向量/向量代數

兩個向量首尾相加。

向量代數運算

加法和減法

如果 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 是向量，那麼它們的和 $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \,$ 也是一個向量。

這兩個向量也可以相互減去，得到另一個向量 $\mathbf {d} =\mathbf {a} -\mathbf {b} \,$.

乘以標量

乘以 2 使向量的長度加倍

向量 $\mathbf {b} \,$ 乘以標量 $\lambda \,$ 的作用是拉伸或縮短向量。

您可以透過除以向量的長度 $|\mathbf {b} |\,$ 來形成一個與 $\mathbf {b} \,$ 平行的單位向量 ${\hat {\mathbf {b} }}\,$。因此，

${\hat {\mathbf {b} }}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}~.$

兩個向量的標量積

標量積取決於兩個向量之間的角度的餘弦。

兩個向量的標量積或內積或點積定義為

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )$

其中 $\theta \,$ 是兩個向量之間的夾角（見圖 2(b)）。

如果 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 互相垂直，$\theta =\pi /2\,$ 且 $\cos(\theta )=0\,$。因此，${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=0$。

因此，點積具有幾何意義，即 $\mathbf {a} \,$ 在單位向量 ${\hat {\mathbf {b} }}\,$ 上的投影的長度，當兩個向量被放置為它們從同一點（尾部對尾部）開始。

標量積導致一個標量量，也可以用分量形式（關於給定的基底）寫成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\sum _{i=1..3}a_{i}b_{i}~.$

如果向量是 $n$ 維的，點積寫成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=\sum _{i=1..n}a_{i}b_{i}~.$

使用愛因斯坦求和約定，我們也可以將標量積寫成

${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }=a_{i}b_{i}~.$

另外要注意，標量積也滿足以下條件

1. ${\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }={\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {a} }$（交換律）。
2. ${\mathbf {a} }\cdot {(\mathbf {b} +\mathbf {c} )}={\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} }+{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} }$（分配律）。

兩個向量的向量積

由兩個向量生成的平行四邊形的面積是它們叉積的長度

兩個向量 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 的 向量 積（或 叉積）是另一個向量 $\mathbf {c} \,$，定義為

$\mathbf {c} ={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta ){\hat {\mathbf {c} }}$

其中 $\theta \,$ 是 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 之間的夾角，而 ${\hat {\mathbf {c} }}\,$ 是一個單位向量，垂直於包含 $\mathbf {a} \,$ 和 $\mathbf {b} \,$ 的平面的右手系方向。

就正交規範基 $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})\,$ 而言，叉積可以寫成行列式的形式

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}.$

在指標表示法中，叉積可以寫成

${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }\equiv e_{ijk}a_{j}b_{k}.$

其中 $e_{ijk}$ 是 Levi-Civita 符號（也稱為置換符號、交替張量）。

向量代數中的恆等式

下面給出了一些有用的向量恆等式。

1. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=-{\mathbf {b} }\times {\mathbf {a} }$.
2. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} +\mathbf {c} }={\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }+{\mathbf {a} }\times {\mathbf {c} }$.
3. ${\mathbf {a} }\times {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}=\mathbf {b} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} })-\mathbf {c} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} })$
4. ${({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}\times {\mathbf {c} }=\mathbf {b} ({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {c} })-\mathbf {a} ({\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {c} })$
5. ${\mathbf {a} }\times {\mathbf {a} }=\mathbf {0}$
6. ${\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}={\mathbf {b} }\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}=\mathbf {0}$
7. ${({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}\cdot {\mathbf {c} }={\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}$

有關本章主題的更多詳細資訊，請參閱華夏公益教科書上的向量 in the wikibook on Calculus.