量子世界/附錄/問題

此頁面的目的是展示處理量子物理學問題中出現的令人困惑的數學問題的技巧。它不會回答您的作業，但可能會幫助您擺脫困境。

歸一化

當一個問題要求您對波函式進行歸一化時，他們的意思是定義某個係數的值，使得

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}\,dx=1$

例如，考慮一個函式

$\Psi (x,t)=A\beta (x,t)$

要找到 A，您必須首先找到 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 的絕對值。由於波函式通常具有複數部分，因此對波函式進行平方是不夠的。相反，您必須將其乘以其複共軛。要了解如何對一個數進行復共軛，請參見關於複數的頁面。

$\left|\Psi (x,t)\right|^{2}=A^{2}\beta (x,t)\beta (x,t)^{\star }$

重新排列以解出 A，

$A=1/{\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }\beta (x,t)\beta (x,t)^{\star }dx}}$

請注意，由於積分的極限是無限的，因此 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 必須隨著 x 趨於無窮大或負無窮大而趨於零。否則，粒子位於任何地方的機率都大於 1，並且該函式不可歸一化。只有在少數情況下才能滿足這些條件。

處理高斯函式

最常見的情況之一是函式，其中 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 的形式為 $A^{2}e^{-\alpha x^{2}}$ 。在這種情況下，您最終將得到一個積分

$A^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx=1$

但這意味著整合 $\int e^{x^{2}}dx$ ，一個無法積分的函式。在 Mathematica 和 Maple 中對其進行積分將得到一堆難以處理的複雜函式。嘗試將其轉換為 $\int e^{2x}dx$ 不是正確的處理方法，請記住， $\int e^{x^{2}}$ 和 $\int (e^{x})^{2}$ 之間是有區別的。

但是，儘管積分的極限在無窮大和負無窮大，但積分仍然是定積分，並且存在解。
定義一個新函式
$I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx$ .
對該函式進行平方。
$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx*\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx$
對其中一個積分使用變數替換， $x=y$ ，得到
$I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx*\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha y^{2}}dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha (x^{2}+y^{2})}dxdy$
進行另一個變數替換到極座標系（關於極座標系的介紹，請參閱 Calculus wikibook）。
$x=r\cos(\theta )$ ， $y=r\sin(\theta )$ ， $r^{2}=x^{2}+y^{2}$
$I^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-\alpha r^{2}}drd\theta$
這是一個更容易積分的形式。

量子算符

在基本量子物理問題中，五個最常見的量子算符是
x 算符： ${\hat {x}}=x$
$x^{2}$ 算符： ${\hat {x^{2}}}=x^{2}$
動量算符： ${\hat {p}}={\hbar /i}\nabla$
動量平方算符： ${\hat {p^{2}}}=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}$
哈密頓算符： ${\hat {H}}=-\hbar ^{2}/{2m}\nabla ^{2}+V$
要將這些算符應用於波函式，需要將波函式夾在積分號內。例如，要找到 x 的平均值（也稱為 x 的期望值或 x 的一階矩），需計算以下積分： $<x>=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi {\hat {x}}\Psi ^{\star }dx$

偶函式和奇函式

如果波函式是對稱的並且以原點為中心，則它是偶函式（f(x)=f(-x)）。因此，x 的期望值必須在 0 處找到，因為它出現在 -x 區域的機率等於它出現在 x 區域的機率。
更嚴格的證明如下
假設 $y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}$ 是偶函式。y(x) = x 是奇函式（f(-x)=-f(x)）。
那麼
$y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*x$ 是奇函式（偶函式 * 奇函式 = 奇函式）。
那麼
$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=\int _{-\infty }^{0}\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx+\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx$
由於 $y(x)=\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*x$ 是奇函式，
$\int _{-\infty }^{0}\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=-\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx$
所以
$\int _{-\infty }^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=-\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx+\int _{0}^{\infty }\left|\Psi (x,t)\right|^{2}*xdx=0$
我們可以利用奇偶函式的性質，透過觀察來求得<x>的平均值。

有用積分

在量子物理學中，有很多重複出現的積分需要求解，這些一般解可以幫助你解決它們。

$\int x\sin(ax)dx=(1/a^{2})\sin(ax)-(x/a)\cos(ax)$
$\int x\cos(ax)dx=(1/a^{2})\cos(ax)-(x/a)\sin(ax)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x/a}dx=n!a^{n+1}$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-x^{2}/a^{2}}dx={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{n!}}({\frac {a}{2}})^{2n+1}$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-x^{2}/a^{2}}dx={\sqrt {\pi }}a^{2n+2}$