數學證明與數學原理/集合/類與基礎

基礎

大多數數學可以在沒有基礎公理的情況下完成，但它消除了許多病態情況，否則會使集合論變得複雜。

例如，基礎公理排除了形式為 $S=\{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}$ 的集合，其中 $a_{2}\in a_{1}$，$a_{3}\in a_{2}$ 等。它還排除了包含自身的集合。

稍後我們還將看到，基礎公理可以與替換公理模式一起使用（我們尚未定義），以表明集合不能無限巢狀。所有集合都可以從底部構建。

公理（基礎）

每個非空集合 $S$ 包含一個與 $S$ 不相交的元素。

基礎公理有時被稱為正則性公理。

基礎公理的直接結果之一如下。

定理 如果 $S$ 是一個集合，那麼 $S\notin S$。

證明 考慮集合 $\{S\}$，它是根據配對公理定義的集合。根據基礎公理，該集合必須包含一個與其不相交的元素。但是，唯一的元素是 $S$，因此 $S$ 必須與 $\{S\}$ 不相交。由於 $\{S\}$ 包含 $S$，這意味著 $S$ 不能包含 $S$。 $\square$

另一種方法是證明以下更一般的結論，然後將其專門用於 $X=Y$。

定理 如果 $X$ 和 $Y$ 是集合，那麼我們不可能同時有 $X\in Y$ 和 $Y\in X$。

證明 考慮集合 $\{X,Y\}$，它是根據配對公理定義的集合。根據基礎公理，它必須包含一個與其不相交的元素。因此，要麼 $X$ 要麼 $Y$ 與 $\{X,Y\}$ 不相交。

因為 $\{X,Y\}$ 包含 $X$ 和 $Y$，那麼要麼 $Y\notin X$，要麼 $X\notin Y$。 $\square$

現在我們將證明不存在形式為 $S=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ 的集合，其中 $a_{i+1}\in a_{i}$ 對所有 $i$ 成立。

定理 不存在一個集合 $S$ 具有這樣的性質：對於所有 $x\in S$ 都存在 $y\in S$ 使得 $y\in x$。

證明 這直接從基礎公理得出，因為每個元素 $x\in S$ 與 $S$ 有共同元素，即假設存在的元素 $y\in x$。 $\square$

練習

• 令 $T=\{S,\{S\}\}$。使用基礎公理證明 $S\neq T$。