量子世界/影響與應用/模糊位置變得更模糊

模糊位置變得更模糊

我們將計算當沒有平衡吸引力（如原子氫中原子核和電子之間的吸引力）時，位置機率分佈的模糊度隨著相應動量的模糊度增加而增加的速率。

由於易於處理，我們選擇高斯函式

$\psi (0,x)=Ne^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},$

它具有鐘形曲線圖。它定義了位置機率分佈

$|\psi (0,x)|^{2}=N^{2}e^{-x^{2}/\sigma ^{2}}.$

如果我們將此分佈歸一化，使得 $\int dx\,|\psi (0,x)|^{2}=1,$ 那麼 $N^{2}=1/\sigma {\sqrt {\pi }},$ 並且

$|\psi (0,x)|^{2}=e^{-x^{2}/\sigma ^{2}}/\sigma {\sqrt {\pi }}.$

我們還有

• $\Delta x(0)=\sigma /{\sqrt {2}},$
• $\psi (0,x)$ 的傅立葉變換是 ${\overline {\psi }}(0,k)={\sqrt {\sigma /{\sqrt {\pi }}}}e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2},$
• 它定義了動量機率分佈 $|{\overline {\psi }}(0,k)|^{2}=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}}/{\sqrt {\pi }},$
• 並且 $\Delta k(0)=1/\sigma {\sqrt {2}}.$

與 $\psi (0,x)$ 相關的粒子的位置和動量的模糊度，因此是 "不確定性"關係 允許的最小值：$\Delta x(0)\,\Delta k(0)=1/2.$

現在回想一下

${\overline {\psi }}(t,k)=\phi (0,k)e^{-i\omega t},$

其中 $\omega =\hbar k^{2}/2m.$ 它的傅立葉變換為

$\psi (t,x)={\sqrt {\sigma \over {\sqrt {\pi }}}}{1 \over {\sqrt {\sigma ^{2}+i\,(\hbar /m)\,t}}}\,e^{-x^{2}/2[\sigma ^{2}+i\,(\hbar /m)\,t]},$

這定義了位置機率分佈

$|\psi (t,x)|^{2}={1 \over {\sqrt {\pi }}{\sqrt {\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}}}}\,e^{-x^{2}/[\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}]}.$

與 $|\psi (0,x)|^{2}$ 的比較表明 $\sigma (t)={\sqrt {\sigma ^{2}+(\hbar ^{2}/m^{2}\sigma ^{2})\,t^{2}}}.$ 因此，

$\Delta x(t)={\sigma (t) \over {\sqrt {2}}}={\sqrt {{\sigma ^{2} \over 2}+{\hbar ^{2}t^{2} \over 2m^{2}\sigma ^{2}}}}={\sqrt {[\Delta x(0)]^{2}+{\hbar ^{2}t^{2} \over 4m^{2}[\Delta x(0)]^{2}}}}.$

以下圖表說明了，與一個質量相當於 $C_{60}$ 分子或花生大小的物體相比，一個電子質量的粒子的模糊度增長得有多快。這裡我們看到，為什麼宏觀物體的“一旦清晰，永遠清晰”的立場是成立的，但事實並非如此，因為它並不是唯一的原因。

上圖：一個電子，$\Delta x(0)=1$ 奈米。在一秒鐘內，$\Delta x(t)$ 增加到近 60 公里。

下圖：一個電子，$\Delta x(0)=1$ 釐米。 $\Delta x(t)$ 在一秒鐘內只增長了 16%。

接下來，一個$C_{60}$ 分子，$\Delta x(0)=1$ 奈米。在一秒鐘內，$\Delta x(t)$ 增加到 4.4 釐米。

最後，一顆花生 (2.8 克)，$\Delta x(0)=1$ 奈米。$\Delta x(t)$ 需要宇宙的當前年齡才能增長到 7.5 微米。