微積分物理學/力學/標量和向量量

簡介

米切爾·喬恩斯的研究與數學研究密切相關。有時，數字或數量的方向與數字本身一樣重要。19 世紀的數學家開發了一種方便的方法來描述和處理有方向和無方向的量，將它們分為兩種型別：標量和向量量。標量具有大小但沒有方向。向量量同時具有大小和方向。例如，人們可能會描述飛機以 400 英里的時速飛行。然而，僅僅知道飛機的速度遠遠不如知道飛機的速度和方向有用，因此更準確的描述可能是飛機以 400 英里的時速向東南方向飛行。我們將標量和向量的概念應用到物理量中，以便我們能夠以更方便的方式理解它們的性質和特徵。

標量

標量是具有大小但沒有方向的數字。標量用單個字母表示，例如 $a$ 。標量的一些例子是質量（五千克）、溫度（二十二度攝氏度）和無單位的數字（例如三）。

向量量

向量是一種表示既有方向又有大小的量的幾何方式。力的一個例子就是向量。如果我們要完整地描述作用在物體上的力，我們需要指定不僅施加了多少力，還要指定力的方向。另一個向量量的例子是速度 - 向東以每秒十米的速度行駛的物體與向西以每秒十米的速度行駛的物體具有不同的速度。然而，這個向量是一個特例，有時人們只對物體速度的大小感興趣。這個量是標量，稱為速度，它有大小但沒有給定的方向。

當寫向量時，它們用粗體或字母上方帶箭頭的單個字母表示，例如 $\mathbf {A}$ 或 ${\vec {A}}$ 。向量的一些例子是位移（例如120 釐米，30° 角）和速度（例如每秒 12 米，向北）。唯一的基本 SI 單位是向量是米。所有其他單位都是標量。匯出量可以是向量或標量，但每個向量量必須在其定義和單位中包含米。

單位向量

嚴格來說，向量獨立於任何座標系存在。由於向量是幾何物件，我們不需要定義座標系來談論向量，甚至不需要執行大多數向量運算。例如，考慮一組三個數字：你擁有的蘋果數量、香蕉數量和胡蘿蔔數量。假設你在一個座標系中計算三元組，得到 (1,2,3)。如果你旋轉你的座標系並重新計算，你將再次得到 (1,2,3)。因此，三元組不具有向量最重要的性質 - 即像座標系一樣變換。

然而，引入座標系通常很方便。在三維空間中，對於許多問題，直角座標系或笛卡爾座標系（以法國數學家勒內·笛卡爾命名）被證明是方便的，並且該座標系可以用單位向量來定義。

單位向量是指指向給定方向且大小為一的向量。從本質上講，它僅僅指示方向。在笛卡爾座標系中，三個單位向量稱為i、j 和k（或者，在手寫中，在頂部加上一個小“帽子”，如 ${\hat {i}}$ ， ${\hat {j}}$ 和 ${\hat {k}}$ ）。口頭上，你可能會將單位向量的方向稱為“東”、“北”和“上”。人們可能很容易選擇i 為上，j 為東，k 為北。在選擇i、j 和k 時，一旦i 和j 被選中，k 必須指向特定方向，以便稱為“右手規則”的通用約定成立。在數學上，這可以用簡潔的方式表示為，

{\hat {k}}={\hat {i}}\times {\hat {j}}

,

但當我們稍後描述“叉積”時，我們將對此進行更多擴充套件。

單位向量通常選擇為正交的。也就是說，每個單位向量都與其他單位向量垂直。雖然單位向量不需要正交，但在大多數情況下，使用由正交單位向量定義的座標系將更方便。物理學中使用的另外兩個主要座標系是圓柱座標系和球面座標系。這些將在必要時稍後介紹。

向量分量

每個向量都可以表示為其n個單位向量的總和。

{\vec {A}}=a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}}

量a_x、a_y和a_z被稱為向量A的向量分量。有時它們僅表示為有序三元組（例如（a_x，a_y，a_z）），尤其是在三個單位向量的選擇和排序沒有歧義的情況下。

向量代數

否定

否定也可以表示一個向量不等於另一個向量，所以它可以這樣解釋： ${\vec {A}}\neq {\vec {B}}$

-{\vec {A}}=-(a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}})=-a_{x}~{\hat {i}}-a_{y}~{\hat {j}}-a_{z}~{\hat {k}}

考慮用箭頭圖形表示的向量，向量的負值將用相同長度但方向相反的向量表示。

標量乘法

k{\vec {A}}=ka_{x}~{\hat {i}}+ka_{y}~{\hat {j}}+ka_{z}~{\hat {k}}

注意，向量否定只是乘以一個標量，其中該標量為 -1。圖形表示的縮放向量將指向與原始向量相同的方向，但其大小將按k因子縮放。

加法

{\begin{aligned}{\vec {A}}+{\vec {B}}&=(a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}})+(b_{x}~{\hat {i}}+b_{y}~{\hat {j}}+b_{z}~{\hat {k}})\\&=(a_{x}+b_{x})~{\hat {i}}+(a_{y}+b_{y})~{\hat {j}}+(a_{z}+b_{z})~{\hat {k}}\end{aligned}}

兩個向量可以透過將第二個向量（此處為 **B**）的尾部與第一個向量（**A**）的尖端重合來圖形化地相加。結果向量 **A** + **B** 是從 **A** 的尾部到 **B** 的尖端的向量。

任意數量的向量都可以透過這種方式相加。向量加法滿足交換律

{\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}={\vec {C}}+{\vec {B}}+{\vec {A}}

和結合律

({\vec {A}}+{\vec {B}})+{\vec {C}}={\vec {A}}+({\vec {B}}+{\vec {C}})

點積

當我們乘以兩個向量時，我們可以使用產生標量作為最終結果的乘法規則，也可以使用產生向量作為最終結果的乘法規則。產生標量的第一個規則稱為 **點積**。在數學文字中，這通常稱為 *內積*，一些較舊的文字將此稱為 *標量積*（不要與標量乘法混淆）；它們都是一樣的。點積具有乘積的所有通常性質，例如結合律、交換律和分配律。從幾何上講，點積定義為

{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=AB\cos(\theta )

,

其中 $\theta$ 是 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 之間的夾角。請注意，由於 $\cos(0)=1$ ，如果 ${\vec {A}}$ 平行於 ${\vec {B}}$ ，那麼 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=AB$ 。另一方面，由於 $\cos(90^{\circ })=0$ 如果 ${\vec {A}}$ 垂直於 ${\vec {B}}$ ，那麼 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=0$ 。利用這個指導原則，我們在下面找到關係

{\begin{aligned}{\hat {i}}\cdot {\hat {i}}={\hat {j}}\cdot {\hat {j}}={\hat {k}}\cdot {\hat {k}}=1\\{\hat {i}}\cdot {\hat {j}}={\hat {j}}\cdot {\hat {k}}={\hat {k}}\cdot {\hat {i}}=0\end{aligned}}

.

利用這一點，我們可以用分量向量來定義點積，如下所示

{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(A_{x}~{\hat {i}}+A_{y}~{\hat {j}}+A_{z}~{\hat {k}})\cdot (B_{x}~{\hat {i}}+B_{y}~{\hat {j}}+B_{z}~{\hat {k}})=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}

.

建議您明確展開乘法，使用分配律並找出哪些項消為零，哪些項變為 1。

叉積

兩個向量相乘的第二條規則產生另一個向量。這個乘法規則非常特殊——事實上，它是三維空間的一個特殊屬性，我們可以用這種方式定義向量乘法並仍然得到一個向量。這個規則在二維空間中不適用，而在任何超過三維的空間中，這個規則的擴充套件也不會產生另一個向量（例如，點積可以自然地擴充套件或限制到任何維度以產生一個標量）。這種乘法稱為叉積，在其他文字中，你可能會發現術語外積和向量積。該積可以用兩個規則來定義，首先指定乘積向量的方向，其次指定其大小。

${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 垂直於 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ （即，垂直於這兩個向量定義的平面）。這在垂直於平面的線上留下了兩個可能的方向。這兩個方向中的一個被稱為“右手定則”：伸出食指、中指和大拇指，使它們相互垂直。讓食指指向 ${\vec {A}}$ 的方向，中指指向 ${\vec {B}}$ 的方向。然後大拇指指向 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 的方向。這裡順序很重要（注意交換 A 和 B 會使大拇指指向相反的方向）。
$|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=AB\sin(\theta )$ ，其中 $\theta$ 再次是 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 之間的角度。

再次將此定義應用於單位向量，我們發現以下關係

{\begin{aligned}{\hat {i}}\times {\hat {j}}&=-{\hat {j}}\times {\hat {i}}={\hat {k}}\\{\hat {j}}\times {\hat {k}}&=-{\hat {k}}\times {\hat {j}}={\hat {i}}\\{\hat {k}}\times {\hat {i}}&=-{\hat {i}}\times {\hat {k}}={\hat {j}}\\{\hat {i}}\times {\hat {i}}&={\hat {j}}\times {\hat {j}}={\hat {k}}\times {\hat {k}}=0\end{aligned}}

.

而就分量而言，經過繁瑣的代數運算，我們有

{\vec {A}}\times {\vec {B}}=(A_{y}B_{z}-B_{y}A_{z})~{\hat {i}}+(A_{z}B_{x}-B_{z}A_{x})~{\hat {j}}+(A_{x}B_{y}-B_{x}A_{y})~{\hat {k}}

.

事實證明，我們可以將這種複雜的關係寫成一個 3×3 矩陣的行列式

{\vec {A}}\times {\vec {B}}=\left|{\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{matrix}}\right|

.

叉積的一些性質，比如 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$ 和 ${\vec {A}}\times {\vec {A}}=0$ 可以作為矩陣行列式的性質推匯出來。

點積和叉積的有用性質

點積和叉積都對向量加法滿足分配律。

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\times {\vec {B}}+{\vec {A}}\times {\vec {C}}$

$({\vec {A}}+{\vec {B}})\times {\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}+{\vec {B}}\times {\vec {C}}$

兩個向量的點積與其夾角的餘弦成正比，而其叉積與其夾角的正弦成正比。

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\cos(\theta )$

$\|{\vec {A}}\times {\vec {B}}\|=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\sin(\theta )$

正如我們已經看到的，點積是結合律和交換律的。

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$

重要的是要記住，叉積不具有這些性質。它不是交換律，而是反交換律。

${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$

叉積不具有結合律。例如，考慮 $({\vec {A}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}$ 。因為 ${\vec {A}}$ 和它自身的夾角的正弦值為0，所以 ${\vec {A}}\times {\vec {A}}={\vec {0}}$ ，因此 $({\vec {A}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}={\vec {0}}$ 。另一方面， ${\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})$ 不為零，因為 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 是互相垂直的。實際上，如果 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 是互相垂直的，那麼它的方向將與 ${\vec {B}}$ 的方向相反。您可以使用右手法則自己驗證這一點。

${\vec {A}}$ 平行於 ${\vec {B}}$ 的分量由下式給出

$\left({\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {A}}}{{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}}}\right){\vec {B}}$

而 ${\vec {A}}$ 垂直於 ${\vec {B}}$ 的分量由下式給出

$\left({\frac {{\vec {B}}\times {\vec {A}}}{{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}}}\right)\times {\vec {B}}$ .

這導致了一些有趣的性質，涉及到乘積的組合，例如

$({\vec {B}}\cdot {\vec {B}}){\vec {A}}=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {B}}+({\vec {B}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}$ ,

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$ ，以及

$({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {D}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})({\vec {B}}\cdot {\vec {D}})-({\vec {A}}\cdot {\vec {D}})({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})$ .

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