A-level 數學/OCR/C2/數列與級數

定義

數列 只是一個按特定順序排列的數字列表。我們稱這些數字為數列的項。例如，2、4、6、8 是正偶數數列的前四項。當我們對數列的項求和時，我們得到一個級數。例如，2+4+6+8+... 是一個級數。

我們用 $T_{n}$ 來表示數列中的項，其中 $n$ 是所討論項的序號。例如，在上面描述的數列中，我們有 $T_{1}=2$，$T_{2}=4$，$T_{3}=6$，等等。

定義 是一條規則，告訴我們如何計算數列中的每一項。例如，上面數列的規則是 $T_{n}=2n$。關係 描述了每一項與其他項之間的關係。例如，上面數列的關係是 $T_{n+1}=T_{n}+2$。

西格瑪 ($\Sigma$) 符號

正如你可能已經猜到的那樣，用一些項來描述一個級數並不總是好主意——如果使用的項太少，級數對你來說可能很模糊；另一方面，如果你寫出太多項，你可能會冒犯你的讀者！為了簡潔地表達一個級數，我們使用西格瑪 $(\Sigma )$ 符號。

一般來說，一個級數可以寫成$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)$，表示“從$f(k_{0})$ 開始到$f(N)$ 的所有項之和”。因此，

$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)=f(k_{0})+f(k_{0}+1)+f(k_{0}+2)+\cdots +f(N)$.

例如，級數 2+4+6+8+... 可以寫成 $\sum _{k=1}^{\infty }2k$.

識別簡單的級數

級數只是序列的另一個詞。在本模組中，您應該熟悉兩種非常常見的級數型別——等差級數和等比級數。

簡而言之，等差級數或AP是一個序列，其中每個連續項都是前一項與一個固定值的和。例如，AP 1,4,7,10,..., 其中連續項之間的差為 3。

等比級數或GP是一個序列，其中每個連續項都是前一項與一個固定值的積。例如，GP 2,4,8,16,32,..., 其中每一項都是前一項的兩倍。

等差級數 (AP)

等差級數 (AP) 是一個可以這樣寫的序列：$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ldots$，其中 $a,d$ 是常數。AP 中的第一個項 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，後續項之間的公差用 $d$ 表示。因此，級數 1,4,7,10,..., 是一個等差級數，其中 $a=1$ 且 $d=3$.

規則

公差 $d$ 可以透過 $d=T_{n}-T_{n-1}$ 計算，其中 $n=2,3,4,...$.

第 $n$ 項由 $T_{n}=a+(n-1)d$ 給出。

AP 的前 $n$ 項的總和（首項為 $T_{1}$，末項為 $T_{n}$）由 $S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$ 給出。

事實上，更一般地說，AP 中 $n$ 個連續項的總和由 ${\frac {\mathrm {number\,of\,terms} }{2}}(\mathrm {first\,term} +\mathrm {last\,term} )$ 給出。

示例

偶數 2、4、6、8、...、100 的總和是多少？

給定的序列可以表示為一個 AP，其中 $T_{1}=a=2$，$d=2$。我們想要這個 AP 的前 50 項的總和

$S_{50}={\frac {50}{2}}(2+100)={\frac {50}{2}}\left(2(2)+(50-1)2\right)=2550$.

等比數列 (GP)

等比數列 (GP) 是一個可以按以下方式寫出的數列：$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots$，其中 $a,r$ 是常數。GP 中的第一個項 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，相鄰項之間的公比用 $r$ 表示。

規則

公比 $r$ 可以透過 $r={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$ 計算，其中 $n=2,3,4,...$.

第 $n$ 項由 $T_{n}=ar^{n-1}$ 給出。

GP 前 $n$ 項的和由 $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 給出。

證明如下

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}$

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

無窮等比數列的和

我們說等比級數 $\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots$ 是收斂的，如果無窮和 $S_{\infty }$ 趨於某個極限。這發生在 $|r|<1$ 時。因此，如果 $|r|<1$，那麼

$S_{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$.

證明如下

$S_{\infty }=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$

$rS_{\infty }=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$

$S_{\infty }-rS_{\infty }=a$

$S_{\infty }(1-r)=a$

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

二項式表示式

二項式是具有兩個部分的多項式，形式為 $(a+b)$，例如 $(x+1)$。當二項式被提升到冪時，您可以透過多次將括號相乘來簡化它。展開的多項式稱為二項式展開式，所有二項式展開式都遵循一個模式，該模式可用於比展開多個括號更快地展開二項式。目前，我們只關注被提升到正整數的二項式表示式。

展開 $(x+1)$

以下是 $x+1$ 提升到不同冪的展開式。

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

如果你仔細觀察每一項的係數，你可能會注意到一個規律。這些數字被稱為 **二項式係數**，可以透過將它上面的兩個數字相加得到。

帕斯卡三角形

二項式係數更常被稱為 **帕斯卡三角形**，以 布萊斯·帕斯卡 的名字命名。

以下列出 帕斯卡三角形 的前 10 行

                                       (1)
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

由於每個數字都是由它上面兩個數字相加得到的，因此可以找到三角形的幾行來幫助你展開二項式。對於冪次大於 10 的二項式，你應該使用二項式係數公式。

二項式係數公式

當二項式被提升到一個較大的冪次時，透過寫出帕斯卡三角形來找到二項式係數可能太耗時了。幸運的是，有一個公式可以找到帕斯卡三角形的任意一行。

如果 $n$ 是展開式的冪次，並且 $r$ 是單行中項的編號，則二項式係數公式為

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

符號 $!$ 表示 **階乘**，它將 $n$ 乘以小於它的每一個整數，一直乘到 1。

因此 $3!=3\times 2\times 1=6$.

要查詢二項式係數，可以使用公式，其中包含所需的值 $n$ 以及 $r=0$，$r=1$，$r=2$ 等，直到 $r=n$。

大多數科學計算器會有兩個按鈕在這一過程中非常有用，一個是階乘按鈕，通常標為 n!，另一個實際上會找到 ${n \choose r}$ 並且通常標為 nCr 或 $C_{r}^{n}$。（C 代表“選擇”或“組合”，這基於公式在機率中的使用。）

您應該知道帕斯卡三角形是對稱的，因此一旦係數重複，您就可以輕鬆地寫下其餘的係數。

擴充套件二項式

現在您已經知道如何在二項式展開中找到係數，您可以透過遵循以下簡單步驟輕鬆展開任何提高到正整數的二項式。

對於形式為 $(a+b)^{n}$ 的二項式，

1. 寫下 $a$ 的降冪，從 $n$ 到 $0$
2. 寫下 $b$ 的升冪，從 $0$ 到 $n$，確保您放置的項使冪加起來為 $n$
3. 將二項式係數加到每個項，可以從帕斯卡三角形中的第 $n$ 行（忽略頂部的 1），或者使用二項式係數公式。

然後您在必要時進行簡化。

例如，對於 $(x+2)^{4}$ 的擴充套件

$x$ 按降序排列：$x^{4}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{1}$ $+$ $x^{0}$

$2$ 按升序排列：$2^{0}$ $+$ $2^{1}$ $+$ $2^{2}$ $+$ $2^{3}$ $+$ $2^{4}$

將所有項組合在一起，我們得到

$x^{4}$$2^{0}$ $+$ $x^{3}$$2^{1}$ $+$ $x^{2}$$2^{2}$ $+$ $x^{1}$$2^{3}$ $+$ $x^{0}$$2^{4}$

新增二項式係數

$1x^{4}$$2^{0}$ $+$ $4x^{3}$$2^{1}$ $+$ $6x^{2}$$2^{2}$ $+$ $4x^{1}$$2^{3}$ $+$ $1x^{0}$$2^{4}$

最後簡化將得到

$x^{4}$ $+$ $8x^{3}$ $+$ $24x^{2}$ $+$ $32x^{1}$ $+$ $16 $

這個過程總結在稱為二項式定理的方程中

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

如果您不熟悉西格瑪符號，那麼它表示

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

可以進行一些簡化，但不需要刻意記憶，因為你會在使用過程中自然而然地理解它們：$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

這是C2（核心數學2）模組中A-level數學文字的一部分。

多項式除法和因式分解 / 數列與級數 / 對數和指數 / 圓和角 / 積分

附錄 A：公式