向量/簡介

基本概念

向量是一個數學概念，具有大小和方向。有關向量的詳細解釋，請參閱華夏公益教科書模組 線性代數/空間中的向量。在物理學中，向量用於描述發生在 空間 中的事情，方法是提供一系列與問題 座標系 相關的量。

向量通常用一系列數字表示。例如，在實數的二維空間中，符號 (1, 1) 代表一個指向 x 軸與 y 軸之間 45 度角，大小為 ${\sqrt {2}}$ 的向量。

在物理學中，我們通常使用 **位置向量** 來描述某個物體在所考慮空間中的位置，或者描述其位置在該時刻是如何變化的。位置向量用 **標量** 乘以 **單位向量** 的求和表示。例如

$a{\hat {i}}+b{\hat {j}}+c{\hat {k}}$

其中 a、b 和 c 是標量，${\hat {i}},{\hat {j}}$ 和 ${\hat {k}}$ 是 笛卡爾（勒內·笛卡爾）座標系的 *單位向量*。單位向量是一個特殊的向量，大小為 1，並且沿座標系的某個軸方向。下圖更好地說明了這一點。

向量本身通常用箭頭表示：${\vec {v}}$，或者用粗體字表示：v，所以上述向量作為完整方程表示為

${\vec {v}}=a{\hat {i}}+b{\hat {j}}+c{\hat {k}}$

向量的大小由 $|{\vec {v}}|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}^{2})}}$ 計算。例如，在二維空間中，此方程簡化為

$|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

對於三維空間，此方程變為

$|{\vec {v}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

練習題

問題 1： 求以下向量的模長。答案在下方。

${\vec {v}}=(4,3)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}=5$

${\vec {v}}=(5,3)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {5^{2}+3^{2}}}={\sqrt {34}}$

${\vec {v}}=(1,0)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {1^{2}+0^{2}}}=1$

${\vec {v}}=(4,4)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {4^{2}+4^{2}}}={\sqrt {32}}$

${\vec {v}}=(5,0,0)$

$|{\vec {v}}|={\sqrt {5^{2}+0^{2}+0^{2}}}=5$

在物理學中使用向量

許多問題，特別是在力學中，涉及使用二維或三維空間來描述物體的位置和運動。向量可以用來將這些資訊壓縮成一種精確且易於理解的形式，便於用數學方法處理。

位置 - 或某物在哪裡，可以用位置向量來表示。位置向量測量某物與參考系原點的距離及其方向，通常用符號 ${\vec {r}}$ 來表示，儘管並非總是如此。在描述問題的解決方案時，通常最好使用 ${\vec {r}}$ 來表示位置向量，因為大多數物理學家使用這種符號。

速度定義為位置相對於時間的變化率。你可能習慣於將速度 v 寫成一個標量，因為你的解法假設 v 指的是運動方向上的速度。然而，如果我們採用嚴格的定義並將其應用於位置向量——我們已經確定這是表示位置的正確方法——我們得到

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\frac {da}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {db}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dc}{dt}}{\hat {k}}$

但是，我們注意到單位向量僅僅是符號而不是術語本身，實際上並沒有微分，只有表示向量在每個方向上的分量的標量進行了微分。

假設每個分量不是常數，因此具有非零導數，我們得到

${\vec {v}}=a'{\hat {i}}+b'{\hat {j}}+c'{\hat {k}}$，其中 a'、b' 和 c' 只是每個原始位置向量分量相對於時間的第一個導數。

這裡很明顯速度也是一個向量。在現實世界中，這意味著速度向量的每個分量都表明位置向量的每個分量變化的速度——也就是說，物體在每個方向上的移動速度。

力學中的向量

向量符號在現代固體力學、流體力學、生物力學、非線性有限元和力學中其他許多學科的文獻中無處不在。學生必須熟悉這種符號才能閱讀相關文獻。在本節中，我們將介紹常用的符號、向量代數中的常見運算以及向量微積分中的一些概念。

向量

向量是一個具有某些屬性的物件。這些屬性是什麼？我們通常說這些屬性是

• 向量有大小（或長度）
• 向量有方向。

為了使向量物件的定義更加精確，我們還可以說向量是滿足向量空間性質的物件。

向量標準的符號是帶下劃線的英文小寫字母（例如 $\mathbf {a} \,$）。

在圖 1(a) 中，你可以看到一個紅色向量 $\mathbf {a}$。這個向量可以用分量形式表示，相對於基（$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\,$）表示為

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}\,$

其中 $\mathbf {e} _{1}\,$ 和 $\mathbf {e} _{2}\,$ 是標準正交單位向量。正交意味著它們相互垂直（正交）並且是單位向量。回想一下，單位向量是長度為 1 的向量。這些向量也稱為基向量。

你也可以用另一組基向量（$\mathbf {g} _{1},\mathbf {g} _{2}\,$）來表示同一個向量 $\mathbf {a} \,$，如圖 1(b) 所示。在這種情況下，向量的分量是 $(b_{1},b_{2})\,$，我們可以寫成

$\mathbf {a} =b_{1}\mathbf {g} _{1}+b_{2}\mathbf {g} _{2}\,~.$

需要注意的是，基向量 $\mathbf {g} _{1}\,$ 和 $\mathbf {g} _{2}\,$ 不一定必須是單位向量。我們只需要它們是 *線性無關* 的，也就是說，我們不應該能夠用其他向量來表示其中一個向量。

在三維空間中，使用 *標準正交基*，我們可以將向量 $\mathbf {a} \,$ 寫成

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{2}\mathbf {e} _{3}\,$

其中 $\mathbf {e} _{3}\,$ 與 $\mathbf {e} _{1}\,$ 和 $\mathbf {e} _{2}\,$ 都垂直。這是我們通常用來表達任意向量的基底。