數學證明與數學原理/集合/並集和交集

集合的並集

並集是允許我們形成具有超過兩個元素的集合的構造。它允許我們獲取現有的集合並形成一個包含所有這些集合的元素的單個集合。

公理（並集）

給定一個集合 $S$，存在一個集合 $U$，使得 $x\in U$ 當且僅當 $x\in A$ 對於某些 $A\in S$。

定義 給定一個集合 $S$，我們稱一個集合 $U$，如同在並集公理中一樣，是關於 $S$ 的一個並集，並將其表示為 $\bigcup S$。

示例 令 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{1,2\}$ 以及 $C=\{1,5\}$。現在令 $S=\{A,B,C\}$。那麼 $\bigcup S=\{1,2,3,5\}$。 $\square$

定理 給定一個集合 $S$，如同在並集公理中一樣，關於 $S$ 的並集是唯一的。

證明 如果 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 都是對 $S$ 的並集，那麼 $x\in U_{1}$ 當且僅當 $x\in A$ 對於某些 $A\in S$。類似地，$x\in U_{2}$ 當且僅當 $x\in A$ 對於某些 $A\in S$。因此 $x\in U_{1}$ 當且僅當 $x\in U_{2}$，因此根據外延性，$U_{1}=U_{2}$。 $\square$

我們以如下方式恢復兩個集合並集的熟悉定義。

定義 如果 $S=\{A,B\}$，我們用 $\bigcup S$ 表示 $A\cup B$，並稱其為 $A$ 和 $B$ 的 *並集*。

定理 如果 $A$ 和 $B$ 是集合，那麼 $A\cup B$ 是一個集合。

證明 由配對公理，$S=\{A,B\}$ 是一個集合。 因此根據並集公理，$A\cup B=\bigcup S$ 是一個集合。 $\square$

理解

理解允許我們從現有集合中選擇具有特定屬性的元素。 理解公理模式說，這樣的選擇定義了集合。

我們在理解中可以使用的屬性幾乎沒有限制，除了它們必須用集合論和形式邏輯語言中的公式來指定。

我們首先定義公式的含義。

定義 一個公式可以包含變數 $x_{1},x_{2},\ldots$，我們允許無限供應，以及常量，即特定集合 $A_{1},A_{2},\ldots$，必須使用以下有限個來構建

• 形式為 $u\in v$ 和 $u=v$ 是公式，稱為原子公式，對於所有變數和常量 $u$ 和 $v$。

• 如果 $P$ 和 $Q$ 是公式，那麼 $P\vee Q$，$P\wedge Q$，$\neg P$，$(P\rightarrow Q)$ 和 $(P\leftrightarrow Q)$ 是公式。

• 如果 $P$ 是一個公式，那麼 $\forall x_{i}P$ 和 $\exists x_{i}P$ 都是公式。

這裡 $\vee$ 代表邏輯或，$\wedge$ 是邏輯與，$\neg$ 是邏輯否定，$\rightarrow$ 是蘊含，$\leftrightarrow$ 代表當且僅當，我們通常縮寫為iff。

表示式 $\forall x$ 被稱為全稱量詞。它表示對於所有集合 $x$。表示式 $\exists x$ 是一個存在量詞。它表示存在一個集合 $x$。

例子 給定一個集合 $A$，表示式 $P(x,A)=\forall y(x\in y)\vee (x\in A)$ 是一個公式的例子。 $\square$

雖然符號 $\subseteq$，$\subset$ 等，以及 $\exists !$ 表示存在唯一的，不是形式語言的一部分，我們可以用集合論的現有語言來定義它們。

例如，$A\subseteq B$ 可以寫成 $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$。類似地，$\exists !xP(x)$ 可以寫成 $\exists x(P(x)\wedge \forall y(P(y)\rightarrow y=x))$.

定義 在一個公式中，任何形式為 $\forall x_{i}P$ 或 $\exists x_{i}P$ 的表示式內的變數 $x_{i}$ 被稱為繫結 的。公式中所有其他變數被稱為自由 或公式的引數。

我們現在可以陳述理解公理模式。

公理模式（理解）

對於集合 $A$ 和性質 $P(x,A)$，存在一個集合 $B$，它包含滿足性質 $P(x,A)$ 的所有 $x\in A$。

請注意，這不是一個公理，而是對於每個可能的性質都有一個公理。我們將這樣的公理集合稱為公理模式。

從技術上講，公式 $P(x,A)$ 可以有有限個自由變數，所以有時表示為 $P(x,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},A)$，其中 $y_{i}$ 是自由變數。但我們現在暫時忽略這個技術細節，只寫 $P(x,A)$.

定理 集合 $A$ 中滿足性質 $P(x,A)$ 的元素的集合是唯一的。

證明 如果存在兩個這樣的集合$S_{1}$ 和 $S_{2}$，那麼$x\in S_{1}$ 當且僅當 $x\in A$ 且 $P(x,A)$ 成立。然而，這種情況當且僅當 $x\in S_{2}$。因此 $x\in S_{1}$ 當且僅當 $x\in S_{2}$，結果由外延性得出。 $\square$

定義 對於集合 $A$ 中滿足 $P(x,A)$ 的所有元素的集合記為 $\{x\in A\;|\;P(x,A)\}$。

我們可以將豎線讀作“使得”。

示例 如果 $A=\{1,2,3\}$，那麼 $\{x\in A\;|\;x\neq 2\}=\{1,3\}$。

理解公理模式有時被稱為子集公理模式或規格化公理模式，因為它保證由公式指定的任何集合的子集都是一個集合。

集合的交集

我們可以用理解來定義兩個集合的熟悉交集。

  $A\cap B=\{x\in A\cup B\;|\;x\in A\;{\mbox{and}}\;x\in B\}.$

理解中的公式由集合語言中的兩個謂片語成，即 $(x\in A)$ 和 $(x\in B)$，由形式邏輯中的邏輯合取“且”連線。

更一般地，我們有以下結論。

定義 令 $S$ 是一個集合的集合。在 $S$ 上的交集定義為

  $\bigcap S=\{x\in \bigcup S\;|\;x\in A\;{\mbox{for all}}\;A\in S\}.$

示例 令 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,5\}$ 以及 $C=\{1,2,3,4\}$。如果 $S=\{A,B,C\}$，那麼 $\bigcap S=\{2,3\}$。

定理 令 $S$ 是一個集合的集合。那麼 $\bigcap S$ 是一個集合。

證明 根據並集和理解公理，這是一個集合。 $\square$

以下是另一個有用的定義。

定義 兩個集合 $A$ 和 $B$ 被稱為不相交，如果 $A\cap B=\emptyset$。

示例 集合 $A=\{1,2,3\}$ 和 $B=\{4,5\}$ 是不相交的，因為它們的交集為空。

練習

• 證明如果 $A$ 和 $B$ 是集合，那麼 $A\subseteq B$ 當且僅當 $A\cup B=B$。

• 令 $A$，$B$ 和 $C$ 為集合。證明存在一個集合，其元素為 $A$，$B$ 和 $C$。

• 假設 $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ 和 $Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}$ 是集合，且 $X_{i}\subseteq Y_{i}$ 對所有 $i$ 成立。令 $S=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}$ 和 $T=\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\}$。證明 $\bigcap S\subseteq \bigcap T$。