數學證明與數學原理/集合/元素與子集

正如我們之前提到的，集合論的基本概念是未定義的。事實上，術語“集合”僅僅意味著“物件”，因為集合論中的所有物件都是集合。

集合的元素

集合成員的概念是基礎的，我們將這個關係作為公理 0。與“=”關係一樣，我們保留一個符號“∈”來表示這種關係。

公理 S0: 在論域中存在一個關係“∈”，寫成 $x\in y$ 並讀作“x 是 y 的元素”、“x 在 y 中”、“x 被包含在 y 中”或“y 包含 x”。（最後兩個短語含糊不清，應該謹慎使用。）

“∉”關係是根據“∈”定義的。

定義 SE1: 寫成 $x\notin y,$ 當不 $x\in y.$

我們也可以定義逆關係，不過在實踐中這並不常用。

定義 SE2: 寫成 $x\ni y,$ 當 $y\in x.$

子集

下一個公理確定了兩個集合何時相等，但首先定義一個集合是另一個集合的子集會更方便。我們寫成 $y\subseteq z,$ 並說，“y 是 z 的子集”，意味著集合 y 中的所有元素都在集合 z 中。形式上

定義 SE3: 寫成 $y\subseteq z,$ 當對於所有的 x，$x\in y$ 意味著 $x\in z.$

符號 $y\subseteq z$ 讀作“y 是 z 的子集”、“y 被包含在 z 中”或“z 包含 y”。（最後兩個短語也在公理 S0 中用於表示其他意思，因此它們是含糊不清的。依靠上下文來判斷每種情況下指的是什麼。）

直觀地說，$y\subseteq z$ 意味著 $y$ 可以透過移除 $z$ 中的零個或多個元素而得到，或者 $z$ 可以透過新增 $y$ 中的零個或多個元素而得到。為了證明一個集合是另一個集合的子集，比如 $b\subseteq c$，首先選擇一個任意的 $a$，然後假設 $a\in b$ 並推匯出 $a\in c$。我們已經有兩個定理，它們的證明留作練習。

例如，考慮集合 $A=\{1,2\}$ 和 $B=\{1,2,3\}$。我們有 $A\subseteq B$，因為 A 中的所有元素都在 B 中，但 $B\subseteq A$ 是錯誤的，因為 3 在 B 中，但不在 A 中。

定理 SE1： 對於所有 $x$，$x\subseteq x$。

定理 SE2： 對於所有 $x$，$y$ 和 $z$，$x\subseteq y$ 和 $y\subseteq z$ 意味著 $x\subseteq z$。

與 '∈' 關係一樣，我們可以對 '⊆' 關係定義不同的變體

定義 SE4： 當不滿足 $x\subseteq y.$ 時，寫 $x\nsubseteq y,$。

定義 SE5： 當 $y\subseteq x.$ 時，寫 $x\supseteq y,$。

定理 SE3： 如果對於某個 $x$，有 $x\in y$ 且 $x\notin z$，則有 $y\nsubseteq z$。

外延公理

正如我們在本章的歷史部分提到的，集合被認為是物件的集合，沒有內部組織或結構。換句話說，我們要求兩個集合相同，只需要它們具有相同的元素。這與我們很快將正式定義的有序對形成對比，其中有序對取決於元素出現的順序。例如，有序對 (1, 2) 與有序對 (2, 1) 不同，但集合 {1, 2} 與集合 {2, 1} 相同。

我們可以透過非正式地宣告來捕捉這個想法：

當且僅當兩個集合包含完全相同的元素時，它們是相等的。

更正式地，我們有以下公理：

公理 S1（外延公理）： 對於所有 $x$ 和 $y$，$x\subseteq y$ 且 $y\subseteq x$ 蘊涵著 $x=y$。

讓我們來分解這個，看看它是否與上一段的直觀描述相符。條件 $x\subseteq y$ 基本上說的是 $x$ 的每個元素都在 $y$ 中，而條件 $y\subseteq x$ 則表示 $y$ 的每個元素都在 $x$ 中。將它們放在一起，它就說明 $x$ 和 $y$ 具有相同的元素，並且由於集合是由其元素決定的，因此 $x$ 和 $y$ 必須是同一個東西。

有些作者將這個公理作為等式（至少對於集合）的定義，如果等式還沒有被宣佈為基本概念，我們也可以這樣做。請注意，即使等式是如此定義的，我們仍然需要代入公理。

外延公理提供了一種證明兩個集合相等的方法。為了證明 $y=z$，首先證明 $x\in y$ 意味著 $x\in z$，然後證明 $x\in z$ 意味著 $x\in y$。為了證明兩個集合 *y* 和 *z* 不相等，只需展示一個 *x*，它在 *y* 中但不 在 *z* 中，或者它在 *z* 中但不 在 *y* 中。

例如，令 $A=\{1\}$ 且 $B=\{1,1\}$。如果 *x* 是 *A* 的元素，則 *x*=1，它在列表 1, 1 中，因此 *x* 是 *B* 的元素。另一方面，如果 *x* 是 *B* 的元素，則 *x*=1 或 *x*=1，這意味著 *x*=1，因此 *x* 是 *A* 的元素。因此，*A*=*B*。

作為兩個不相等集合的例子，取 $A=\{1,2,3\}$ 且 $B=\{1,2\}$。然後 $A\neq B$，因為 $3\in A$ 但 $3\notin B$。

如果我們希望說 *x* 是 *y* 的子集，並排除 *x* 和 *y* 相等的可能性，那麼就說 *x* 是 *y* 的 *真子集*。用符號表示為

定義 SE4: 當 $y\subseteq z$ 且 $y\neq z$ 時，寫 $y\subset z,$ 。

關係 $\subseteq$ 和 $\subset$ 被稱為包含關係。

空集

到目前為止，我們只討論了兩個集合相等或一個集合是另一個集合的子集的情況；我們還沒有實際證明任何集合的存在。事實上，我們給出的公理到目前為止都適用於空宇宙，所以我們需要另一個公理來確保宇宙中存在某些東西。

存在公理告訴我們，至少存在一個集合，特別是沒有元素的集合。該公理是自舉集合論的起點，因為它為我們提供了第一個集合。它沒有元素的事實使我們能夠避免尚未定義其他集合的問題。

非正式地說，該公理宣告

存在一個不包含任何元素的集合。

更正式地說

公理 S2（空集的存在）：對於某些 $x$，對於所有 $y$，$y\notin x$。

請注意，該公理只說明至少存在一個空集。它沒有說明只有一個這樣的集合。在我們可以定義“空集”併為其命名之前，我們還需要做一些工作。請記住，定義的要求是所討論謂詞的存在性和唯一性。

首先，我們定義謂詞 $Empty(x)$ 的含義為

對於所有 $y$，不成立 $y\in x$

那麼公理 S1 只是闡明瞭該謂詞的存在性，換句話說

對於某些x，$Empty(x)$

為了證明唯一性，我們需要證明

定理 SE4: $Empty(x)$ 且 $Empty(y)$ 意味著 $x=y$

我們將證明留作練習，提示：證明每個集合都是另一個集合的子集，然後應用公理 S1。

由於只有一個空集，我們可以稱之為空集，併為其定義一個符號，即 $\varnothing$。我們也可以將其表示為 $\{\}$。正式地說

定義 SE5: 空集，記為 ∅ 或 {}，被定義為該集合，對於該集合

對於所有 $y$，不成立 $y\in \varnothing$。

請注意符號∅與某些北歐語言中使用的字母ø相似，但實際上是不同的。

定理 SE6: 對於所有$x$，$\varnothing \subseteq x$.

證明留作練習。如果你把$x\subseteq y$理解為$x$在某種意義上小於$y$，那麼∅是最小的集合。自然地，人們會問是否存在最大的集合，但答案是否定的。為了避免諸如羅素悖論（在本章引言中描述）之類的問題，這樣的集合是不存在的。

定理 SE7: 對於所有$x$，如果$x\neq \varnothing$，則存在$y$，使得$y\in x$

證明再次留作練習。