量子世界/影響和應用/時間無關薛定諤方程

時間無關薛定諤方程

如果勢能 V 不依賴於時間，那麼薛定諤方程的解就是時間無關函式 $\psi (\mathbf {r} )$ 和時間相關相位因子 $e^{-(i/\hbar )\,E\,t}$ 的乘積。

$\psi (t,\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}.$

由於機率密度 $|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}$ 與時間無關，這些解被稱為穩態。

將 $\psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}$ 代入

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\psi +V\psi$

可以發現 $\psi (\mathbf {r} )$ 滿足時間無關薛定諤方程

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} ).$