數學證明與數學原理/集合/對

到目前為止，我們唯一證明存在的集合是 ∅。下一條公理允許我們從現有集合建立新集合，因此從 ∅ 開始，我們可以構建無限多個新集合。

無序對

對的公理基本上說，如果我們有兩個集合，x 和 y，那麼我們可以形成新的集合 {x. y}。你可能想知道為什麼我們不從單元素集合開始，但是由於 {x, x} = {x}，公理也同時形成單元素集合。與存在公理一樣，對的公理實際上只說存在一個元素為 x 和 y 的集合，但我們需要證明唯一性才能定義符號。

非正式地說，公理指出

如果 x 和 y 是集合（不一定不同），那麼存在一個集合 z，使得對於所有 u，$(u\in z)$ 當且僅當 $(u=x$ 或 $u=y)$。

用更精確的邏輯形式

公理 S3（對的公理）： 對於所有 'x' 和 'y'，對於某個 z，對於所有 u，

$(u\in z)$ 當且僅當 $(u=x$ 或 $u=y)$。

定義 給定兩個集合 $A$ 和 $B$，我們定義 $A$ 和 $B$ 的無序對 是一個僅包含 $A$ 和 $B$ 的集合。我們將其表示為 $\{A,B\}$。

配對公理沒有說明$A$ 和 $B$ 必須不同。考慮無序對 $\{A,A\}$。擴充套件性公理告訴我們，它等於集合 $\{A\}$。

示例 令$A=B=\emptyset$。然後公理表明存在一個包含$A$ 和 $B$ 的集合。它是集合 $S=\{\emptyset ,\emptyset \}=\{\emptyset \}$。$\square$

示例中的集合$S$ 與空集不同，因為$\emptyset$ 是空的，而$S$ 包含空集作為元素。因此這兩個集合包含不同的元素。

當然我們可以繼續使用配對公理來建立新的集合。例如 $T=\{S,\emptyset \}=\{\{\emptyset \},\emptyset \}$ 是一個與空集和集合 $S$ 不同的集合，等等。

實際上，我們可以使用這個過程建立無限多個不同的集合。但是，每個這樣的集合要麼包含一個元素，要麼包含兩個元素。

有序對

如果集合總是無序的，人們可能想知道如何用集合來定義有序的數學物件。以下對有序對的巧妙定義歸功於庫拉托夫斯基。

定義 給定一個集合 $A$ 和 $a,b\in A$，$a$ 和 $b$ 的 有序對，記作 $(a,b)$，是集合 $\{\{a\},\{a,b\}\}$。

以下定理表明有序對具有我們期望它們具有的性質。

定理 當且僅當 $a=c$ 且 $b=d$ 時，我們有 $(a,b)=(c,d)$。

證明 顯然，如果 $a=c$ 且 $b=d$，則

$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}.$

(1)

為了證明逆命題，假設 (1) 成立。

首先我們來處理 $a\neq b$ 的情況。在這種情況下，$\{a\}\neq \{a,b\}$，因此 $c\neq d$，否則 $\{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{c\},\{c,c\}\}=\{\{c\},\{c\}\}=\{\{c\}\}$，從 (1) 中我們有 $\{a\}=\{c\}=\{a,b\}$，這將是一個矛盾。

但如果 $c\neq d$，則 $\{c,d\}\neq \{a\}$，因此為了使等式 (1) 兩側的元素相同，我們必須有 $\{a\}=\{c\}$ 並且 $\{a,b\}=\{c,d\}$。但第一個推論意味著 $a=c$。因此 $\{a,b\}=\{c,d\}=\{a,d\}$。由於 $a\neq b$，這意味著 $b=d$。

現在我們處理 $a=b$ 的情況。在這種情況下，$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}.$

因此 $\{c\}=\{a\}=\{c,d\}$。因此 $a=b=c=d$。

在這兩種情況下，$a=c$ 並且 $b=d$。 $\square$

有序元組

我們可以使用庫拉托夫斯基的有序對定義來定義有序三元組。

定義 我們定義有序三元組 $(a,b,c)$ 為 $(a,(b,c))$.

顯然，我們可以將定義擴充套件到 $n$-元組，對於任何 $n$.

定義 我們定義有序 $n$-元組 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ 為 $(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))$.

練習

• 展示如何生成無限多個僅包含一個元素的不同集合。對於包含兩個元素的集合，執行相同的操作。
• 假設 $\{a\}=\{b,c\}$。證明 $b=c$.
• 證明，如果按維納的方式定義有序對，即 $(a,b)=\{\{\{a\},\emptyset \},\{\{b\}\}\}$，則 $(a,b)=(c,d)$ 當且僅當 $a=b$ 且 $c=d$，就像庫拉托夫斯基的定義一樣。
• 給定庫拉托夫斯基的有序對定義，證明上面定義的有序三元組是一個包含一個或兩個元素的集合。