透過電子遊戲解釋物理學/二維運動

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主題 1.5 - 二維運動

在某些情況下，我們可能需要追蹤一個物體在多於一個維度上的運動。這種情況通常用拋射運動來描述。拋射運動是指一個物體在空中運動時，只受到重力（也稱為地心引力）的加速作用。^[1]

目前，我們只需要知道力的一般概念，即它們會使物體在特定方向上加速。具體來說，重力導致所有有質量的物體之間存在吸引力。這使得有質量的物體互相加速。

舉一個現實生活中的例子，如果一個人在地球上扔一個香蕉皮，香蕉皮會向下加速，直到撞擊地面。同時，地球也會向上加速朝向香蕉皮。然而，由於地球的質量遠遠大於香蕉皮，因此地球因香蕉皮而產生的位移非常小。因此，在大多數情況下，我們可以忽略地球因香蕉皮的質量而產生的運動。

有關地心引力和相關資訊的更多介紹，請檢視此影片 by VSauce（從 2:40 到 7:27）。^[2]

考慮O_dot製作的香蕉叢林地圖（如下）。我們可以看到香蕉在被猴子釋放後向下加速（朝向下方）。在香蕉接觸到地面或叢林之前，它們處於自由落體狀態。這意味著香蕉只受到地球重力的加速作用。因此，香蕉在下降時垂直速度會越來越負。但是，它們的水平速度保持不變。

一隻猴子丟擲香蕉，由於拋射運動，香蕉呈拋物線形落下。

這種特性可以透過追蹤猴子丟擲的第一個香蕉的運動軌跡來觀察（大約在影片播放到 2 秒處）。在此，香蕉在自由落體中以恆定速率向下加速，但沒有水平加速度。因此，請注意以下幾點：

香蕉被猴子丟擲後，水平速度保持恆定，直到它撞擊地面。
然而，香蕉同時具有不斷增大的垂直速度大小。
由於上述因素，香蕉在落下過程中隨著時間的推移變得越來越垂直。
這是因為隨著時間的推移，垂直速度與水平速度的比例在大小上越來越大。

空氣阻力

在現實生活中，空氣阻力會影響地球大氣中所有處於拋射運動的物體。這是因為物體與空氣直接碰撞，運動方式不同。因此，空氣會在物體上施加一個阻力。這個力會減慢物體的速度並縮短其飛行路徑。作用在物體上的阻力取決於各種因素，包括飛行物體的精確形狀及其速度大小和方向。^[3]^[4]

在本系列內容中，除非另有說明，我們將假設所有實驗中阻力（空氣阻力）可以忽略不計，以便簡化計算。

如上所述，空氣在某些情況下會對物體施加很大的阻力。例如，在緊急著陸 by Raspy 667（在右側），視覺化的飛機以恆定的垂直速度下降，而不是向下加速朝向海洋。這個具體例子將在第二單元：力學和牛頓定律中進一步探討。但是，現在，重要的是從運動學的角度來討論這個問題。

重力使飛機向下加速；然而，一個同樣大的阻力使飛機向上加速。因此，由於影片中這兩個力同時發生，飛機既沒有向上加速也沒有向下加速。相反，飛機的加速度為 0 m/s²，直到它著陸。由於此原因，飛機以恆定的速度（朝向下方）運動，直到它撞擊海洋。

洞穴中的空中飛行

在本節中，我們將分析一個物理場景並進行全面解釋。它旨在為本主題的以下練習題提供一個深入的示例。為了更好地理解，建議你在事先仔細閱讀本節內容。

透過更深入地瞭解什麼使處於拋射運動中的物體加速，我們現在將研究寶石洞穴 by G3nius（下圖）的修改版中克萊爾（青綠色）的軌跡。

假設克萊爾在拋射運動中向上和向右發射。假設描述其運動的任何向量在主題 1.1 - 位移中來自笛卡爾網格約定的(X,Y)符號中具有分量。已知克萊爾的初始速度向量為(10., 20.) (m/s)。此外，假設空氣阻力（阻力）可以忽略不計，並且克萊爾的重力加速度大小為9.8 m/s²。

示例 1：計算角度

計算克萊爾相對於 +X 方向的初始發射角度（以度為單位）。

當克萊爾最初發射時，我們已經知道初始速度分量。利用這一點，我們可以透過根據已知的初始垂直和水平速度向量構造一個直角三角形來直接計算其發射角度（相對於 +X 方向）。

更具體地說，由於初始速度為 (10., 20.) m/s 並且在 (X,Y) 符號中，

{\vec {v}}_{initial,x}

的大小為 10 m/s，方向朝向右側。此外，

{\vec {v}}_{initial,y}

的大小為 20. m/s，方向朝向上方。我們可以將這些向量分量繪製到克萊爾上，如圖右側所示。

利用這一點，我們可以考慮由

{\vec {v}}_{initial}

向量及其分量構成的直角三角形。我們可以透過考慮向量分量並執行三角函式來求解向量的方向。

有了這些，我們可以推匯出 $\theta$ ，注意到 $tan(\theta )={\frac {{\textsf {opposite}}\;{\textsf {side}}}{{\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}}}$ .

由此，我們可以將已知三角形邊長值代入。作為參考，邊長代表 ${\vec {v}}_{initial,x}$ 各個分量的幅值。

因此， $tan(\theta )={\frac {{\vec {v}}_{initial,y}}{{\vec {v}}_{initial,x}}}\implies tan(\theta )={\frac {20.}{10.}}{\textsf {(m/s)}}$ .

然後，我們可以將等式兩邊同時進行 $tan(x)$ 的逆運算，即 $arctan(x)$ 。這使我們能夠將等式改寫為 $\theta =arctan({\frac {20.}{10.}})\implies \theta =1.1071...\;{\textsf {radians}}\implies \theta =63\;{\textsf {degrees}}\;{\textsf {[2}}\;{\textsf {sigfigs]}}$

因此，我們可以計算出，在克萊爾最初發射的瞬間，她以大約 63 度角相對於 +X 方向運動。

示例 2：將加速度和速度結合考慮

考慮克萊爾在空中的水平和垂直速度。因為在空中只有重力作用在克萊爾身上，那麼她朝哪個方向加速？這將如何影響克萊爾在拋射運動中的水平和垂直速度？

瞭解到只有重力作用在克萊爾身上，玩家在拋射運動中向下加速。因此，克萊爾只有垂直速度在變化，而她的水平速度保持不變。

為了進一步深入研究，我們知道玩家受到的重力加速度為 **9.8 m/s²** 向下。這是克萊爾唯一受到的加速度。因此，重力加速度完全作用在垂直方向，而不是水平方向。因此，克萊爾的垂直速度每秒下降 9.8 m/s。這可以透過等式 **

v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}(t)

從主題 1.4 - 一維勻加速運動得出。

為了直觀地瞭解克萊爾速度的變化，請檢視俄亥俄州立大學的 Bonk.io 物理編碼專案.^[5]

透過這個互動式演示（如右圖所示），我們可以發現，如果玩家在空中只受到重力作用

玩家的 速度向量 將在空中以恆定的速度朝 -Y 方向移動，直到玩家再次反彈地面。
在影片中的任何時間，速度向量在水平方向上的長度都保持不變。

如果垂直加速度不同會怎麼樣？

在這個例子中，我們直接修改了玩家的整體垂直 加速度 ，同時保持水平加速度為 0。

在片段的前半部分，按下方向鍵（使玩傢俱有更大的負加速度）。因此，當玩家在空中時，速度向量將快速向下移動。

這與片段的後半部分形成對比，後半部分按下了向上方向鍵（使玩傢俱有更小的負加速度）。在這個測試中，速度向量明顯向下移動的速度更慢。因此，我們可以看到，透過在某個方向上具有較小的加速度幅值，該方向上的速度將變化得更慢。

示例 3：解決多步運動學問題

假設克萊爾在以之前規定的條件發射後 **3.5 秒** 撞擊了洞穴牆壁。在此時間間隔內，克萊爾的淨位移幅值是多少？

雖然看起來僅僅依靠時間間隔、初始速度向量和重力加速度來計算Clare的位移是一個很困難的任務，但如果我們將問題分解，它就會變得簡單得多。

首先，由於Clare的加速度是垂直的，所以水平速度在整個時間間隔內保持不變。由於速度是位移變化率，如果速度在某個方向x上是恆定的，那麼 ${\vec {d}}_{x}={\vec {v}}_{x}(t_{elapsed})$ 。因為 ${\vec {v}}_{x}=10.\;{\textsf {m/s}}$ 並且 $t_{elapsed}=3.5\;{\textsf {s}}$ ， ${\vec {d}}_{x}=(10.)(3.5)\implies {\vec {d}}_{x}=35.\;{\textsf {m}}$ .

考慮垂直速度，參考給定恆定加速度的通用運動學方程表。需要注意的是，我們已經知道 ${\vec {v}}_{initial,y}$ 、 ${\vec {a}}_{y,\;(gravity)}$ 和 $t_{elapsed}$ 。我們想要找到垂直位移 ${\vec {d}}_{y}$ ，這相當於 $y_{final}-y_{initial}$ 。根據表格，我們可以使用方程 $x_{f}-x_{i}=v_{x,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{x}(t)^{2}$ 來解決這個問題，因為我們已經知道或需要求解的變數。

為了說明，由於公式中的方向僅僅是一個佔位符，我們可以將該方程應用於垂直方向。因此，我們需要求解的是垂直位移，可以使用 $y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 。

$y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$

$\implies {\vec {d}}_{y}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}\quad {\text{[Definition of displacement.]}}$

${\vec {d}}_{y}=(20.)(3.5)+{\frac {1}{2}}(-9.8)(3.5)^{2}\quad {\text{[Substitution of known variables.]}}$

${\vec {d}}_{y}=9.975\;{\textsf {m}}\quad {\text{[Calculating; sigfigs left for later]}}$

有了這兩個位移分量 ** ${\vec {d}}_{x}$ 和 ** ${\vec {d}}_{y}$ ，我們可以透過建立這兩個分量組成的直角三角形，並使用勾股定理（如右圖所示）來求解 ** ${\vec {d}}_{net}$ 。

${\vec {d}}_{net}=\pm {\sqrt {({\vec {d}}_{y})^{2}+({\vec {d}}_{y})^{2}}}\;{\text{[Derived from Pythagorean Theorem**]}}$

${\vec {d}}_{net}={\sqrt {({\vec {d}}_{y})^{2}+({\vec {d}}_{y})^{2}}}\;{\text{[The displacement magnitude is needed.]}}$

${\vec {d}}_{net}={\sqrt {(35)^{2}+(9.975)^{2}}}\;{\text{[Substitution of variables]}}$

${\vec {d}}_{net}=36.\;{\textsf {m}}\;{\text{[Calculations; 2 sigfigs]}}$

因此，在克萊爾從發射到撞擊洞穴牆壁的 3.5 秒時間間隔內，她的淨位移為 **36 米**。

**如果需要，請檢視主題 1.2 - 計算位移以獲取有關推導的更多幫助。**

練習題

注意： (如果加速度恆定，則提供運動學方程的表格) 可能有助於某些問題部分。

問題 1： 假設一條蛇在由猴子管家制作的地圖卡塔利娜中沿著巨石滑行。蛇從一塊大巨石上掉下來，水平速度為 **-0.3 米/秒**，然後進入自由落體運動，直到撞擊 **下方** 的草地 **1.0 米**。在自由落體過程中，蛇以 **9.8 米/秒²** 的恆定大小向下加速。蛇受到的空氣阻力可以忽略不計。

第 a 部分）

(i) 當蛇處於自由落體時，哪個加速度向量可以模擬蛇的整體加速度？從右側影像中的四個選項中選擇一個。

(ii) 使用笛卡爾網格約定，蛇的加速度向量是正方向還是負方向？

第 b 部分） 如果我們要求解蛇下落過程中經過的時間，應該使用哪些公式？

第 c 部分） 計算蛇下落過程中經過的時間。

第 d 部分） 使用你在 c 部分中的答案，確定蛇在自由落體過程中水平位移。

問題 1 的解答

透過考慮初始提示，我們可以收集到已知關於蛇自由落體的的資訊。

我們被告知蛇的初始水平速度為 -0.3 米/秒。因此， $v_{x,i}=-0.3\;{\text{m/s}}$ .
同樣，我們被告知蛇最初沒有垂直速度。因此， $v_{y,i}=0.0\;{\text{m/s}}$ .
由於蛇向下墜落了 1.0 米，因此它在自由落體運動期間將具有 -1.0 米的垂直位移。因此， $\Delta y=-1.0\;{\text{m}}$
由於蛇被告知是自由落體運動，因此重力是作用在蛇上的唯一力。因此，蛇上的重力加速度（大小為 9.8 米/秒²）是蛇的總加速度。由於物體由於重力而在向下方向加速，根據笛卡爾座標系約定，我們可以允許 $a_{net}=-9.8\;{\text{m/s}}^{2}$ .

透過仔細考慮提示，我們現在可以快速回答第 a) 部分

關於第 a) 部分 (i)，由於重力加速度是蛇在自由落體運動期間作用在蛇上的唯一型別的加速度，因此蛇的加速度向量可以用一個指向下方的箭頭來表示。因此，選項 D 在右側再次顯示的圖表中將是正確答案。

為了回答第 a) 部分 (ii)，由於蛇的加速度指向下方，並且我們使用笛卡爾座標系約定，因此蛇的加速度將在負方向。

為了回答第 b) 和 c) 部分，我們需要找到一種方法來直接計算蛇下落所需的時間。透過考慮（運動學方程表），我們可以決定哪個方程最適合在這種情況下使用。

一種方法是透過排除我們無法使用的方程。我們可以透過問自己一個問題來做到這一點：如果我們將已知變數代入某個方程，我們將能夠直接求解單個未知值嗎？

為了直奔主題，我們不能輕易引入更多未知值，並能夠求解我們被要求尋找的未知變數。透過這種排除法，我們可以決定不使用方程 1、2 和 4。這是因為它們都會引入未知變數 $v_{y,f}$ . 由於我們不知道蛇的最終垂直速度是多少，因此選擇其中一個方程將導致我們引入額外的工作或陷入死衚衕。

因此，讓我們考慮方程 3，因為它沒有其他選擇： $y_{f}-y_{i}=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ . 我們知道蛇的垂直位移，它將等於 $y_{f}-y_{i}$ 。因此，根據定義，我們可以將該方程改寫為： $\Delta y=v_{y,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 。此外，我們知道初始垂直速度， $v_{y,i}$ ，等於 0。如果我們將它代入我們的方程，那麼項 $v_{y,i}(t)$ 也將等於 0。因此，我們可以從方程中刪除此項。

為了澄清，即使我們正在考慮不同的情況，其中 $v_{y,i}(t)\neq 0$ ，我們最終仍然可以直接求解經過的時間。但是，這將涉及處理透過使用二次方程來簡化二次方程，例如透過使用二次公式。在此之後，我們可能還需要消除一個無關解。對於這個關於蛇的特定問題，求解過程將因為項 $v_{y,i}(t)$ 可以被移除而變得簡單。

因此，我們可以將公式 3 寫成 $\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ 的形式來描述蛇的運動。由於垂直加速度（也就是 $a_{net}$ ）和垂直位移（ $\Delta y$ ）都是已知的，我們可以直接解出經過的時間。因此， 公式 3 可以用來解決經過的時間問題，從而解答 Part b)。

由於上面所做的推導，我們可以使用公式 3 的重寫形式， $\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$ ，並使用代數直接求解 $t_{elapsed}$ ，如下所示

$\Delta y={\frac {1}{2}}a_{y}(t)^{2}$

$\implies (t)^{2}={\frac {2\Delta y}{a_{y}}}\;{\text{[隔離時間變數。]}}$

$\implies t=\pm {\sqrt {\frac {2\Delta y}{a_{y}}}}\;{\text{[對等式兩邊開平方。]}}$

$\implies t=\mathbf {+} {\sqrt {\frac {2\Delta y}{a_{y}}}}\;{\text{[尋找正的經過時間。]}}$

$\implies t={\sqrt {\frac {2(-1.0)}{-9.8}}}\;{\text{[代入變數。]}}$

$\implies \mathbf {t=0.45} \;{\textbf {sec}}\;{\text{[計算; 2 個有效數字]}}$

因此，蛇從巨石上掉下來到撞擊草地之間的時間為 0.45 秒，這回答了 Part c)。

最後，為了解決d)部分，我們需要知道蛇的水平速度是恆定的。這是因為除了重力之外，沒有其他力作用在蛇身上。因此，我們可以考慮我們最初的水平速度， $v_{x,i}=-0.3\;{\text{m/s}}$ . 如果我們的水平速度是恆定的，那麼在蛇下落期間，它將始終保持不變。因此， $v_{\mathbf {x} }=-0.3\;{\text{m/s}}$ .

如在主題 1.3 - 速度和平均速度中介紹，我們知道 $v_{x,\;average}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ . 由於 $v_{x}$ 將等於 $v_{x,\;average}$ 在蛇下落期間，我們可以將 $v_{x}$ 代入表示式並簡化，如下所示

$v_{x,\;average}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

$\implies v_{x}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}\;{\text{[變數替換.]}}$

$\implies \Delta {x}=v_{x}\Delta t\;{\text{[代數.]}}$

$\implies \Delta {x}=(-0.3)(0.4517...)\;{\text{[代入.]}}$

$\implies \Delta {x}={\text{0.14}}\;{\text{m}}\;{\text{[計算；2 位有效數字]}}$

因此，蛇在墜落過程中水平位移為-0.14 m，回答了 d) 部分。

問題 2： 假設一條大白鯊在O_dot的SHARK!!地圖中吞下一隻磷蝦。磷蝦在進入鯊魚胃部0.500 秒後迅速加速，超過了鯊魚的嘴巴。磷蝦相對於鯊魚的加速度向量的大小恆定為19.5 m/s²，並指向-X方向下方 5.00 度。值得注意的是，磷蝦進入鯊魚嘴巴時被認為是靜止的。

第 a 部分）

(i) 考慮如果磷蝦的位置是在它進入鯊魚嘴巴 ${\text{(}}\;t_{initial}=0.000\;{\text{sec)}}$ 到它到達鯊魚胃部 ${\text{(}}\;t_{final}=0.500\;{\text{sec)}}$ 期間，每隔 0.100 秒記錄一次。以下三種選擇中哪一種最能代表磷蝦在這段時間內的位置變化？

(ii) 參考右邊的圖表，計算磷蝦在水平方向上的加速度大小。

b)部分 計算磷蝦在 0.000 到 0.500 秒之間的水平位移。

部分 c) 假設一位研究人員正在計算磷蝦到達鯊魚胃部時的總速度 ${\text{(at t = 0.500 sec)}}$ 。研究人員在計算磷蝦的總速度時應該使用哪個加速度值？請解釋你的選擇。

磷蝦的加速度向量，如在部分 a 之前給出。	在部分 a (ii) 中計算出的加速度向量的水平分量。	都不是。

部分 d)* 在一個新的情況下，假設研究人員後來發現鯊魚吞下了第二隻磷蝦。兩隻磷蝦以相同的加速度進入鯊魚體內，並走完全相同的路徑。但是，第二隻磷蝦以 **2.0 m/sec** 的初始速度大小進入鯊魚體內。初始速度方向在 -X 軸下方 5.0 度。第二隻磷蝦從鯊魚的嘴巴到達鯊魚的胃需要多少時間？

*注意：對於這部分問題，你最終可能會得到一個二次方程。在這種情況下，將所有項移到等式同一側。然後，將你的變數輸入這個定製的 Desmos 圖形計算器。

問題 2 解答

就像我們在問題 1 中所做的那樣，考慮最初的提示可以讓我們快速瞭解到底發生了什麼。閱讀提示

我們被告知磷蝦從鯊魚的嘴到胃需要 0.500 秒。因此， $t_{elapsed}=0.500\;{\text{s}}$ .
此外，我們被告知磷蝦以 19.5 m/s² 的加速度加速，方向在 -X 軸下方 5 度。因此， ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ 且 $\theta =5.00^{\circ }$ .
此外，因為我們知道磷蝦最初處於靜止狀態， ${\vec {v}}_{net,i}={\vec {v}}_{x,i}={\vec {v}}_{y,i}=0.000\;{\text{m/s}}$ .

有了這些，我們知道磷蝦從靜止開始並加速，使其迅速向左下方移動。因此，使用 **部分 a) (i)**，我們需要找到磷蝦平均速度隨著時間推移而增加的選擇。

因為選擇 A、B 和 C 中顯示的點旨在作為磷蝦在 0.000、0.100、0.200、... 和 0.500 秒時的位置記錄。因此，在每個記錄的點之間經過 0.100 秒。由於 ${\vec {v}}_{net,avg}={\frac {{\vec {d}}_{net}}{\Delta t}}$ 使得 ${\vec {d}}_{net}={\vec {v}}_{net,avg}\Delta t$ ，如果我們知道每個時間間隔之間的平均速度都在增加，那麼每個後續點之間的位移必須更大。

換句話說，磷蝦正在變得更快，因為它正在從靜止狀態加速。因此，點應該間隔更遠，因為點之間的時間變化相同，但磷蝦的速度正在增加。

在考慮我們的選擇時，只有選擇 B 才會滿足這種情況，因為點正在變得更遠。為了排除其他選擇，選擇 A 錯誤地將所有點等距放置，這意味著磷蝦的加速度為零，並且它沒有從靜止狀態開始。此外，選擇 C 錯誤地顯示點隨著時間的推移變得越來越近。這將錯誤地暗示磷蝦沒有從靜止狀態開始，並且磷蝦的加速度不會是左下方向。

因此，選擇 B（顯示在右側）是部分 a) (i) 的答案。

對於接下來的部分，部分 a) (ii)，我們面臨一個計算問題，並提供了一個圖表（在右側複製）的支援，我們需要計算磷蝦水平加速度的大小。需要注意的是，我們已經知道磷蝦的淨加速度， $a_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ 及其相對於 -X 軸的角度， $\theta =5.00^{\circ }$ 。但是，我們需要找出已知淨加速度的水平分量。

利用提供的圖示，我們可以看到各個元件構成了一個直角三角形，其中 $a_{x}$ 在水平方向上延伸。利用三角函式，因為 $cos(\theta )={\frac {{\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}}{{\textsf {hypotenuse}}\;{\textsf {side}}}}$ ，其中 $a_{x}\iff {\textsf {adjacent}}\;{\textsf {side}}$ 和 $a_{net}\iff {\textsf {hypotenuse}}\;{\textsf {side}}$ ，我們可以將該等式改寫為 $cos(\theta )={\frac {a_{x}}{a_{net}}}$ ，然後求解 $a_{x}$ 。

$cos(\theta )={\frac {a_{x}}{a_{net}}}$

$a_{x}=cos(\theta )\;a_{net}\;{\text{[Algebra.]}}$

$a_{x}=cos(5.00^{\circ })*19.5\;{\text{[Substitution of variables]}}$

$a_{x,magnitude}=19.4\;{\text{m/s}}^{2}\;{\text{[Calculations; 3 sigfigs]}}$

因此，磷蝦被鯊魚吞食時，其水平加速度的大小為 **19.4 m/s²**，回答了 Part a) (ii)。注意，如果我們不是在求磷蝦水平加速度的大小，那麼這個值將為負值，因為根據笛卡爾網格約定，磷蝦正在向左加速。這是因為磷蝦正在向左加速。

在開始處理 **Part b)** 時，為了求解水平位移，我們需要考慮目前已知的磷蝦水平運動資訊。

首先，我們已經知道磷蝦從靜止開始運動。因此，我們知道 ${\vec {v}}_{x,i}=0.000\;{\text{m/s}}$ 。此外，我們剛剛在 Part a) (ii) 中求解了磷蝦的水平加速度。因此，我們也知道，根據笛卡爾網格約定， $a_{x}=-19.4\;{\text{m/s}}^{2}$ 。最後，我們已經知道磷蝦經過的時間， $t_{elapsed}=0.500\;{\text{s}}$ 。

如問題 1：Part b) 的解答所示，我們可以使用運動學方程表，並根據末速度未知，排除方程 1、2 和 4。這是因為引入更多未知值後，我們無法直接求解任何單個未知方程，除非我們同時使用多個方程。

接下來，我們可以用與問題 1：部分 b) 非常類似的方式，使用方程式 3 來簡化位移變化。請注意，對於當前的鯊魚和磷蝦問題，我們正在評估的是水平位移，而不是時間變化。

$x_{f}-x_{i}=v_{x,i}(t_{elapsed})+{\frac {1}{2}}a{x}(t)^{2}\;{\text{[Equation 3.]}}$

$\Delta x=v_{x,i}(t_{elapsed})+{\frac {1}{2}}a{x}(t)^{2}\;{\text{[Definition of displacement.]}}$

$\Delta x={\cancelto {0}{(0.000)(0.500)}}+{\frac {1}{2}}(19.5)(0.500)^{2}\;{\text{[Substitution of variables.]}}$

$\Delta x=2.4375\;{\text{[Calculations.]}}$

$\Delta x=2.44\;{\text{m}}\;{\text{[3 sigfigs; units]}}$

因此，磷蝦從鯊魚嘴巴到鯊魚胃水平移動了 2.44 m，回答了部分 b)。

問題的下一部分，部分 (c)本質上是概念性的，需要進行證明。證明概念性答案並不意味著我們需要定量地計算情況。相反，我們需要論證在計算磷蝦在 $t=0.500\;{\text{s}}$ 時的整體速度時，應該使用哪個加速度值。

在考慮磷蝦的整體速度時，這僅僅是說整體速度的大小。我們知道磷蝦在 0.000 到 0.500 秒之間始終以 -X 方向下方 5.00 度移動。這是因為磷蝦從靜止狀態開始，靜止不動，然後僅在這個方向上加速。因此，速度向量具有水平和垂直分量。

另一種看待這個問題的方法是回顧部分 a) (i) 中的選擇 B。在此，磷蝦的路徑由一條直線上的點標記。

由於磷蝦的路徑，我們理解，如果我們要計算磷蝦的最終速度，同時已經知道初始速度和某個加速度值，我們可以使用運動學方程表中的方程式 1，其中 $v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}t$ ，其中 x 是某個方向。如果我們要使用此方程式來求解整體最終速度，那麼我們需要將整體加速度 $a_{net}$ 代入此方程式。這是因為 $a_{net}$ 與速度具有相同的角度。

因此，對部分 c) 的一種可能的回答是

PRIMARY SAMPLE RESPONSE

Choice: The krill's acceleration vector, as given before Part a.


Reason: Suppose we choose to use the equation  $v_{f}=v_{i}+at$ to solve for the overall final velocity. This would be solved in the direction angle of 5 degrees below the -X direction. Because the vectors of velocity during the time interval and the overall acceleration share the same direction, we could use the overall acceleration to solve for the final overall velocity.

需要注意的是，選擇“部分 a (ii) 中計算出的加速度向量的水平分量”或“都不是”作為部分 c) 的選擇，並不一定意味著你錯了。這個問題有其他替代解決方案，下面提供了兩種解決方案。但是，前面的推導和上面的“主要示例響應”可能展示了一種更簡單的方法。

ALTERNATE SAMPLE RESPONSE #1

Choice: The horizontal component of the acceleration vector, as calculated in Part a (ii).


Reason: We can use the equation $v_{x,f}=v_{x,i}+a_{x}t$ to solve for the overall final velocity in the horizontal (X) direction. Then, because we know the direction angle of the overall velocity vector at the final time, we can use trigonometry to solve for the krill's final overall speed.

ALTERNATE SAMPLE RESPONSE #2

Choice: Neither.


Reason: We can calculate first for the acceleration of the krill in the vertical (Y) direction with trigonometry. This is because we are given the direction angle at which the krill's acceleration is occurring. After this, we can use the equation $v_{y,f}=v_{y,i}+a_{y}t$ to solve for the overall final velocity in the Y direction. Then, because we know the direction angle of the overall velocity vector at the final time, we can use trigonometry to solve for the krill's final overall speed.

最後一部分，部分 d)，特別具有挑戰性。因此，已盡力對推導進行儘可能詳細的解釋。下面介紹了兩種方法。請注意，這些方法可能存在達到相同解決方案的不同版本。

部分 d) 的分析方法

首先，我們需要解釋第二隻磷蝦修改後的情況發生了什麼變化。從部分 d) 的提示中，我們瞭解到，儘管第二隻磷蝦的路徑和加速度相同，但它將具有 2.00 m/s 的不同初始速度。這個新的速度指向 -X 方向下方 5.00 度。

因此，我們應該預期第二隻磷蝦會更快地到達鯊魚的胃。第二隻磷蝦具有更大的初始速度和相同的加速度，它將始終比第一隻磷蝦更快地移動，從進入鯊魚嘴巴開始到到達鯊魚的胃。因此，我們對部分 d) 的答案應該小於 0.500 秒，這是第一隻磷蝦給定的經過時間。

由於我們已知初始速度 $v_{i}=2.0{\text{m/s}}$ ，淨加速度 ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ ，以及水平位移（在 b 部分找到） $\Delta x=2.44\;{\text{m}}$ ；我們可以嘗試透過運動學方程表檢視是否有任何可以用到的方程。僅憑這些變數，我們必須引入另一個未知數才能解出經過時間的方程。為了避免這種情況，我們可以考慮是否可以先求解另一個新變數。這將使我們能夠直接求解經過時間。

一種可能的方式是考慮方程 1： $v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}*(t)$ 。雖然我們還不知道最終速度，但我們可以嘗試用方程 4 求解它： $(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$ 。再一次，我們遇到了引入一個新的未知變數的情況。但是這一次，我們已經求解了 b 部分的水平位移。此外，因為我們被告知兩隻磷蝦的路徑相同，我們可以使用三角函式來求解第二隻磷蝦的淨位移。

由於速度和加速度向量在整個經過時間內都指向兩隻磷蝦的 -X 方向下方 5.00 度，我們可以寫出方程 $cos(\theta )={\frac {\Delta x}{d_{net}}}$ 。然後，我們可以直接求解 $d_{net}$ ，使得

$cos(\theta )={\frac {\Delta x}{d_{net}}}$

$\implies d_{net}={\frac {\Delta x}{cos(\theta )}}\;{\text{[Algebra.]}}$

$\implies d_{net}={\frac {2.4375}{cos(5.00)}}\;{\text{[Substituting variables.]}}$

$\implies d_{net}=2.4468...\;{\text{m}}\;{\text{[Calculating; keeping sigfigs for now]}}$

然後，我們可以再次回顧方程 4，其中 $(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$ ，並直接求解第二隻磷蝦的最終速度。

$(v_{net,f})^{2}=(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})$

$\implies (v_{net,f})={\sqrt {(v_{net,i})^{2}+2a_{net}(d_{net})}}\;{\text{[兩邊平方。]}}$

$\implies (v_{net,f})={\sqrt {(2.00)^{2}+2(19.5)(2.4468...)}}\;{\text{[代入變數。]}}$

$\implies v_{net,f}=9.9712...\;{\text{m/s}}\;{\text{[計算；先保留有效數字。]}}$

最後，我們現在有了解決直接求解時間所需的變數，用方程 1： $v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}*(t)$ 如下所示。

$v_{net,f}=v_{net,i}+a_{net}(t)$

$\implies t={\frac {(v_{net,f}-v_{net,i})}{a_{net}}}\;{\text{[求解時間。]}}$

$\implies t={\frac {(9.9712...-2.00)}{19.5}}\;{\text{[代入。]}}$

$\implies t=0.4088...\;{\text{[計算。]}}$

$\implies t=0.408\;{\text{秒}}\;{\text{[單位；3 位有效數字]}}$

因此，第二隻磷蝦從進入鯊魚嘴巴到到達鯊魚胃部，經歷了0.408 秒。這透過解析方法回答了問題 d)。

問題 d) 的圖形方法

注意：這種求解方法需要使用這個自定義 Desmos 圖表。在以下呈現的解決方案旁邊開啟該圖表。

解決 Part d) 的另一種方法涉及部分圖形方法。但是，此方法也從分析我們目前擁有的變數開始。這些變數包括淨初始速度， $v_{i}=2.0{\text{m/s}}$ ，淨加速度 ${\vec {a}}_{net}=19.5\;{\text{m/s}}^{2}$ ，以及水平位移（在 Part b 中找到） $\Delta x=2.44\;{\text{m}}$ .

收集完這些項後，我們參考運動學方程表並考慮方程 3： $x_{net,f}-x_{net,i}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ 。雖然我們正在引入一個額外的未知變數（淨位移） $x_{net,f}-x_{net,i}\iff d_{net}$ 到我們的問題中，透過考慮方程 3，我們可以使用三角函式直接預先計算該值。這是因為我們已經知道水平位移和磷蝦的位移角。

使用與解析解相同的方法，我們可以找到第二隻磷蝦的淨位移與水平位移。因此，保持有效數字， $d_{net}=2.4468...\;{\text{m}}$ 。有關此推導，請參閱解析解。

現在，我們可以使用方程 3 直接計算經過時間，如下所示

$x_{net,f}-x_{net,i}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$

$\implies d_{net}=v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ [位移定義。]

$\implies 0=-d_{net}+v_{net,i}(t)+{\frac {1}{2}}a_{net}(t)^{2}$ [將二次方程設定為 0。]

透過允許上面的二次方程等於 0，我們可以找出 $t_{elapsed}$ 的哪些值使方程成立。解釋一下， $t_{elapsed}$ 是上面方程中唯一剩下的未知變數。因此，我們可以透過檢查它是否滿足方程來評估某個 $t_{elapsed}$ 的值是否為答案。

我們可以使用二次公式或使用圖形計算器查詢方程與 X 軸的交點（方程為 0 的地方）來做到這一點。但是，因為此問題提供了圖形計算器，所以解決方案的其餘部分將重點放在圖形解決問題上。

要使用繪圖計算器解決這個問題，我們需要先決定使用哪個函式來模擬我們推匯出的方程。在自定義圖形中，我們有四種可能的圖形選擇。然而，只有函式選擇 1： $f\left(t\right)=\ -\left(x_{NetDisplacement}\right)+\ v_{NetInitial}\left(t\right)+{\frac {1}{2}}a_{net}\left(t\right)^{2}$ 包含與推導方程中相同的變數。為了說明，其他函式，它們

在方程中使用水平位移而不是淨位移，或者/並且
忽略了淨初速度不為零。

接下來，我們向下滾動並輸入 $x_{NetDisplacement}\iff d_{net}$ ， $v_{NetInitial}\iff v_{net,i}$ 和 $a_{net}$ 的值。請注意 $x_{NetHorizontal}\iff d_{x}$ 可以跳過，因為它不在我們選擇的函式中。

使用到目前為止收集的資訊，輸入的值應該是

 $x_{NetDisplacement}\iff d_{net}$ : $2.4468...\;{\text{m}}$ 
 $v_{NetInitial}\iff v_{net,i}$ :  $2.00\;{\text{m}}$ 
 $\quad a_{net}$ :  $19.5\;{\text{m/s}}^{2}$

Note: To prevent confusion, all of these values must share being either all positive or all negative. This is because the values above all are vectors in the same direction. Thus, it's our choice depending on whether we want to follow the Cartesian grid convention. 

For this solution, we all for the values to all be positive. However, both ways result in the same answer.

這樣，我們就可以建立一個拋物線，它在 $t\approx -0.614\;{\text{sec}}$ 和 $t\approx 0.409\;{\text{sec}}$ 處與 X 軸相交。正如 Desmos 圖形中所解釋的那樣，只有正解是正確的。我們可以從邏輯上證實這一點，因為磷蝦在穿過鯊魚的嘴巴 **之後** 才到達鯊魚的胃。因此，時間必須發生正變化。

因此，使用三位有效數字，第二隻磷蝦從鯊魚的嘴巴到它的胃花了 $t=0.409\;{\text{sec}}$ ，這也回答了第 d 部分。*

*注意：這裡答案可能與解析解略有不同，這取決於圖形使用的精度。在本例中，我們只在解析解的最後一位數字上與解析解不同，解析解發現 $t=0.408\;{\text{sec}}$ 。

↑ “3.3: 投射運動。” 物理學自由文字，2018 年 4 月 12 日，https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Physics_(Boundless)/3%3A_Two-Dimensional_Kinematics/3.3%3A_Projectile_Motion。
↑ Vsauce。哪個方向是向下？2017。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=Xc4xYacTu-E。
↑ 下一代科學。終末速度和空氣阻力。2023。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=ElpqPZd1RJU。
↑ Urone，Paul Peter 和 Roger Hinrichs。5.2 阻力 - 大學物理 2e | OpenStax。2022 年 7 月 13 日，https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/5-2-drag-forces。
↑ https://www.asc.ohio-state.edu/orban.14/physics_coding/bonk/bonk_v6/. 2024 年 6 月 20 日訪問。

[1] “3.3: 投射運動。” 物理學自由文字，2018 年 4 月 12 日，https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Physics_(Boundless)/3%3A_Two-Dimensional_Kinematics/3.3%3A_Projectile_Motion。

[2] Vsauce。哪個方向是向下？2017。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=Xc4xYacTu-E。

[3] 下一代科學。終末速度和空氣阻力。2023。YouTube，https://www.youtube.com/watch?v=ElpqPZd1RJU。

[4] Urone，Paul Peter 和 Roger Hinrichs。5.2 阻力 - 大學物理 2e | OpenStax。2022 年 7 月 13 日，https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/5-2-drag-forces。

[5] ttps://www.asc.ohio-state.edu/orban.14/physics_coding/bonk/bonk_v6/. 2024 年 6 月 20 日訪問。

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