向量/向量微積分

向量微積分

到目前為止，我們已經處理了常向量。如果向量允許在空間中變化，也會很有幫助。然後我們可以定義導數和積分，並處理向量場。下面討論了一些向量微積分的基本概念。

向量值函式的導數

令 $\mathbf {a} (x)\,$ 是一個向量函式，可以表示為

$\mathbf {a} (x)=a_{1}(x)\mathbf {e} _{1}+a_{2}(x)\mathbf {e} _{2}+a_{3}(x)\mathbf {e} _{3}\,$

其中 $x\,$ 是一個標量。

那麼 $\mathbf {a} (x)\,$ 相對於 $x\,$ 的導數為

${\cfrac {d\mathbf {a} (x)}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\cfrac {\mathbf {a} (x+\Delta x)-\mathbf {a} (x)}{\Delta x}}={\cfrac {da_{1}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {da_{2}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {da_{3}(x)}{dx}}\mathbf {e} _{3}~.$

注意：在上面的等式中，單位向量 $\mathbf {e} _{i}$ (i=1,2,3) 被假定為常數。
如果 $\mathbf {a} (x)\,$ 和 $\mathbf {b} (x)\,$ 是兩個向量函式，那麼根據鏈式法則，我們得到

${\begin{aligned}{\cfrac {d({\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {b} })}{x}}&={\mathbf {a} }\cdot {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\cdot {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}{dx}}&={\mathbf {a} }\times {\cfrac {d\mathbf {b} }{dx}}+{\cfrac {d\mathbf {a} }{dx}}\times {\mathbf {b} }\\{\cfrac {d[{\mathbf {a} }\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}]}{dt}}&={\cfrac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot {({\mathbf {b} }\times {\mathbf {c} })}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\cfrac {d\mathbf {b} }{dt}}\times {\mathbf {c} }\right)}+{\mathbf {a} }\cdot {\left({\mathbf {b} }\times {\cfrac {d\mathbf {c} }{dt}}\right)}\end{aligned}}$

標量場和向量場

設 $\mathbf {x} \,$ 為空間中任意一點的位置向量。假設存在一個標量函式 ($g\,$)，它為空間中的每個點分配一個值。然後

$g=g(\mathbf {x} )\,$

表示一個標量場。標量場的一個例子是溫度。參見圖4(a)。

如果存在一個向量函式 ($\mathbf {a} \,$)，它為空間中的每個點分配一個向量，那麼

$\mathbf {a} =\mathbf {a} (\mathbf {x} )\,$

表示一個向量場。一個例子是位移場。參見圖4(b)。

標量場的梯度

令 $\varphi (\mathbf {x} )\,$ 是一個標量函式。假設該函式在空間的某個區域內偏導數是連續的。如果點 $\mathbf {x} \,$ 相對於基底 ($\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\,$) 的座標為 ($x_{1},x_{2},x_{3}\,$)，則 $\varphi \,$ 的梯度定義為

${\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}~\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}~\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}~\mathbf {e} _{3}~.$

在指標表示法中，

${\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }\equiv \varphi _{,i}~\mathbf {e} _{i}~.$

梯度顯然是一個向量，並且有方向。我們可以認為一個點的梯度是該點水平輪廓的垂直向量。

通常將符號 ${\boldsymbol {\nabla }}{}$ 看作是如下形式的運算子

${\boldsymbol {\nabla }}{}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}~\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}~\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}~\mathbf {e} _{3}~.$

向量場的散度

如果我們形成向量場 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 與 ${\boldsymbol {\nabla }}{}$ 運算子的標量積，我們將得到一個稱為向量場散度的標量量。因此，

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}~.$

在指標表示法中，

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }\equiv u_{i,i}~.$

如果 ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }=0$，那麼 $\mathbf {u} \,$ 稱為一個*無散度*場。

向量場散度的物理意義是某個*密度*從空間的給定區域流出的速率。在沒有物質產生或湮滅的情況下，空間某一區域內的密度只能透過流入或流出該區域而發生變化。

向量場的旋度

向量場 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 的*旋度*是一個*向量*，定義為

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {u} }=\det {\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\\end{vmatrix}}$

向量場旋度的物理意義是空間區域內容物的旋轉量或角動量。

標量場或向量場的拉普拉斯運算元

標量場 $\varphi (\mathbf {x} )\,$ 的*拉普拉斯運算元*是一個*標量*，定義為

$\nabla ^{2}{\varphi }:={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {{\boldsymbol {\nabla }}{\varphi }}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{3}}}~.$

向量場 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 的拉普拉斯運算元是一個向量，定義為

$\nabla ^{2}{\mathbf {u} }:=(\nabla ^{2}{u_{1}})\mathbf {e} _{1}+(\nabla ^{2}{u_{2}})\mathbf {e} _{2}+(\nabla ^{2}{u_{3}})\mathbf {e} _{3}~.$

向量微積分恆等式

下面列出了一些向量微積分中經常使用的恆等式。

1. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {(\mathbf {a} +\mathbf {b} )}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {a} }+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {b} }$~.
2. ${\boldsymbol {\nabla }}\times {(\mathbf {a} +\mathbf {b} )}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} }+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {b} }$~.
3. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {(\varphi \mathbf {a} )}={({\boldsymbol {\nabla }}{\varphi })}\cdot {\mathbf {a} }+\varphi ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {a} })$~.
4. ${\boldsymbol {\nabla }}\times {(\varphi \mathbf {a} )}={({\boldsymbol {\nabla }}{\varphi })}\times {\mathbf {a} }+\varphi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} })$~.
5. ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {({\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} })}={\mathbf {b} }\cdot {({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {a} })}-{\mathbf {a} }\cdot {({\boldsymbol {\nabla }}\times {\mathbf {b} })}$~.

格林-高斯散度定理

設 $\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,$ 是在邊界為 $\Gamma \,$ 的物體 $\Omega \,$ 上的連續可微向量場。散度定理 表明：

${\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {u} }~dV=\int _{\Gamma }{\mathbf {n} }\cdot {\mathbf {u} }~dA}$

其中 $\mathbf {n} \,$ 是表面向外的單位法向量（參見圖 5）。

在指標表示法中，

$\int _{\Omega }u_{i,i}~dV=\int _{\Gamma }n_{i}u_{i}~dA$

有關本章主題的更多資訊，請參閱華夏公益教科書上有關向量微積分 的微積分 頁面。