾弗雷德·諾斯·懷特黑德完成了將數學建立在邏輯基礎上的計劃，最終形成了多卷本的《數學原理》。雖然這是一部具有里程碑意義且具有影響力的作品，但它並沒有完全成功地實現將數學建立在純粹邏輯基礎上的目標。一方面，型別層次結構的使用起來很麻煩，而且存在更簡單的替代方案。第二個問題是，使用的一些公理具有明顯的數學特徵，而不是邏輯特徵，而且該作品基於純粹邏輯的說法難以維護。
避免自指的另一種方法，也是透過 Zermelo-Fraenkel 集合論公理被採用為標準的方法，是對哪些謂詞可以轉換成集合施加嚴格的限制。該理論中有一些一般的公理，以及近十個集合構造器，允許你為各種特定謂詞建立新的集合。由於這些限制，自指被消除了，但構造器中仍然有足夠的差異，可以構成大多數數學的基礎。與羅素和懷特黑德的型別層次結構相比，它的缺點是，每個構造器都需要一個單獨的公理，而且大多數構造器似乎是為特定數學結構而定製的。這意味著這些公理絕對不再僅僅基於邏輯，而且它們是否屬實仍然是一個爭論的話題。
我們將在下一節介紹一般的公理，並在需要的時候逐步新增構造器公理。