A-level 數學/OCR/FP1/多項式方程的根

在本模組中，我們將討論對稱多項式與其根之間特殊的關係。這種特性使得更容易找到對稱多項式的根或將因子相乘。

對稱多項式

在數學中，如果將原始多項式的根進行任意交換，多項式保持不變，則該多項式被認為是對稱的。例如，多項式 $8x^{3}+16x^{2}-22x-30$ 是對稱的，因為它的因式分解形式為 $(2x-3)(2x+2)(2x+5)$，如果交換根，得到的多項式將相同。但是，多項式 $4x^{3}+12x^{2}-7x-30$ 不是對稱的，因為它的因式分解形式為 $(2x-3)(x+2)(2x+5)$，如果交換根，得到的多項式將是 $4x^{3}+18x^{2}-16x-30$，如果交換 2 和 5 的位置。

二次多項式的根

如果我們需要找到給定二次函式的根，我們可以使用兩個公式來幫助我們找到二次方程的根。

令 $\alpha \,$ 和 $\beta \,$ 是 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的根。則，$\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\quad \alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

示例

求方程 $ax^{2}+bx-48\,$ 中 a 和 b 的值，已知 $\alpha +\beta =6\,$ 且 $\alpha \beta =-16\,$。

1. 首先，我們需要找到 a 和 b 的值。我們可以利用根與係數的關係來求解 a 和 b。
   1. $\alpha \beta =-16={\frac {-48}{a}}\,$ 從這個等式中我們可以得出 a = 3。
   2. $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{a}}\,$
2. 現在我們已經知道 a = 3，我們可以將第二個等式寫成

   $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{3}}\,$ 因此我們可以得出 b = -18。

3. 現在我們可以寫出完整的方程。

   $3x^{2}-18x-48\,$

三次方程的根

如果我們需要求解一個給定的三次函式的根，我們可以使用三個公式來幫助我們找到三次方程的根。

令 $\alpha ,\beta \,$ 和 $\gamma \,$ 為 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ 的根。那麼，$\sum \alpha =-{\frac {b}{a}},\quad \sum \alpha \beta ={\frac {c}{a}},\quad \alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}$

其中：$\sum \alpha =\alpha +\beta +\gamma$

以及：$\sum \alpha \beta =\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma$

示例

在這個例子中，我們考慮三次方程 $x^{3}+21x^{2}+cx+280=0$ 的特殊情況，其中 c 需要確定，並且我們知道它的 3 個根是 等差數列。因此，我們可以將根寫成 p，p + q，p - q 的形式。同時對等式進行因式分解。

1. 首先，我們要使用$\sum \alpha$來找到 p。

   $\sum \alpha =p+(p+q)+(p-q)=-{\frac {21}{1}}$

   $\sum \alpha =3p=-21$

   $p=-7\,$

2. 接下來，我們需要找到 q 的值。

   $-7(-7+q)(-7-q)=-{\frac {280}{1}}$

   $7q^{2}-343=-280\,$

   $7q^{2}=63\,$

   $q^{2}=9\,$

   $q=3\,$

3. 現在我們可以寫出我們的根。

   (-7 - 3),-7,(-7 + 3)

   -10,-7,-4

4. 現在我們可以找到 c。

   $\sum \alpha \beta =-7\times -4+-7\times -10+-10\times -4={\frac {c}{1}}$

   $138=c\,$

5. 完整的方程是$x^{3}+21x^{2}+138x+280=0$
6. 最後，我們寫出因式分解後的方程。
7. $(x+7)(x+4)(x+10)=0\,$

簡單根代換

如果您在一個多項式方程中將每個根增加 n，您可以透過將原始多項式方程中的每個 x 項替換為 (x - n) 來計算結果方程。這將導致二項式展開，所以請確保您對它很熟悉。

示例

假設三次方程 $x^{3}+x^{2}-22x-40=0\,$ 的根為 $\alpha \,,\beta \,$ 和 $\gamma \,$。求一個根為 $\alpha -2\,,\beta -2$ 和 $\gamma -2\,$ 的三次方程。

1. 如果 $x=\alpha -2$ 那麼 $\alpha =x+2$。由於 $\alpha$ 是原方程的根，你可以用 x + 2 替換每個 x 項

   $\left(x+2\right)^{3}+\left(x+2\right)^{2}-22\left(x+2\right)-40=0$

2. 使用 二項式展開，我們可以很容易地找到這些項。

   $\left(x^{3}+6x^{2}+12x+8\right)+\left(x^{2}+4x+4\right)-22\left(x+2\right)-40=0$

3. 最後，我們把所有的項合併起來，得到

1. $x^{3}+7x^{2}-6x-72\,$

這是 FP1（進階純數學 1）模組中 A 級數學 課本的一部分。