數學證明與數學原理/集合/冪集

冪集

冪集允許我們討論給定集合$A$的所有子集的類，即$\{U\;|\;U\subseteq A\}$。這是一個集合是冪集公理的主題。

公理

給定一個集合$A$，存在一個集合的集合$S$，使得$U\in S$當且僅當$U\subseteq A$。

定理 給定一個集合$A$，存在一個唯一的集合，其元素是$A$的子集。

證明 如果$S_{1}$和$S_{2}$是兩個這樣的子集集合，那麼$U\in S_{1}$當且僅當$U\subseteq A$。但$S_{2}$也是如此。因此，根據外延公理，$U\in S_{1}$當且僅當$U\in S_{2}$，所以$S_{1}=S_{2}$。 $\square$

定義 給定一個集合 $A$，所有 $A$ 的子集組成的集合稱為 $A$ 的冪集。它用 ${\mathcal {P}}(A)$ 表示。

示例 如果 $A=\{a,b,c\}$ 那麼 ${\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$。

笛卡爾積

回憶一下有序對的 Kuratowski 定義，$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ 對於 $a$ 和 $b$ 是集合 $A$ 的元素。注意 $\{a\}$ 和 $\{a,b\}$ 都是 $A$ 的子集，即它們是冪集 ${\mathcal {P}}(A)$ 的元素。

這意味著 $(a,b)$ 是 ${\mathcal {P}}(A)$ 的子集，即 $(a,b)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))$。

我們可以用一個簡單的技巧略微概括一下。我們可以定義$(a,b)$，其中$a\in A$ 和 $b\in B$，對於集合 $A$ 和 $B$。為此，我們只需從集合 $A\cup B$ 的並集中取元素 $a$ 和 $b$。

換句話說，我們有$(a,b)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))$，其中$a\in A$ 和 $b\in B$。

定理 所有元素的序偶 $(a,b)$ 的類，其中 $a\in A$ 和 $b\in B$，是一個集合。

證明 該集合由$\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\;|\;x=(a,b),a\in A\;{\mbox{and}}\;b\in B\}$ 給出。根據冪集、並集和理解公理模式，這是一個集合。$\square$

定義 由序偶 $(a,b)$ 組成的集合，其中 $a\in A$ 且 $b\in B$，被稱為 $A$ 和 $B$ 的 笛卡爾積，記作 $A\times B$。

練習

• 證明對於集合 $A,B,C,D$，有 $(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$。

• 證明對於集合 $A,B,C$，有 $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$。

• 證明對於集合 $A,B,C$，有 $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$。

• 證明對於集合 $A,B,C$，其中 $A\subseteq B$，有 $A\times C\subseteq B\times C$。