透過影片遊戲解釋物理學/系統和質心

主題 2.1 - 系統和質心

在討論本單元后面的力之前，我們需要先考慮幾個定義。

介紹

物體集合，例如摩天輪的軌道，有一個質心。瞭解這一點可以幫助我們檢查作用在系統上的力，正如以下主題中所介紹的那樣。

物體的質心（有時縮寫為CoM）是指構成該物體的所有部分的平均位置。

在經典力學中，考慮這一點在各種情況下都很有用，因為它通常使我們能夠將形狀不規則的物體視為一個單獨的點。在本系列文章的後面，這將特別有助於簡化許多問題和概念。

在某些情況下，例如在由antidonaldtrump / Armin van buren（在右側）製作的摩天輪中，確定系統物體的質心可能很有用。需要注意的是，物理學中的系統只是我們感興趣在一起觀察的物體或物體部分的集合。

示例 1：摩天輪

例如如何計算系統的質心，我們首先需要考慮組成它的具有質量的物體。在摩天輪的情況下，為簡單起見，我們假設只有摩天輪的六個軌道具有不可忽略的質量。因此，摩天輪的其餘部分（例如底座或輪緣）將不被視為對它的質心有貢獻。

有了這一點，我們可以定義組成該系統的六個物體。對於這些物體中的每一個，我們需要知道它們自己的質心。

使用右側的圖表，它代表六個軌道的每個質心的位置，假設

• 每個綠色點指定軌道的質心及其位置。
• 綠色點的座標值以米為單位$({\text{m}})$.
• 所有軌道具有相同的質量，為$10,000.\;{\text{kg}}$.

為了計算摩天輪的質心在哪裡，我們需要使用質心在特定方向上的定義，如下所示。本質上，這允許我們分別計算系統在水平和垂直方向上的質心（假設二維情況）。由此，我們可以通過了解每個軌道的相對質量和座標來描述質心（在特定方向上）。

某個方向上的質心定義（$x$）：

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

在上面的公式中，$m_{1},m_{2},m_{3}\dots$代表系統中每個物體的質量。此外，$x_{1},x_{2},x_{3}\dots$代表該物體在（X）方向上的質心。

為了反映我們目前收集的資訊，請參考下表。在這裡，我們將每個軌道及其質心位置指定為上述公式的一部分。

摩天輪系統的已知資訊

物體名稱	分配的$m_{n}$	已知 CoM 的 X 座標，$x_{n}$	已知 CoM 的 Y 座標，$y_{n}$
紅色手推車	$m_{1}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{1}=10.\;{\text{m}}$	$\;y_{1}=20.\;{\text{m}}$
紫色手推車	$m_{2}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{2}=20.\;{\text{m}}$	$\;y_{2}=30.\;{\text{m}}$
藍色手推車	$m_{3}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{3}=30.\;{\text{m}}$	$\;y_{3}=20.\;{\text{m}}$
綠色手推車	$m_{4}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;x_{4}=30.\;{\text{m}}$	$\;y_{4}=10.\;{\text{m}}$
黃色手推車	$m_{5}=10,000.\;kg$	$\;x_{5}=20.\;{\text{m}}$	$\;y_{5}=0.0\;{\text{m}}$
橙色手推車	$m_{6}=10,000.\;kg$	$\;x_{6}=10.\;{\text{m}}$	$\;y_{6}=10.\;{\text{m}}$

.

利用上面標註的資訊，我們可以開始計算質心在 $x$ 和 $y$ 方向。

我們可以從計算 $x$ 方向的質心，$x_{\text{com}}$ 開始。為此，我們需要使用上面指定的特定方向質心公式，$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$。

使用上面表格中的資訊，然後代入已知變數，我們會發現：$x_{\text{com}}={\frac {(10.)(10,000.)+(20.)(10,000.)+(30.)(10,000.)+(30.)(10,000.)+(20.)(10,000.)+(10.)(10,000.)}{(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)+(10,000.)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$。
這可以透過代數簡化，使得
$\implies x_{\text{com}}={\frac {1,200,000}{60,000}}{\text{m}}\cdot {\cancelto {\mathbf {1} }{\frac {\text{kg}}{\text{kg}}}}$

$\implies x_{\text{com}}=20.\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

練習題：使用提供的表格和用於解決特定方向的質心的過程，求解 $y_{\text{com}}$。使用此資訊，摩天輪系統的質心位於哪裡，($x_{\text{com}}$, $y_{\text{com}}$)？

物體名稱	分配的$m_{n}$	已知 CoM 的 Y 座標，$y_{n}$
紅色手推車	$m_{1}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{1}=20.\;{\text{m}}$
紫色手推車	$m_{2}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{2}=30.\;{\text{m}}$
藍色手推車	$m_{3}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{3}=20.\;{\text{m}}$
綠色手推車	$m_{4}=10,000.\;{\text{kg}}$	$\;y_{4}=10.\;{\text{m}}$
黃色手推車	$m_{5}=10,000.\;kg$	$\;y_{5}=0.0\;{\text{m}}$
橙色手推車	$m_{6}=10,000.\;kg$	$\;y_{6}=10.\;{\text{m}}$

使用右邊的表格，我們可以考慮專用於分配質量 ($m_{\text{n}}$) 和 Y 座標 ($y_{\text{n}}$) 的系統部分（摩天輪）。

此外，由於正在求解 Y 方向上的質心，相關方程可以指定特定方向為 $y$，使得

$y_{\text{com}}={\frac {y_{1}m_{1}+y_{2}m_{2}+y_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

與計算 $x_{\text{com}}$ 的方式類似，我們可以使用變數替換並代數簡化以找到 $y_{\text{com}}$。此推導導致找到 $y_{\text{com}}$，如下所示。

$y_{\text{com}}=15.\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

知道了 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的值後，我們現在可以指定摩天輪的質心位於 $(20.,15.)\;{\text{m}}$。為了更好地理解，我們可以再次考慮摩天輪系統的參考影像。透過使用周圍標記的座標，我們可以繪製質心的位置，它正好位於中心軸下方（影像中大型灰色杆件交匯處）。

請看下面的摩天輪影像，上面疊加了一個醒目的黃色星形，指示著質心的近似位置。

示例 2：方塊蛇

第一節：內容概述

在關於摩天輪的先前示例中，我們考慮了特定時刻，計算了系統在該時刻的質心。然而，儘管系統只包含少數幾個考慮的部件，但仍然需要相當多的努力。

一段展示一條簡單蛇在矩形網格中游動的影片。

這引發了幾個問題

1. 有時是否有關於質心的捷徑？
2. 我們是否可以將物體的質心概念擴充套件到運動中的物體？

在本例中，我們將回答這些問題，提供更多關於系統質心背後的直覺和應用的見解。

考慮 11vanya11 建立的地圖“奇異之蛇”。在這張地圖中，一條由七個方塊組成的蛇，如右側所示，繞著矩形周長遊動。假設這七個方塊具有均勻密度*，並且質量相同。

*關於均勻密度的重要說明

當物體具有均勻密度時，這意味著質量在其內部均勻分佈。換句話說，如果我們將蛇的方塊看作多個塊，那麼如果兩個塊佔據相同的空間，它們將具有相同的質量。

蛇的一個方塊被分成三個不同的塊。由於三個塊的大小相同，並且蛇的方塊具有均勻密度，因此這些塊具有相同的質量。

更進一步，假設我們將蛇塊的中心移除一小部分，而不考慮它。然後，蛇塊另一側相同大小的部分也被移除。重複這個過程，直到我們接近塊的幾何中心，也就是蛇塊的質心所在位置。

透過逐漸移除具有均勻密度的塊的相對部分，我們可以發現該塊的質心位於其幾何中心。

由於蛇塊的密度均勻，移除的部分將具有相同的質量。此外，由於它們位於相對側，因此它們不會改變蛇塊的質心位置。這是因為質心換句話說，是物體質量的平均點。值得注意的是，對於許多基本的平面幾何形狀，例如圓形、正方形、等邊三角形等，如果它具有均勻的密度，那麼質心就是幾何中心所在位置。

第二部分：尋找質心的實用技巧

一條由更多塊組成的藍色蛇，能夠在比之前影片中更復雜的路線上移動。

當考慮蛇塊的資訊（以及上面側注的資訊）時，在許多情況下，我們可以簡化尋找物體質心的過程。為了解釋這個概念，讓我們考慮一個名為“方塊蛇”的O_o O_o O_o,的靜止影像，它類似於右側所示的圖。假設蛇的每個塊的質量為 $1\;{\text{kg}}$，長度和寬度為 $0.2\;{\text{m}}$。

我們現在知道，如果（1）一個系統或系統的一部分構成一個簡單的幾何形狀，並且（2）該系統或系統的一部分具有均勻的密度，那麼它將在幾何中心處具有質心。

從右側的影像可以明顯看出，蛇作為一個整體並沒有構成一個簡單的幾何形狀。然而，蛇的一部分構成了矩形形狀。由於整條蛇的密度均勻，因此每個蛇部分（如下所示）的質心都位於其幾何中心。

藍色蛇被分成四個部分，每個部分的質心都位於該部分的幾何中心。每個部分的質量也已標出。

透過使用上述方法，如果我們要使用 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的公式（在給定座標系的情況下），計算將變得簡單得多。我們不必考慮 16 個不同塊的 $(x,y)$ 座標，只需要考慮四個不同的組就可以找到整條蛇在那一刻的質心。

繼續這個例子

我們能夠找到每個質心的相對位置，因為我們知道每個塊的大小。

如果我們知道每個質心的座標位置，或者能夠用其他方法求解它們，我們就能計算出整條蛇的質心位置。

回顧一下，蛇的每個塊的長度和寬度為 $0.2m$。如果我們假設綠色部分的質心位於 $(x,y)$ 座標 $(0.0,0.0)\;{\text{m}}$，我們就可以手動計算出其他質心的位置，如右側圖所示。

從這一點開始，我們可以使用 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$ 的公式，如例 1 中介紹的那樣。

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$x_{\text{com}}={\frac {x_{1}m_{1}+x_{2}m_{2}+x_{3}m_{3}+x_{4}m_{4}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}}$

$x_{\text{com}}={\frac {(0.00)(4.0)+(0.40)(3.0)+(1.1)(7.0)+(1.8)(2.0)}{(4.0)+(3.0)+(7.0)+(2.0)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$ $x_{\text{com}}=0.78\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

$y_{\text{com}}={\frac {y_{1}m_{1}+y_{2}m_{2}+y_{3}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$y_{\text{com}}={\frac {(0.00)(4.0)+(0.30)(3.0)+(0.60)(7.0)+(0.40)(2.0)}{(4.0)+(3.0)+(7.0)+(2.0)}}{\frac {{\text{m}}\cdot {\text{kg}}}{\text{kg}}}$

$y_{\text{com}}=0.37\;{\text{m}}\;{\text{[2}}\;{\text{sigfigs]}}$

同時 $x_{\text{com}}$ 和 $y_{\text{com}}$，我們可以確定蛇的質量中心大約在 $(0.78,0.37)\;{\text{m}}$，如右圖所示，在影像上疊加了一個星號。

需要澄清的是，物體的質量中心可以不在物體本身。例如，考慮一個甜甜圈，它（1）中間有一個洞，（2）密度均勻。雖然甜甜圈本身在洞裡沒有質量，但甜甜圈圍繞洞的質量平均起來，使得它的質量中心位於洞中。

因此，正如蛇的例子所示，物體的（或系統的）質量中心**不一定**在物體本身。

第三部分：質量中心的運動速度

玩家正在攀爬幾個不斷向下落的小型綠色平臺。

如前幾節所述，我們透過考慮靜止幀來簡化了系統的質量中心的尋找。然而，很多時候，質量中心正在運動，在某些情況下需要考慮這一點。

為了探討這個概念，考慮由Fantao製作的地圖攀爬。

假設

• 所有平臺都以 $-0.5\;{\text{m/s}}$ 的恆定速度下降。
• 較小的平臺的質量均為 $1.0kg$。
• 較大的頂部平臺的質量為 $2.5kg$。

可見平臺系統的質量中心的運動速度是多少？

解決這個問題可能很直觀。解釋一下，如果整個系統（比如汽車，或者在這種情況下，一套綠色平臺）以相同的速度運動，那麼這個系統的質量中心以該速度運動是有道理的。這將**與**質量中心的位置無關。

更正式地說，我們也可以透過考慮質量中心速度的公式來解決這個問題

某個方向（$x$）上質量中心速度的定義

$v_{\text{com,x}}={\frac {v_{1,x}m_{1}+v_{2,x}m_{2}+v_{3,x}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$

$v_{\text{com,x}}={\frac {v_{1,x}m_{1}+v_{2,x}m_{2}+v_{3,x}m_{3}+\dots }{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\dots }}$
$\implies v_{\text{com,x}}={\frac {(-0.5)(1.0)+(-0.5)(1.0)+(-0.5)(1.0)+(-0.5)(2.5)}{(1.0)+(1.0)_{(}1.0)+(2.5)}}{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\cdot {\frac {\text{kg}}{\text{kg}}}$
$\implies v_{\text{com,x}}=-0.5{\frac {\text{m}}{\text{s}}}{\text{[1}}{\text{ sigfig]}}$

除此之外，由於平臺在水平方向上沒有移動，因此存在一個 $v_{\text{com,y}}$ 等於 $0.0\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\;{\text{[1}}{\text{ sigfig]}}$.

我們可以像在主題 1.2 中計算位移一樣將這些向量加在一起。因此，我們可以指定 $v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(v_{\text{com,x}})^{2}+(v_{\text{com,y}})^{2}}}$.

因此，$v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(-0.5)^{2}+(0.0)^{2}}}$
$v_{\text{com}}=\pm {\sqrt {(-0.5)^{2}+(0.0)^{2}}}$

$\implies v_{\text{com}}=-0.5{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\;{\text{[1}}{\text{ sigfig, Cartesian coordinate convention]}}$.

問題 1：冰山

三座冰山的視覺化效果，它們各自的水面以上質量和各自的質心*（以粉色標記）。

* 指它們各自露出水面的冰山部分。

單位換算：$1{,}000\;{\text{kg}}=1\;{\text{Mg}}$

請參考右側圖片所示，由Semi_Cow124繪製的Breaking Ice地圖。
第 (a) 部分

計算三座冰山露出水面部分的質心位置。

假設每座冰山總質量的 90% 都沉在水下。經發現，三座冰山水下部分的質心位於$(22.0,-15.0)\;{\text{m}}$。
第 (b) 部分

(i): 三座冰山在水下的總質量是多少？
(ii): 計算三座完整冰山的質心位置。

圖片中展示了多名玩家跳躍並彈跳在最大的冰山上，直到它開始坍塌。

正在下落的冰山，圖中標出了其特定部分的垂直速度。

假設遊戲中出現一個新情況（如上圖），玩家積極跳躍在冰山上。由於他們的衝擊，地圖中央最大的冰山開始破裂並崩塌。在某一時刻，最大的冰山露出水面的 70% 部分記錄了其垂直速度，如右側圖所示。假設冰山剩餘部分保持靜止。
第 (c) 部分

中間冰山露出水面部分的質心以多快的速度垂直下落？

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參考文獻