CLEP 代數/代數運算

加法、減法、乘法、除法、求冪、有理化、簡化等等。如果你知道這四個術語中的四個，你很可能已經理解了前四個的定義。這是因為你很可能在小學時期就接受過非常好的訓練，可以理解前四個術語。其中一些只是這些想法的擴充套件。

然而，任何一本好的代數教科書都會涵蓋基本的代數運算和數字的性質。這是因為數學僅僅是規則，即你從一組基本規則開始，以便你可以操作和 *簡化* — 轉換為最簡潔的形式 — 任何 *表示式* — 使用兩個基本運算之一（加法和乘法）組合的符號的書面形式。為了確保你不會感到困惑，這裡舉一個例子

示例 0.1.a: 操作此表示式: $20+10-5$. 代數從來沒有如此簡單。這個問題來自二年級的課堂。事實上，你們中的許多人可能可以在腦海中計算出這個答案（給定簡單的數字）。然而，當你看到這個表示式時，你是否覺得奇怪，你知道你需要做什麼？你把10加到20上。然後，你從這個和中減去5 $10+20-5$ $=30-5$ $=25$ 事實上，你已經被洗腦了，被條件反射地遵循這些規則。我們想知道有多少人會想到這樣操作 $10+20+(-5)$ $=10+(-5)+20$ $=\left[10+(-5)\right]+20$ $=5+20$ $=25$

很明顯，你得到了相同的答案。但為什麼呢？這就是本書本章試圖解釋的內容。

實數的基本運算

實數簡介

除了這個問題之外，還有一個問題：“什麼是實數？”在我們得到這個定義之前，我們需要回顧一下我們從小學開始學習的所有系統。

首先是 **自然數** — 計數數或在計數集合中的專案時使用的數字，不包括零。然後，引入零以及自然數，就給出了 *正* 整數的完整定義。似乎一切都很正常，直到你瞭解 *負* 整數 $\left\{-1,\,-2,\,-3\,\ldots \right\}$。整數的完整集合包括正整數和負整數。

奇怪的事情真正開始出現的地方就在這裡。注意，我們還沒有談論分數，直到現在。其中分數 ${\frac {m}{n}}$，其中 $m$ 可被 $n$ 整除或不可被整除，被認為是有理數。**有理數** 僅僅是兩個數字的 *比率*。相反，**無理數** 是不能用兩個數字的比率精確表示的數字。稍後，在介紹之後，你將看到無理性的一個證明。然而，為了理解這個證明，需要對代數和實數有透徹的瞭解。你以後就能做到這一點。

然而，有理數有一些限制，其中一些是情景性的，另一些則不是，由此，該數字要麼是整數，要麼導致一個未定義的數字。除了分子可以被分母整除之外，還適用以下限制

• 分母要麼是$\mathbf {-1}$ 要麼是$\mathbf {1}$，當分子是整數時。 這是一個所有人都應該知道的事實：將任何整數除以$1$，結果還是相同的整數。除以負數會得到一個負數。除以$-1$，假設分子是整數，你會得到分子的負數。無論哪種情況，只要分子是整數，除以$1$ 或者$-1$，結果都是整數。
• 分母是$\mathbf {0}$，對於任何有理數分子$\mathbf {m}$。 對於任何有理數分子$m$，除以零永遠不是一件好事（在“現實”世界中）。我們將在第一節之後討論為什麼。現在，請記住，這根本無法用我們將在本章中討論的數字來定義。
• 分子是$\mathbf {0}$，當有理數分母$\mathbf {n\neq 0}$。 與上面一點類似，這個小事實將在第 1 節之後得到嚴格的證明。

大多數教科書將有理數定義為兩個整數的商，我們也不例外。因此，在我們將${\frac {0.5}{0.25}}$ 變成兩個整數的商之前，我們不能說它不是整數：以下是解決這個問題的方法

例 1.1.a：確定以下商是否為整數 $${\frac {0.5}{0.25}}$$ 你們中的大多數人可能已經知道${\frac {1}{2}}=0.5$ 以及${\frac {1}{4}}=0.25$。因此，讓我們將其轉換為這種形式 $${\frac {0.5}{0.25}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{4}}}.$$ 將一個分數除以另一個分數可以用相同的方式表達如下 $${\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{4}}}={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{4}}.$$ 從這裡開始，大多數學生都知道該怎麼做：${\text{K}}$eep the first fraction the same，${\color {Red}{\text{C}}}$hange the division to multiplication， and ${\color {Green}{\text{F}}}$lip the second fraction (take the reciprocal). $${\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}{\color {Red}\times }{\color {Green}{\frac {4}{1}}}$$ 從這裡開始，將兩個分數相乘（將上面的數字相乘，下面的數字也相乘）得到： $${\frac {1}{2}}\times {\frac {4}{1}}={\frac {4}{2}}=2$$ 數字$2$屬於整數集，因此，由於它是商的結果，${\frac {0.5}{0.25}}$也屬於整數集。 $\blacksquare$

注意：如果你沒有見過$\blacksquare$，它是“Quod Erot Demonstrandum”的簡寫，從拉丁語字面上翻譯過來就是“已經證明的東西”。這僅僅是數學家們用於表示“我們已經完成了所有證明，沒有留下任何未完成的任務”的程式碼語言。

實數包含我們在本節中討論的所有集合。這意味著它包含整數、有理數和無理數。左側的影像表示了目前你學習中會用到的集合。

注意用來表示特定集合的符號。

• 整數：$\mathbb {Z}$。新增正或負上標（例如，正上標$\mathbb {Z} ^{+}$）表示正整數或負整數。Z來自ganze Zahlen，字面意思是“整數”。
• 有理數：$\mathbb {Q}$，表示“商”。
• 實數：$\mathbb {R}$.

關於符號的快速說明: 通常，數學家想知道他們正在使用的變數型別。在 CLEP 考試中，明確說明了在特定問題中使用的變數除非另有說明，否則為實數，如下所示：“除非另有說明，否則任何函式的定義域假定為所有實數的集合，其中是實數。” 在符號術語中，“屬於集合” 由 $\in$ 表示。因此，給定 $\mathbb {R}$ 代表實數，您可以定義 $x$ 使得 $x\in \mathbb {R}$。此符號在考試中不需要；但是，在處理問題時，它可能有助於快速解決問題。為了確保您完全理解哪些數字屬於哪個，讓我們看一個例子

示例 1.1.b: 將以下每個數確定為整數或有理數 (a)$-1.597$ (b)$-10$ (c)${\frac {8}{2}}$ (d)${\frac {5}{4}}$ (a) 首先，問一下，$-1.597$ 是整數嗎？嗯，如果你除以兩個整數卻突然得到小數點以外的東西，那麼它就不是整數，根據定義就成為有理數。由於該數字不是整數，並且該數字構成小數，那麼它一定是兩個數字相除的結果，從而形成了一個商：${\frac {a}{b}}=-1.597$。我們已經充分證明了這個數字是有理數（儘管不是嚴格的）：$-1.597\in \mathbb {Q}$。 (b) $-10$ 沒有小數，可以寫成 ${\frac {a}{1}}=a$ 的形式。這必須是整數：$-10\in \mathbb {Z}$。 (c) 僅僅因為它是有理數並不自動使其成為有理數。記住，如果 $2$ 可以除以 $m$，即分數的分子，它會自動使其成為整數。請注意，我們不是說分母對分子有因子，或者分母可以整除分子。相反，您可以輕鬆地用分母除以分子。這就是它必須是整數的原因：${\frac {8}{2}}\in \mathbb {Z}$。 (d) 因為 “4” 不能輕鬆地除以分子 “5”，所以該分數是有理數：${\frac {5}{4}}\in \mathbb {Q}$。

當然，上面每個例子都被定義為實數和有理數。無論如何，重要的是要理解何時一個限定條件會限制對變數的定義能力。很多時候，限制條件是公開的，這樣就不會有人對數字可以或不可以是什麼感到困惑。

現在輪到您嘗試了。這個 WikiBooks 使用探索來幫助鞏固概念，並挑戰讀者像數學家一樣思考。數學中的問題並不總是簡單的，有時，數學家需要將研究結果推廣到每個人，使其在抽象和具體方面都適用。不過，現在輪到你了，所以試試看。

探索 1-1: 假設存在一個數 $x\in \mathbb {Z}$，它滿足以下條件。確定以下條件 (a)-(c) 中的每一個是否屬於有理數集 $\mathbb {Q}$ 或整數集 $\mathbb {Z}$。使用最具體的答案。

(a) ${\tfrac {x}{1}}$
(b) ${\tfrac {x}{y}}$，其中 $y\in \mathbb {Q}$

(c) ${\tfrac {1}{x}}$

(a) 因為 $x\in \mathbb {Z}$，任何數除以 1 都會等於它本身，因此 ${\frac {x}{1}}\in \mathbb {Z}$.

(b) 目前，我們無法確定 ${\frac {x}{y}}$ 是否屬於有理數集，直到我們確保 $y\notin \mathbb {Q}$。因為 $y\in \mathbb {Q}$，設 $y={\frac {a}{b}}$，其中 $a\in \mathbb {Z}$ 且 $b\in \mathbb {Z}$。假設 ${\frac {a}{b}}$ 是 **互質** 的，這意味著 $a\nmid b$ ($a$ 不能整除 $b$)。知道 $y={\frac {a}{b}}$，以下為真
$${\dfrac {x}{\dfrac {a}{b}}}$$
將分數簡化為${\frac {a}{b}}$的形式，得到${\frac {b\cdot x}{a}}$。這種情況有兩種情況。

情況 1：$a\nmid x$，這意味著${\frac {b\cdot x}{a}}=b\cdot {\frac {x}{a}}\in \mathbb {Q}$。

情況 2：$a\mid x$。知道${\frac {b\cdot x}{a}}=b\cdot {\frac {x}{a}}$，設${\frac {x}{a}}=F$，其中$F\in \mathbb {Z}$。因為$F\in \mathbb {Z}$，$b\cdot F\in \mathbb {Z}$。

如果情況 1成立，那麼${\frac {x}{y}}\in \mathbb {Q}$。鑑於這是一種可能性，${\frac {x}{y}}\in \mathbb {Q}$。如果情況 2 成立，那麼分數的這個定義仍然成立，因為$\mathbb {Z}$是$\mathbb {Q}$的子集。因為這個問題要求最具體的答案，所以這是可以給出的最佳答案。

(c) 因為 $1\in \mathbb {Z}$ 且 $x\in \mathbb {Z}$，${\frac {1}{x}}\in \mathbb {Q}$，假設 $x\nmid 1$。

現在我們已經全面地向讀者介紹了實數領域，現在是時候去探究它的性質了。

實數的最基本定義

回顧本章的引言，我們提到了數學的一個基本原理

數學就是規則，你從一組基本規則開始，這樣你就可以操作和 *簡化* … 任何 *表示式* — 一種使用 *兩個* 基本運算（加法和乘法）之一的組合符號的書面形式。

為什麼只有兩個基本運算？畢竟還有減法和除法！然而，請注意我們在 **示例 1.1.a** 中所做的事情。表示式中“5”前面有一個減號，但有一個方法可以重寫表示式：$10+20-5=10+20+(-5)$。我們段首的疑問現在似乎有了意義。 *我們定義了這些運算*。如果我們說只有兩個基本運算，那麼事實就是如此。減法和除法被稱為 **逆運算**，因為它們與加法和乘法相同，唯一的區別是符號。為了表示這一點，我們將使用 **變數**，它們是表示一個數字的符號，可以輸入該數字，只要滿足任何存在的限制。如果你在代數 I 和 II 中從未習慣這個概念，我們將慢慢地介紹它們。現在，習慣這些符號只是表示一個可能的實數的想法。

• **加法逆定義**: $a-b$ 在本質上等同於 $a+(-b)$。
• **乘法逆定義**: ${\frac {a}{b}}$ 在本質上等同於 $a\cdot {\frac {1}{b}}$，其中 $b\neq 0$。

由於上面的符號是變數，並且上面的運算根據定義為真，因此可以輸入任何數字。一個例子應該有助於在你的腦海中鞏固這些定義。在下表中，分別在各自的列中給出輸入 $a$ 和 $b$。給出 $a-b$ 和 $a+(-b)$ 的輸出。請注意，$a-b$ 和 $a+(-b)$ 是相同的。

$${\begin{array}{|c|c|}a&b&a-b&a+(-b)\\\hline 1&3&1-3=-2&1+(-3)=-2\\\hline 3&4&3-4=-1&3+(-4)=-1\\\hline 5&5&5-5=0&5+(-5)=0\\\hline 7&6&7-6=1&7+(-6)=1\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline 2a+1&b+3&2a+1-(b+3)&2a+\left(-\left[b+3\right]\right)\end{array}}\!$$

此表可幫助不熟悉變數運算的學生直觀地理解其含義。請注意，最後一行是一個“規則”，它給出了數字的模式。最後，在繼續之前，還需要建立最後一個定義。

乘法逆元的另一個定義

如果給定表示式 ${\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}$，則項 ${\frac {1}{b}}=b^{-1}$。

上述文字只是說 $b^{-1}$ 與 ${\frac {1}{b}}$ 是同一個東西。例如，$8^{-1}={\frac {1}{8}}$。現在您已經瞭解了實數最基本的定義，我們可以繼續從我們的定義中推匯出新的資訊。

實數的閉門政策

讓我們回到整數集。如果我們新增任何兩個整數，$p+q$，您將得到一個整數作為結果。類似地，將任何兩個整數相乘，$p\cdot q$，會得到另一個整數。但是，如果您將兩個不同的整數相除，${\frac {p}{q}}=p\cdot q^{-1}$，您將不會始終得到一個整數。例如，${\frac {3}{4}}=0.75$，這不是一個整數。我們會說以下說法是正確的

在加法、減法和乘法下，整數集是封閉的。

封閉的意思是，使用該特定運算的整數集將始終給出另一個整數。與整數類似，實數也是封閉的。以下定義告訴我們最常見的形式

實數的封閉運算

在加法、減法、乘法和除法運算下（不包括分母為0的情況），對任何實數使用該運算都是封閉的。

這是一個簡單的但強大的工具，可以記住數學詞彙表。事實上，這個事實非常基本，以至於它可以用來證明一個數字是或不是整數、有理數或實數。要證明一個數字是否屬於一個給定的集合，您必須證明它可以使用這些規則屬於或不屬於該集合。我們定義了這些操作，因此您必須證明一個數字在這些公理（定義）下沒有定義。

這個想法是數學證明的關鍵，所以我們最好現在就介紹這個概念。此外，證明一個數字是整數是數論中一個非常重要的概念。你以為你對整數了如指掌？嘗試數論（在你儘可能多地學習代數之後）來發現你錯了多少！

實數定律（在等式下）

數字是一個社會。它們遵循由統治者制定的規則。在這種情況下，統治者是人類。我們沒有發現“4”，我們只是說有4件事。數字是形容詞，而不是名詞，因此根據定義，它們不能被發現。因此，到目前為止我們談論的一切都只是定義。請記住，有些東西是我們在做出定義的延伸。但是，人類使用這些定義已經很長時間了，因此我們能夠“發現”關於數學的新事實。我們將在第二部分看到這些發現。但是，現在讓我們定義一下人類幾百年來一直在使用的規則！

加法結合律

對於所有實數 $a$，$b$ 和 $c$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。也就是說，實數的加法分組不影響總和。

事實證明，證明這一點比基本的代數運算要複雜得多。不幸的是，對於好奇的學生來說，很難簡單地解釋這些。如果你想證明它們是正確的，你需要學習抽象代數。實際上，以下三個定義不能用代數或幾何簡單地證明（或至少展示），所以現在簡單地接受它們為真。

加法交換律

對於所有實數 $a$ 和 $b$，$a+b=b+a$。也就是說，加法的順序不影響結果。

乘法結合律

對於所有實數 $a$，$b$ 和 $c$，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。也就是說，三個數相乘的括號分組不影響積。

乘法交換律

對於所有實數 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=b\cdot a$.

分配律

對於所有實數 $a$，$b$ 和 $c$，$c\cdot (a+b)=c(a+b)=a\cdot c+b\cdot c=ac+bc$.

在本教材中，我們會將所有可以展示的證明列在下面的綠色框中。希望這能使後面的示例更容易被學生理解（因為本教材的很大一部分是幫助學生看到數學不是關於記憶，而是關於發現）。此外，對於那些對證明不感興趣的學生（儘管他們應該感興趣），可以跳過這一部分。但是，我們不建議這樣做，除非你只是想記住事實，這可能不會讓數學對你來說變得有趣。s

證明 1：對於任何正實數 $a,b,c$，分配律成立。 證明乘法交換律需要一點幾何知識。矩形 $ABCD$ 的尺寸為 $c\cdot m$。在 ${\overline {AC}}=m$ 線段上某一點 $P$ 作高（即在 ${\overline {AC}}$ 線段上任意位置作垂線）。設 $m=a+b$。這裡，${\overline {AP}}=a$ 以及 ${\overline {PC}}=b$。請參見左側影像以供參考。 根據面積的定義，長乘以寬等於矩形中單位正方形的數量。整個矩形的面積為 $cm=c\left(a+b\right)$。作一條平行於矩形兩邊的垂直高線，則 ${\overline {PQ}}=c$。因此，兩條線段的面積之和必須等於整個矩形的面積。所以，$ac+bc=c\left(a+b\right)$。這就使分配律對任何 $a>0$，$b>0$ 以及 $c>0$ 成立。 $\blacksquare$ 請注意，這個證明需要另一個定義，即矩形的面積。很難找到一個不涉及任何定義的證明。也許這是不可能的。另外，請注意，我們無法證明這種情況對所有實數都成立。要做到這一點，我們需要找到一種方法來表示給定的距離為負數。我們可以在以後學習圖表時做到這一點。

現在，我們將接受分配律對所有實數都成立。

在我們繼續之前，還有兩個屬性需要定義。請注意它們位於不同的部分。這樣做是有原因的，正如您將在零因子性質和恆等元素中看到的那樣。

零因子性質

對於所有實數 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=0$ 當且僅當 $a=0$ 或 $b=0$ 或 $a=0$ 且 $b=0$。換句話說，對於所有實數 $a$ 和 $b$，$a\cdot b=0$ 當且僅當至少有一個因子為零。

假設我們發現以下等式為真

$(x-5)\cdot \left({\cfrac {{\dfrac {x+1}{4}}-{\dfrac {3}{2}}}{5}}\right)=0$

撇開這個看起來很嚇人的等式，用一些基本的邏輯，答案就很容易找到。為了使該表示式為真，要麼 $x-5=0$，要麼 ${\cfrac {{\dfrac {x+1}{4}}-{\dfrac {3}{2}}}{5}}=0$，或者兩者都成立。如果至少有一個因子為零，那麼該表示式將始終為零。這只是我們人類多年來一直在使用的數學定義。如果你想解這樣一個方程，請等待。如果你已經可以，請繼續。否則，請繼續閱讀。

單位元

對於所有實數 $a$，以下始終為真

• $a+0=a$。當加 $a$ 和 $0$ 時，你得到相同的實數 $a$。
• $1\cdot a=a$。當乘以 $a$ 乘以 $1$ 時，你會得到相同的實數 $a$。

當您聽到“身份”時，您會想到一個人的名字。然而，在數學中，身份僅僅意味著一個不改變另一個數字的數字。什麼數字能讓這個成立？讓我們用一些基本的邏輯來弄清楚這一點。

• 加到另一個數字上，結果還是同一個數字，這個數字是什麼？如果結果沒有變化，那麼邏輯上意味著差值是零，因為如果絕對沒有變化，那麼總體輸出與初始輸入之間的差值就是零。因此，對於任何實數 $a$，單位元必須是 $a-a$，或 $0$。
• 乘以另一個數字，結果還是同一個數字，這個數字是什麼？我們可以用完全相同的邏輯找到我們要找的數字。如果我們在對一個結果進行乘法運算，我們需要某種方法來找到乘法運算時的總體變化。在這種情況下，除法將起作用。排除 $a=0$ 從實數中，${\frac {a}{a}}=1$。我們可以說將 $a=0$ 乘以 1 會得到同一個數字嗎？是的，$0\cdot 1=0$，所以單位元對於所有實數都是成立的。

傳遞性質

如果對於實數 $a$，$b$，和 $c$，$a=b$，和 $b=c$，那麼 $a=c$。

這僅僅是定義上的真理。例如，如果 $2+2=4$，和 $2\cdot 2=4$，那麼 $2+2=2\cdot 2$。

檢查您的理解

測試你的知識，看看你是否真的理解，這總是一個好主意。然而，當你無法想到任何問題時，自我測試往往很困難。因此，這裡有一些問題，與你學到的所有知識相關。

A 部分

說明：在不使用計算器的情況下，在 1 分鐘 30 秒內找到一種方法來計算下面的表示式。對於每個“文字框”，寫下使值成立的數字。不要在方框中寫逗號，因為它們會被解釋為小數。

正確答案加 1 分
錯誤答案得分
忽略問題係數

1

$15\cdot 30\cdot 2=$

2

$17\cdot \left({\frac {1+2+3+4}{2}}\right)\cdot 800=$

3

$200-110+100-300+400+200=$

4

${\dfrac {17}{4+{\dfrac {1}{4}}}}=$

B 部分

說明：在不使用計算器的情況下，在 2 分鐘內回答下面每個問題。

正確答案加 1 分
錯誤答案得分
忽略問題係數

確定右邊這些數字是整數還是有理數。選擇最具體的答案。

$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$
		${\frac {1}{2}}$
		${\frac {150}{2}}$
		${\frac {155}{2}}$
		${\dfrac {\frac {150}{2}}{\frac {1}{4}}}$
		${\dfrac {\frac {250}{100}}{\frac {1}{4}}}$
		${\dfrac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}}$
		${\dfrac {\frac {4}{5}}{\frac {2}{10}}}$
		${\dfrac {\frac {4}{5}}{\frac {2}{15}}}$
		${\tfrac {\frac {1}{10}}{\frac {1}{2}}}$
		${\dfrac {\frac {155}{2}}{\frac {7}{2}}}$

稍後將新增更多內容

代數入門

你可能已經看到了理解檢查中要求的代數部分，並且可能想放棄。 "數學到底什麼時候引入了字母；它已經夠難了！" 好吧，你不必擔心，因為一旦你理解了它背後的核心原理，它就很容易了（也就是說，直到你開始學習現代[抽象]代數）。下面概述了最基本的規則之一。

方程的現實

當給定一個**方程**時——表示式被設定為相等或不等——兩邊必須相等，或者至少一個表示式小於或大於另一個。

是$2+2=4$嗎？是的，它是。我們知道這個運算必須是一個方程，因為它與它的陳述相符，即兩件事加上兩件事等於四件事。但是，當你引入*變數*——給方程引入變化來源的物件時會發生什麼。如果一邊等於另一邊，則感興趣的變數必須等於某個表示式，以便它與其他變數或非變數一起運算，使其等於另一邊。看下面的例子，瞭解我們的意思。

$5T+2=17$

的值$T$必須等於某個常數才能使上述方程成立；否則，表示式不能相等。如果用一句話來說，上面的方程要求我們“找到使它成立的值$T$，使得將它乘以 5 再加上 2 等於 17”。在數學的早期，這類問題往往以這種方式提出。代數使這些問題更容易解決（無論是陳述還是評估）。在本節中，我們將討論如何解一元一次方程和多元一次方程。然後，我們將確定如何在給定方程組的情況下找到變數的值。

簡化複雜事物

然而，在我們進行這些有趣的操作之前，學生必須掌握方程的結構。學生學習的第一個概念是“項”。

項

**項**是一個單一的數學表示式，它要麼是一個單一的數字（一個*常數*），要麼是一個單一的變數，要麼是相乘的變數，要麼是常數乘以變數，每個項之間用加號（$+$）或分數符號（$/$）隔開。

例如，看下面的表示式：$14l+16w$。根據上述定義，它有兩個項：$14l$和$16w$。 $14l$是一個變數乘以一個常數，這與$16w$類似。這兩個項用加號隔開。組合項構成表示式。方程是兩個表示式的相等或不等關係。這構成了方程和表示式的基本結構。然而，有時表示式中的項比需要的多。在這種情況下，需要**簡化**方程或表示式。

簡化方程或簡化表示式

**簡化方程**（或**表示式**）是指“同類項”被壓縮併合並，但不會非法改變方程的相等或不等關係。

在我們繼續完善上述定義（例如，什麼是“同類項”？）之前，重要的是要了解一個示例。下面提供了一些未被簡化的方程或表示式。

• $1+2+3+4+5$
• ${\frac {1}{3}}(3x+4x)+4y=30$
• $2xy+8yx+10y-10x=20$
• $2^{16}+2^{16}+2^{16}+2^{16}+2^{8}+2^{8}+2^{8}+2^{8}-2^{10}$

以下要點對應於上面等效的未簡化表示式，按給定的順序排列。

• $15$
• ${\tfrac {7}{3}}x+4y=30$
• $xy+y-x=2$
• $2^{18}$

在數學問題中，簡化通常是你的目標，這在大學代數中尤其重要，因為簡化的過程是找到使方程成立的感興趣變數的唯一值的本質。儘管簡化方程的操作非常簡單，但學生可能會犯一些常見的錯誤，因為沒有對“同類項”的明確定義。在學習同類項之前，正確理解這個概念非常重要。因此，以下提供了定義和示例。

同類項

同類項是指兩個項，它們要麼是常數，要麼具有相同的變數，且具有相同的指數（表示一個項乘以同一個數的次數的值）。

以上定義是比較好的定義之一；但是，對於學生來說，它可能有點令人困惑。因此，需要進行探索。想象一下下面的表示式：$$2x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}-x^{3}+5x^{2}+10-100-10$$

上面的表示式非常混亂，所以讓我們看看是否可以簡化上面的表示式。首先，讓我們尋找包含相同變數和指數的項。那些“相似”的項將以其對應的顏色突出顯示。$${\color {Red}2x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}{\color {Red}-x^{3}}+5x^{2}+{\color {blue}10-100-10}$$

注意負數是如何被高亮的。這是因為它是用加號分開的，對於 $a-b=a+(-b)$。因此，它們是不同的項。注意 $3x^{2}y$ 和 $5x^{2}$ 是“不同”的項。這是因為 $5x^{2}$ 缺少變數 $y$。因為它們沒有相同的變數，所以這兩個是不同項。下一步將是像這樣改寫上面的等式：$$={\color {Red}2x^{3}}{\color {Red}-x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}+5x^{2}+{\color {blue}10-100-10}$$

為了合併上面的項，只需合併常數值或對應於同類項的常數值。這是因為這些常數值旁邊的相應常數值可以被分解。例如，$2{\color {green}x}-5{\color {green}x}=(2-5){\color {green}x}=-3x$，其中變數 $x$ 乘以相應的常數值。根據這個性質，合併同類項的概念是有道理的。

只要乘以常數的變數完全相同，其中每個變數及其指數值都相同，那麼這兩個項就可以合併，因為分解允許將相應的常數相加。

這是分解背後的最重要的原則，它應該足夠嚴格，以至於任何數學家（和學生）都可以同意“同類項”的定義是有意義的。夠了，現在該完成我們提出的問題了。保留同類項的顏色，我們得到：$$={\color {Red}x^{3}}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}+5x^{2}{\color {blue}-100}$$

上面的答案是上面表示式可用的最簡形式。請記住，最簡形式有點主觀，它取決於問題要問什麼，因此沒有真正的明確方法來確定“最簡形式”。我們能做的最好的就是推斷這種形式是否是最容易使用的形式。對於上面的表示式，可能是這種情況，這可能不是最簡單的，但這是由於符號（我們將在 二項式定理 中更詳細地介紹）。如果您好奇地想知道最簡單的形式，雖然您可能現在還不理解，但它是：$$=\sum _{k=0}^{3}\left({\binom {3}{k}}x^{k}y^{3-k}\right)+5\left(x-2{\sqrt {5}}\right)\left(x+2{\sqrt {5}}\right)$$

關於簡化方程的另一件事是需要提醒一下。給出了一個表示式，一些學生得到了不同的答案。您的工作是確定誰是正確的（是的，這些都是您的探索）。

探索 2-1: Amelia、Brady、Caroline、David 和 Emelie 想確定下面等式的最簡形式

$$-2xy+4yx-10y+4x-9$$
但是，每個人都得到了不同的答案。確定哪個人得到了正確的答案，並解釋您的選擇。
(A) $-9$
(B) $6xy+4x-10y-9$
(C) $-2xy+4yx-10y+4x-9$
(D) $-2xy-2yx-9$

(E) $2xy+4x-10y-9$

(E) 根據乘法的交換律，$ab=ba$，所以如果$a=x$和$b=y$，那麼$xy=yx$。因此，$-2xy+4yx=-2xy+4xy$，因此它們是同類項可以合併。將兩個常數係數合併到它們對應的變數上，得到 $2xy$（注意$xy$前面的負號）。合併所有同類項，得到

$$2xy+4x-10y-9.$$

或者，您可能已經注意到定義中說：“同類項是指兩個要麼是常數，要麼是*具有相同變數和相同指數*的項”（強調部分）。因為$-2xy+4yx$具有相同的變數，$x$和$y$，這兩個可以合併。由於其他變數沒有相同的情況，因此唯一正確的答案是 (E)。

如果您能理解上述探索，您基本上理解了簡化方程的思想，也許還理解了乘法的結合律。無論如何，如果您答對了，恭喜您。

探索 2-2：Avery、Barron、Christine、Daryl 和 Ezekiel 想確定以下方程的最簡形式

$$x^{2}+3x-5-2(4x+5)$$

但是，每個人都得到了不同的答案。確定哪個人得到了正確的答案，並解釋您的選擇。
(A) $x^{2}-5x+5$
(B) $x^{2}-5x-15$
(C) $x^{2}-5x$
(D) $x^{2}-5x-10$

(E) $x^{2}+11x+5$

(B) 根據乘法分配律，$c(a+b)=ac+bc$，所以如果 $a=4x$，$b=5$，以及 $c=-2$，那麼

${\begin{aligned}-2(4x+5)&=(-2)(4)+(-2)(5)\\&=-8x-10\\\end{aligned}}$.

因此，$x^{2}+3x-5-8x-10$ 是結果。合併所有“同類項”，得到

$$x^{2}-5x-15.$$

上述探索可能就是 CLEP 考試試圖用這種方式誘導你選擇錯誤答案。因為每個選項可能是學生在嘗試簡化表示式時會犯的常見錯誤。這些通常是考試的第一道題，所以最好不要因為像沒有將負 4 分配給所有項或忘記第一個負數之類的尷尬錯誤而做錯。

在方程中解一個變數

這裡我們將深入的細節可能顯得過多。但是，這種放大對於解釋為什麼我們確信某些東西以它們的方式工作是必要的。此外，一些學生欣賞他們可能會問的問題的答案。因此，請耐心等待，我們將徹底拆解這些簡單問題。作為另一個好處，你將比目前在大學上代數課的學生更瞭解代數，所以你應該把這看作是一種福氣。這種福氣體現在以下這條涵蓋性原則中：

對於包含變數的方程，該變數只有在反向運算時才是正確的。也就是說，使用逆運算，另一邊的運算現在被轉移到另一邊，沒有變數。

這個基本屬性使我們能夠解方程。畢竟，由於兩邊都以相同的值改變，因此等號之間不應有差異。這給了我們以下基本定義：

加法等式性質

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，並且 $a=b$，那麼

$a+c=b+c$

減法等式性質

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，並且 $a=b$，那麼

$a-c=b-c$

乘法等式性質

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，並且 $a=b$，那麼

$ac=bc$

除法等式性質

如果$a,b,c\in \mathbb {R}$，並且 $a=b$，那麼

${\frac {a}{c}}={\frac {b}{c}}$

以上這些性質，以及上一節列出的實數性質，在嘗試解方程時將非常有用。在接下來的示例中，我們將在進行這些操作時說明這些性質。因此，瞭解我們如何呈現我們的工作並將該風格融入你的探索工作中是一個好主意。儘管這可能是一項選擇題測試，但如果學生繼續學習更高數學，那麼瞭解如何進行數學交流，尤其是在紙上，就非常重要。

定義：隔離變數

將目標變數**隔離**的過程是這樣的：在等式的一側，目標變數沒有任何常數加減或乘除，除了分別加減0和乘除1，並且該變數等於常數或表示式，而表示式中另一側沒有目標變數。

如果有人沒有見過這個過程的例子，以上陳述可能有點令人困惑，所以下面給出兩個例子，一個只有單個變數，另一個有多個變數。然後，這些例子將以更簡潔的方式展示過程。

示例 2.2.a：求解$x$的值，使等式成立：$10+5x=210$. 從現在開始，由於等式兩側都成立，我們不再宣告兩側相等。但是，在解決方程時要牢記這一點，因為如果兩側必須相等，那麼在兩側執行相同的操作才能使它們相等！我們將逐步引導您完成此過程，以便您能夠看到如何隔離目標變數。問題中的方程如下所示： $10+5x=210$ 在等式兩側都加上$-10$。加$-10$的效果是使等式左側變成對$+5x$加減單位元。 $10+({\color {Red}-10})+5x=210+({\color {Red}-10})$ ${\color {Red}0}+5x=200$ 由於單位元不會改變等式左側，所以我們可以安全地忽略它。因為$5$乘以變數$x$，為了使$x$不變，在等式兩側都乘以${\frac {1}{5}}$。乘以${\frac {1}{5}}$的效果是使等式左側變成對$x$乘以單位元。 $\left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)\cdot 5x=\left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)\cdot 200$ ${\color {Red}1}x=40$ 由於單位元不會改變等式左側，所以我們可以安全地忽略它。由此，我們成功地將目標變數$x$單獨隔離出來。我們瞭解到，使等式成立的$x$的值為$x=40$.

我們知道這個方程是正確的，因為在隔離變數時，我們確保方程始終保持不變。這個過程保證了 $x$ 的值總是會得到正確的答案。然而，如果你對自己的工作沒有把握，一個很好的方法是將答案“代入”方程，看看它是否成立。以下是操作方法

${\begin{aligned}210&=10+5(40)\\&=10+200\\&=210\end{aligned}}$

如果一側的表示式經過運算後得到的結果與另一側的表示式相同，那麼你找到的變數 $x$ 的值就一定是正確的，因為它滿足了方程。不幸的是，有時在 CLEP 考試中，你可能不會總是得到 *單變數方程*。可能會有你得到多個變數的情況。與上面我們所做的相同，只是這次你需要更加確定你得到的答案一定是正確的，因為儘管你可以將你得到的答案代入方程，但這可能有點繁瑣。

我們會一步一步地引導你完成這個過程。畢竟，不熟悉方程操作的學生，如果沒有一步一步的指導，很容易迷失方向。另外，對於理解代數的學生來說，看到這些問題有助於他們瞭解如何一步一步地解決問題。請注意，這些步驟並不一定是最有效的。現在，將它們視為一個個小問題，為後面的大問題做好準備。

示例 2.2.b：求使方程成立的 $\Delta x$ 的值：$\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$. 解決任何問題的第一步是不要慌張。不要被細節困住；只要努力找出答案。當然，CLEP 考試是選擇題，但最好學習如何在沒有過多依賴選擇題技巧的情況下解決這些問題。技巧只應該作為最後的手段，用於你在有限的時間內無法解決的問題。這個問題看似很難，但實際上並不難，使用技巧可能比直接解決它更慢。 請記住，我們解決問題時的理念是一樣的：對一側進行的操作，也要對另一側進行相同的操作。在我們開始之前，讓我們再寫一遍方程 $\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$ 讓我們從兩邊都加上 ${\frac {1}{2}}$ 開始。這將 *消除* 右邊的常數項，並將其移到另一邊。加上 ${\frac {1}{2}}$ 的效果是使方程的左側為將單位元加到 ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}m$ $\Rightarrow \Delta F+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)$ $\Rightarrow \Delta F+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}\right)={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m+\left({\color {Red}0}\right)$ $\Rightarrow \Delta F+{\frac {1}{2}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m$ 接下來，消除乘以目標變數的分數項。在這裡，我們會放慢速度，逐個解決，然後再介紹我們緩慢工作帶來的一個巧妙的結果。現在，這樣想：如果要消除某個被除的項，我們需要使用逆運算。因此，我們需要將分數項乘以。首先，讓我們將目前為止的結果改寫成一個簡單的形式 ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}m=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}$. 這樣做是等價的，因為我們知道 ${\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}m=\left(\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\right)m$。由於乘法滿足交換律，我們知道這些項可以以任何順序相乘。此外，由於我們知道乘法也滿足結合律，我們知道分組不會影響乘法。因此，我們可以將以下表達式改寫如下 ${\begin{aligned}\left(\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\right)m&=\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}m\\&=m\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}\\&=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}\\&={\frac {m\Delta x}{\Delta t}}\end{aligned}}$. 花點時間理解上面縮排行的所有步驟是值得的。我們只是簡單地消除了不必要的括號，調整了一些項的位置，然後又加上了括號。你可以將這些括號看作是分數的分子。 無論如何，我們知道上面的表示式等於 $\Delta F+{\frac {1}{2}}$，因此我們在一邊進行的操作，也必須在另一邊進行。為了消除除法，我們必須乘以，如下所示。 $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)=\left(m\Delta x\right)\left(\Delta t\right)^{-1}\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left({\color {Red}\Delta t}\right)=\left(m\Delta x\right)\left({\color {Red}1}\right)$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta t=\left(m\Delta x\right)$. 請注意 $F+{\frac {1}{2}}$ 周圍的括號。這一點很重要，因為我們將整個項乘以 $\left(\Delta t\right)$。稍後我們會詳細解釋為什麼這一點很重要，但現在，讓我們繼續。 請注意，我們幾乎完成了對變數 $\Delta x$ 的隔離。為了完成這一步，我們必須將 $m$ 轉移到另一邊。因此，進行逆運算。乘法的逆運算為除法。因此，兩邊都乘以 $m^{-1}$。 $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t\cdot \left({\color {Red}m^{-1}}\right)=m\cdot \left({\color {Red}m^{-1}}\right)\cdot \Delta x$ $\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta tm^{-1}=\Delta x$. 讀者可能也想知道為什麼我們沒有在 $\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 周圍加上括號。同樣，我們很快就會談到這一點。相反，請注意：我們已經完成了這個問題。

我們知道有些讀者可能會問，為什麼我們沒有將這個奇怪的符號 $\Delta$（大寫 Delta）從 $x$ 中分離出來。一方面，問題要求的是 $\Delta x$，但另一方面，$\Delta$ 可能是一個重要縮寫，表示某物的變化：$x$ 的變化。這個方程看起來可能有點亂，因為它需要定義兩個不同的 $x$ 和 $t$ 以及 $F$。為了避免混淆許多科學家，尤其是你，可以用 delta 表示感興趣變數的變化。這就是它的工作方式，因此，接觸這種表示法是一個好主意。如果我們要重新定義上面的方程，不使用任何 $\Delta$，那麼我們將寫成以下形式

$F-F_{0}={\frac {x-x_{0}}{t-t_{0}}}m-{\frac {1}{2}}$，化簡後得到$\left(F-F_{0}+{\frac {1}{2}}\right)\left(t-t_{0}\right)\left(m\right)^{-1}=x-x_{0}$。你可以看到為什麼$\Delta$ 在科學界如此流行。

這個題目的一個比較奇怪的地方在於括號。我們想知道為什麼我們給$\Delta F+{\frac {1}{2}}$ 加了括號，卻沒有給$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 加括號。第一個更容易解釋，所以我們先從簡單的開始。

1. 任何有限項實際上都等於某個值。當我們新增項，例如$x+y$ 時，它必須等於另一個項，比如$A$。當我們將整個表示式乘以一個項$C$ 時，實際上是將最終結果$A$ 乘以$C$。如果$x+y=C$，並且我們正在將$A$ 乘以$C$，那麼$AC=C(x+y)$。這就是為什麼在新增項時，我們必須用括號括起我們要乘的項。沒有規定乘法和加法是可交換或可結合的（但要記住它是可分配的）。
2. 根據第一個前提的推論，如果$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta t$ 被某個項，比如$m^{-1}$ 乘以，那麼如果$\Delta F+{\frac {1}{2}}=B$，那麼$B\cdot \Delta t\cdot m^{-1}$。因為乘法是可交換和可結合的，所以沒有必要給$B\Delta t$ 加括號。因此，這個表示式不需要括號。

從上面的問題中，我們可以學到一個技巧。回顧一下，我們之前說過，我們正在做的事情讓問題變得有點複雜，特別是分數項。這是因為我們沒有利用分數乘以感興趣項的常用技巧。然而，在使用這個“技巧”之前，需要理解它。技巧是可以的，但那不是數學的全部。這就是為什麼數學對許多學生來說很無聊的原因。這個技巧是什麼呢？

技巧：乘以倒數

定義：倒數是一個分數 ${\frac {a}{b}}$，它交換分子和分母的位置，形成分數 ${\frac {b}{a}}$.

技巧：當一個感興趣的變數，比如 $x$，乘以一個分數項，比如 ${\frac {a}{b}}$，得到 $c$，乘以倒數可以將感興趣的變數“隔離”。

讓我們慢慢地拆解它。分數的倒數實際上是交換分子和分母的位置。例如，${\frac {3}{4}}$ 的倒數是 ${\frac {4}{3}}$。當你乘以倒數時，你實際上做的是使以下等式成立

${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}&=ab^{-1}\cdot ba^{-1}\\&=\left(aa^{-1}\right)\left(b^{-1}b\right)\\&=1\cdot 1\\&=1\end{aligned}}$.

因此，乘以倒數將縮短完成問題所需的時間。讓我們看看它如何在之前的問題中工作。如果以下等式成立，

${\begin{aligned}\Delta F+{\frac {1}{2}}&={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m\\&=\Delta x\left(\Delta t\right)^{-1}m\\&=m\left(\Delta t\right)^{-1}\Delta x\\&={\frac {m}{\Delta t}}\Delta x\end{aligned}}$,

那麼，將等式兩邊乘以倒數 ${\frac {m}{\Delta t}}$，得到

$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\Delta t}{m}}=\Delta x$.

我們以很少的延遲得到了相同的答案。唯一的區別是答案看起來不一樣。然而，它們實際上是一樣的。如果 $\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\Delta tm^{-1}=\Delta x$，那麼由於結合律，

$\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\left(\Delta tm^{-1}\right)=\Delta x$

$\Rightarrow \left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {\Delta t}{m}}\right)=\Delta x$

與上一段相同的答案。 我們所採取的冗長複雜步驟給了我們同樣的答案！ 這就是數學的真正美妙之處。 隱藏美妙之處就失去了上面問題中發生的所有複雜性。

我們並不是說不要記住這個技巧。 但是，我們是要你將這種推理牢記在心。 如果你做不到，那就只記住這個技巧，因為無論你以什麼方式可以節省考試時間，都是最好的。

下面的顏色表示上面示例答案中給出的完整解釋的簡潔論點。

示例 2.2.b（重複）： 找出使以下等式成立的 $\Delta x$ 的值： $\Delta F={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}$. 此示例是上面示例的簡潔論點。 必須給出簡潔的解釋，以便每個人都能理解你在做什麼。 沿著一條巨大的代數線走下去實際上會讓人困惑，因此這是必要的。 ${\begin{aligned}\Delta F&={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m-{\frac {1}{2}}\\\Delta F&=\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}-{\frac {1}{2}}&\left(\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}m\right)\\\Delta F+{\frac {1}{2}}&=\Delta x{\frac {m}{\Delta t}}&{\text{(Additive property of equality.)}}\\{\frac {\Delta t}{m}}\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)&=\Delta x&{\text{(Multiplicative inverse property of equality.)}}\\\Delta x&={\frac {\Delta t}{m}}\left(\Delta F+{\frac {1}{2}}\right)&{\text{(Symmetric property of equality.)}}\end{aligned}}$

注意我們如何使用不同的字母。 始終牢記問題要求你找到什麼。

示例 2.2.c： 在以下給定方程式中求解 $a$ ${\frac {1}{5}}+2a=15+{\frac {5}{2}}\cdot a$. 此示例將解釋每個步驟。 此示例的重複將演示更簡潔的論點。 請密切注意重複，以便你能理解這些資訊。 在每個示例的結尾（除了需要解釋的文字問題和長問題），將提供對所呈現的多步方程的簡潔求解。 應用減法恆等式，使以下等式成立。 $\Leftrightarrow {\frac {1}{5}}-15={\frac {5}{2}}a-2a$ 化簡併合併同類項 $\Leftrightarrow -{\frac {224}{5}}={\frac {1}{2}}a$ 根據等式乘法性質，等式兩邊都乘以 $2$ $\Leftrightarrow -{\frac {448}{5}}=a$ 根據等式對稱性質， $a=b\Leftrightarrow b=a$，所以 $a=-{\frac {448}{5}}\blacksquare$ 簡潔的論證 ${\begin{aligned}{\frac {1}{5}}+2a&=15+{\frac {5}{2}}a\\{\frac {1}{5}}-15&={\frac {5}{2}}a-2a&{\text{(Addition property of equality.)}}\\-{\frac {224}{5}}&={\frac {1}{2}}a&{\text{(Simplify and combine like-terms.)}}\\-{\frac {448}{5}}&=a&{\text{(Multiplication property of equality.)}}\\a&=-{\frac {448}{5}}\blacksquare &{\text{(Symmetric property of equality.)}}\end{aligned}}$

下一個問題將引導我們回到單變數方程，然後介紹單變數方程問題的更難的變體。

例 2.2.d：求解以下方程中 $z$的值 $z\cdot {\dfrac {-{\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2z}}}}=-2$. 代數中的分數可能非常棘手。這就是為什麼它在大學代數課程中教授的原因。在討論 有理函式 時，瞭解如何操作分數將非常重要。儘管它在 CLEP 大學代數考試中不是獨立的章節，但能夠簡化這些函式將非常重要，這樣就可以輕鬆地確定其圖形。 應用乘法性質（在 代數證明簡介 中證明），即 $c\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{b}}$ ${\dfrac {-z\cdot {\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2x}}}}={\dfrac {\frac {1}{2z}}{2+{\frac {1}{2z}}}}=-2$ 為了使下一步有意義，我們需要證明一個性質。 證明: ${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}$ 在本證明中，我們將採用一個定理，即 $m^{-1}\cdot n^{-1}=(mn)^{-1}$（稱為底數的倍數）。該定理將在指數章節中進行證明。 首先，我們將${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}$改寫為${\frac {a}{b}}\div c$. ${\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{b}}\div c$ 然後，我們應用除法的定義 $\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}\div c=a(b)^{-1}(c)^{-1}$ 我們應用底數的倍數定理 $\Leftrightarrow a(b)^{-1}(c)^{-1}=a(bc)^{-1}$ 從而得出結論 $\Leftrightarrow {\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}\Box$ 這可以用以下簡潔的論證表示 ${\begin{aligned}{\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}&={\frac {a}{b}}\div c&{\text{(Definition of division.)}}\\&=a(b)^{-1}(c)^{-1}&{\text{(Definition of division.)}}\\&=a(bc)^{-1}&{\text{(Multiples of base theorem.)}}\\&={\frac {a}{bc}}\Box &{\text{(Definition of division.)}}\end{aligned}}$ 根據上述證明，我們最終可以使用底數的倍數引理（用來證明我們想要證明的內容的“小”定理） $\Leftrightarrow -{\dfrac {1}{2z\left(2+{\frac {1}{2z}}\right)}}=-2$ 在分數的分母中應用分配律 $\Leftrightarrow -{\frac {1}{4z+1}}=-2$ 應用等式的除法性質，將兩邊除以$-1$ $\Leftrightarrow {\frac {1}{4z+1}}=2$ 這裡將使用等式的乘法性質。稍後將介紹另一種解題方法 $\Leftrightarrow 1=2(4z+1)$ 將 $2$ 分配到 $4z+1$ $\Leftrightarrow 1=8z+2$ 減去 $2$ 並應用等式減法性質 $\Leftrightarrow -1=8z$ 最後，用 $8$ 除並應用等式除法性質 $\Leftrightarrow -{\frac {1}{8}}=z$ 因為 $-{\frac {1}{8}}=z$，根據等式對稱性質，$z=-{\frac {1}{8}}\blacksquare$ 簡要說明 ${\begin{aligned}z\cdot {\dfrac {-{\frac {1}{2z^{2}}}}{2+{\frac {1}{2z}}}}&=-2\\{\dfrac {\frac {1}{2z}}{2+{\frac {1}{2z}}}}&=-2&\left(c\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{b}}\right)\\-{\dfrac {1}{2z\left(2+{\frac {1}{2z}}\right)}}&=-2&\left({\dfrac {\frac {a}{b}}{c}}={\frac {a}{bc}}\right)\\-{\frac {1}{4z+1}}&=-2&{\text{(分配律)}}\\{\frac {1}{4z+1}}&=2&{\text{(等式除法性質)}}\\1&=2(4z+1)&{\text{(等式乘法性質)}}\\1&=8z+2&{\text{(分配律)}}\\-1&=8z&{\text{(等式減法性質)}}\\-{\frac {1}{8}}&=z&{\text{(等式除法性質)}}\\x&=-{\frac {1}{8}}\blacksquare &{\text{(等式對稱性質)}}\end{aligned}}$

這個例子還可以應用另一個技巧。實際上，這是等式的另一個性質，在大學代數課上並不常見，如下所示。

在新的編輯之後添加了新的屬性。

示例 2.2.e：一個物體以每 $t$ 秒的速度正向增加。這個物體質量為 $400{\text{ kg}}$，以 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的加速度沿直線路徑運動。如果一個光電門距離汽車的起始位置 $T$ 秒，測得汽車的速度為 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$，已知第一個光電門測得汽車的初始速度為 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$，求汽車達到最終速度所需的時間，${\overrightarrow {v}}$。 這個題目看起來很嚇人，特別是那些單位和數字。深呼吸，將上面的資訊分成幾塊。先讀一句，直到你理解為止。通常，給定的資訊應該仔細閱讀。另一個技巧是畫草圖，如下所示。 畫了一輛汽車的速度-時間圖及其對應的向量圖，以模擬文字問題中描述的情況。向量圖是垂直的，這樣可以節省空間。你可能在大學代數中看到物理學的共同主題。習慣這一點，因為物理學喜歡代數。 首先，我們需要問：“我們如何將方程建模到實際情況中？”一個好的開始是使用我們必須使用的數字和變數。一個好的技巧是寫下對問題有用的資訊。在這裡，我們將列出問題中的所有數字和資訊，這將有助於計算。 每 $t$ 秒正向增加的速度 $400{\text{ kg}}$ 的物體。 恆定的 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 加速度。 在時間 $T$ 秒的速度為 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。 汽車的初始速度為 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。 以上所有資訊可以在寫方程式時使用。接下來，找出問題在問什麼。根據上面的文字，它要求我們“找出汽車達到最終速度所需的時間，${\overrightarrow {v}}$..." 因此，由於我們正在尋找達到 $17{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ 所需的時間，我們可以使用第三、第四和第五個要點得到以下方程 $17=5T+2$ 讓我們確保每個人都理解這裡發生了什麼。 注意我們決定不保留單位。這是為了不迷惑學生；此外，我們知道最終單位應該是（秒），所以沒有必要用單位來顯示工作。此外，它可以幫助我們不陷入太多細節。但是，請始終記住在最後加上單位！ 我們決定將感興趣的變數放在 $5$ 旁邊。 這是因為 $5$ 代表著每秒不斷增加的速度， $t$。 只有仔細閱讀問題（或像我們一樣列出資訊）的人才能理解這一點。 我們沒有使用 $t$ 的原因是它是一箇中間變數。 我們將要做的基本上是用 $T$ “替換”這個變數，因為這是我們想要確定的東西。 這個“替換”的概念將在示例 2.2.d之後正式化。 這個方程式中還缺少另一個資訊，即“$400{\text{ kg}}$”。 這很簡單：問題沒有問汽車上的力[腳註 1]。 相反，它是問汽車到達時間 $T$ 時的速度所用的時間。 由於汽車從 $2{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$ 開始，不可能改變每秒的速度。 同樣地，最終速度也不能改變，因此不可能改變每秒的速度。 這是定義決定的。 無論如何，我們終於可以開始隔離變量了。 使用與之前相同的步驟。 這裡，讓我們在等式的兩邊都加上 $-2$，以便將單位元新增到 $5T$ $\Rightarrow 17+({\color {Red}-2})=5T+2+({\color {Red}-2})$ $\Rightarrow 15=5T+({\color {Red}0})$ $\Rightarrow 15=5T$. 最後，用乘以 $5$ 到 $T$ 的逆運算，即 ${\frac {1}{5}}$，來將等式的兩邊都乘以，這樣單位元就乘以了 $T$ $\Rightarrow 15\cdot \left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)=5T\cdot \left({\color {Red}{\frac {1}{5}}}\right)$ $\Rightarrow 3=({\color {Red}1})T$ $\Rightarrow T=3$. 汽車花了 **3 秒鐘** 達到最終速度，${\overrightarrow {v}}$

事實證明，這輛特殊的汽車可以在 3 秒內達到 $17{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果你對我們如何得出答案感到困惑，那麼你應該感到困惑。這是一個對建模方程的預習，特別是線性方程。你將在後面看到類似的例子。然而，現在，你已經完成了。關於這個問題最令人困惑的部分是單位。許多學生可能在數學課上沒有接觸過這樣的物理問題，因此他們可能僅僅因為這個文字問題的性質而無法正確解答。

從更積極的角度來看，你可能已經注意到我們在解決這些問題時存在一種模式。實際上，我們正在做的是一種“反向操作順序”。我們的計劃是在簡單地給出答案之前，展示三個實際操作的例子。簡而言之，簡化方程的人將以一種與系統地逆轉操作順序一致的方式進行簡化。在進行此過程之前，請確保儘可能地簡化方程。此過程的最終演示見 **例 2.2.g**。現在，讓我們再看一個文字問題。

例 2.2.f：假設兩個質量分別為 $M$ 和 $m$ 的塊體連線到滑輪上，其中 $M$ 放在一個木製桌子上，動摩擦係數為 $\mu _{k}=0.5$，而 $m$ 懸掛在空中。假設系統速度和方向沒有變化，則以下方程模擬了這種情況 $${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$$ 其中 ${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 以及 ${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$。根據以下情況，懸掛在空中的物體的質量有什麼特點？ 哇，這個題看起來好嚇人！問題的大部分“恐怖因子”來自建模方程的情況。大多數學生會想先理解問題在講什麼，然後再做題。但是，這不是物理學——這是大學代數，所以不用太擔心。我們會逐步指導你，這樣你就可以看到如何分離感興趣的變數。問題中的方程在下面重新寫出 (1.2.2.1) ${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$ 如果你以前從未讀過數學教科書，(1.2.2.1) 表示一個方程，我們將在後面的教科書中提到。小數點表示“章節/部分/小節/方程參考順序”。 首先，無論我們看到的是什麼等於另一個物體，我們都會使用傳遞性質來簡化我們的工作。例如，${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 和 ${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$，因此將它們“代入”方程式 1.2.1。 (1.2.2.2) $-gM\mu _{k}-\left(-gm\right)=0$ 由於乘法的結合律和交換律，$-\left(-gm\right)=-1\left(-1\cdot gm\right)=-1\cdot -1\cdot g\cdot m=gm$，因此該方程式必須等效於 (1.2.2.3) $-gM\mu _{k}+gm=0$ 這個問題正在尋找關於懸浮在空中的質量的真相，因此將變數 $m$ 隔離出來。在我們這樣做之前，請注意 $g$ 出現在兩個項中，$-gM\mu _{k}$ 和 $mg$，因此基於這兩個項都具有 $g$ 因子的事實，$-gM\mu _{k}+gm=g\left(-M\mu _{k}+m\right)$。在下面重新編寫因式分解後的形式 (1.2.2.4) $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=0$ 根據零因數性質，$g=0$ 或 $-M\mu _{k}+m=0$。[腳註 2] 由於給定情況，我們將忽略$g$，以瞭解更多關於$m$的資訊。由於$-M\mu _{k}+m=0$ 的寫法，將$-M\mu _{k}$ 移到另一邊，在等式兩邊都加上$M\mu _{k}$。這樣，左側的單位元將被加到$m$ (1.2.2.5) $-M\mu _{k}+\left({\color {Red}M\mu _{k}}\right)+m=0+\left({\color {Red}M\mu _{k}}\right)$ (1.2.2.6) ${\color {Red}0}+m={\color {Red}M\mu _{k}}$ 由於單位元不改變左側，我們可以安全地忽略它。至此，我們已經完成了。我們知道動摩擦係數$\mu _{k}=0.5={\frac {1}{2}}$，所以懸浮在空中的木塊的質量是木桌上木塊質量的一半。這很可能是你在選擇題中找到的答案。

在這裡，我們能夠利用代數來找出系統在方向和速度沒有變化時的真相。你可以看到為什麼物理學喜歡代數，正是因為這個原因。事實上，其他科學領域也喜歡代數。然而，物理學可能是最大的愛好者。從我們對方程的經驗來看，你可能已經注意到我們使用了我們在開頭談到的性質。如果你跳過了那一部分，或者沒有理解它，你就是在自掘墳墓。代數需要那些基礎，所以如果你不理解它們，現在就必須理解！在你最終理解了這些基本概念之後，就該學習更多關於新定義了。

定義：單變數方程

單變數方程是指在一個方程中，只有一個感興趣的變數始終出現。

以下是這些方程的例子

• $2x+5=5x-2$
• ${\frac {7x}{10}}+{\frac {7}{10x}}=100$

請注意，變數$x$ 可以出現在方程的兩邊，但仍然被稱為單變數方程。

定義：文字方程

文字方程是指在一個方程中，至少有兩個不同的變數始終出現。

以下是這些方程的例子

• ${\frac {\mathbf {F} }{m}}=\mathbf {a}$
• $\Delta \mathbf {x} =\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$
• $\Psi _{s}=-iCRT$，其中壓力常數$R=0.0831$ 升/摩爾開爾文。

有時，CLEP 考試可能會要求你解釋方程式。會提供一些資訊，你需要根據該方程式求解或解釋新資訊。這些題是考試中最難的題。

定義：替換

替換是指用值或其他表示式替換變數的行為。這在非正式情況下被稱為為變數“代入”。

在示例 2.2.e中，因為${\overrightarrow {F_{f}}}-{\overrightarrow {F_{w}}}=0$，並且${\overrightarrow {F_{f}}}=-gM\mu _{k}$ 以及${\overrightarrow {F_{w}}}=-gm$，我們可以根據已知資訊進行替換。這就是我們如何得到（1.2.2.3）的原因。

因為我們還沒有介紹過單變數方程式中目標變數在兩邊的示例，讓我們來做下面的問題。

示例 2.2.g：求解使方程式成立的$x$ 的值。 $${\frac {20(1+x)}{x}}=10$$ 這個方程式其實很簡單。建議你在我們解釋如何解題之前嘗試一下，既可以檢驗你的知識，也可以核對你的答案。 一個常見的學生誤解需要儘快解決，那就是：不要將括號內的$x$ 除掉。這樣做有兩個原因。 $x\nmid (1+x)$。括號表示它們是兩個不同的數字。 即使在將 20 分配給括號中的每一項之後，${\frac {20+20x}{x}}\neq {\frac {40}{x}}$。請注意，${\frac {20+20x}{x}}=(20+20x)\left(x^{-1}\right)=20x^{-1}+20x\left(x^{-1}\right)$，因此一般來說，${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}={\frac {a+c}{b}}$。由於這一事實，${\frac {20+20x}{x}}={\frac {20}{x}}+{\frac {20x}{x}}={\frac {20}{x}}+20$。這是真正用 $x$ 除以表示式的唯一方法。但是，這種方法實際上可能比我們即將向您展示的方法更慢。 如果用 $x$ 除法很慢，那麼我們如何快速完成它呢？請注意，我們正在用另一個 $x$ 除以 $x$。一個消除它們的好方法是將底部的 $x$ 移到另一邊。因為除法的逆運算為乘法，所以執行乘法運算，以便將單位元素乘以左側。 ${\frac {20(1+x)}{x}}\cdot {\color {red}x}=10\cdot {\color {red}x}$ $\Rightarrow 20(1+x)=10{\color {red}x}$. 有些學生可能想要將 20 分配給括號中的每一項。雖然這在處理表達式時可能沒問題，但由於我們正在處理方程式，讓我們透過將兩邊都乘以 ${\frac {1}{10}}$ 來使這個過程更快。 這樣做可以，因為 $20(1-x)$ 等同於將 $20$ 乘以某個變數 $1-x=C$，所以 ${\frac {1}{10}}\cdot 20C={\frac {20C}{10}}=2C$。 因此， $\Rightarrow 20(1+x)\cdot {\color {red}{\frac {1}{10}}}=10\cdot {\color {red}{\frac {1}{10}}}\cdot x$ $\Rightarrow {\color {red}2}(1+x)=x$. 然後，你可以將 2 分配給括號中的每一項。 $\Rightarrow 2+2x=x$. 現在，將兩邊都加上 $-2x$。 這樣做是為了將一邊隔離為 $x$。 $\Rightarrow 2+2x+({\color {Red}-2x})=x+({\color {Red}-2x})$ $\Rightarrow 2={\color {Red}-x}$. 由於 $x$ 尚未被隔離（你正在將 $-1$ 乘以 $x$），將兩邊都乘以 ${\frac {1}{-1}}$。 $\Rightarrow 2\cdot ({\color {Red}{\frac {1}{-1}}})=-x\cdot ({\color {Red}{\frac {1}{-1}}})$ $\Rightarrow {\color {Red}-}2=x$. 簡要說明 ${\begin{aligned}{\frac {20(1+x)}{x}}&=10\\20(1+x)&=10x&{\text{(Multiplication prop. of equality.)}}\\2(1+x)&=x&{\text{(Division prop. of equality.)}}\\2+2x&=x&{\text{(Distributive prop.)}}\\2&=-x&{\text{(Subtraction prop. of equality.)}}\\-2&=x&{\text{(Division prop. of equality.)}}\\x&=-2&{\text{(Symmetric prop. of equality.)}}\blacksquare \end{aligned}}$

在上面的例子中，我們提到，可能可以透過兩邊同時乘以$x$ 來更快地解出$x$。讓我們來看看，對於下面的等式，如何解出$x$ 會很困難。

${\frac {20}{x}}+20=10$

首先，請注意，包含$x$ 的一邊加上了$20$，所以最好先消除這個常數。兩邊同時加上$-20$

${\frac {20}{x}}+20+({\color {red}-20})=-10+({\color {red}-20})$

${\frac {20}{x}}+{\color {red}0}={\color {red}-10}$

請注意，上面的表示式可以改寫成這種形式：$20x^{-1}=-10$。因為每個包含分數的問題都可以被視為簡單的乘法，所以根據這個想法，可以將兩邊同時乘以${\frac {1}{20}}$ 來將$x$ 隔離出來。

$\left({\color {red}{\frac {1}{20}}}\right)\cdot 20x^{-1}=-10\cdot \left({\color {red}{\frac {1}{20}}}\right)$

$\left({\color {red}1}\right)\cdot x^{-1}=-\left({\color {red}{\frac {1}{2}}}\right)$

因為 $x$ 的倒數等於 $-{\frac {1}{2}}$，我們可以對等式兩邊取倒數的倒數。也就是說，取 ${\frac {1}{x}}$ 和 $-{\frac {1}{2}}$ 的倒數。這意味著解集將是

$x=-2$

由於上述示例的構建方式，您可能不確定哪種方法更快。然而，我們使用的方法（方框中的）在思維處理方面更快。熟悉代數運算的學生可能會使用上述方法（不在方框中），並且可能很快完成。然而，在介紹這些代數運算時，假設讀者對代數不熟悉，我們假設使用方框中的方法會更快。

解多個變數的方程

請注意，在示例 2.2.d 中，我們透過將資訊代入已知條件中，成功地消除了許多變數。這讓我們瞭解瞭解多個變數的方程。您很難找到不需要解兩個變數的情況。下面是一個例子，也許可以幫助您瞭解這種情況。但是，請注意，我們將不會給出解決方案。我們將在探討解決方案的過程中進行探索。

示例 2.3.a：一對夫婦有一個共同基金，John 和 Mary 會從他們的收入中撥出一部分來支付必要的費用。John 願意從他的收入中撥出 52% 來支付收入，而 Mary 願意從她的收入中撥出 35% 來支付必要的費用。如果必要的費用每月 800 美元，而這對夫婦的總收入每月為 2,150 美元，那麼 Mary 至少需要撥出多少錢才能履行她的承諾？ 這是一個非常有趣的問題。首先，我們需要知道 Mary 和 John 賺了多少錢。當然，我們可以直接詢問他們更多細節，但讓我們玩得開心一點。首先，讓我們寫下我們知道的是真的 Mary 和 John 的總收入每月為 2,150 美元。 Mary 希望從她的收入中撥出 35%。 John 希望從他的收入中撥出 52%。 必要的費用總計為 800 美元。Mary 和 John 希望從他們的收入中撥出一部分，以便能夠支付全部費用。 由於我們不知道每個人賺了多少錢，讓我們定義一些變數。用 $m$ 表示 Mary 每月的收入，用 $j$ 表示 John 每月的收入。由於我們知道 Mary 和 John 的總收入每月為 3,500 美元，以下方程成立 (1.2.3.1) $m+j=2150$ 由於我們知道 Mary 和 John 從他們的收入中撥出一部分用於支付每月費用，我們知道以下方程也成立 (1.2.3.2) $0.35m+0.52j=800$ 這就是我們擁有所有資訊。但是，我們如何確定 Mary 和 John 的收入呢？

這是一個很有挑戰性的問題，我們將在後面再回到它。但是，現在，把它看作我們很快就能解決的挑戰問題。現在，讓我們用抽象空間來代替現實世界。為什麼要這樣做呢？因為現實世界很混亂，而抽象世界遵循我們的規則和邏輯，儘管我們必須對它保持精準。

示例 2.3.b：如果 $2xy-4=-10$ 和 $y=-1$ 是方程組的一部分，求 $x$。 再次回到熟悉領域。這個問題在代入方面似乎與示例 2.2.d 類似。這種技術在這種情況下的效果尤其好，並且可以使我們的生活更加輕鬆。讓我們將我們眼前的資訊作為方程組逐條列出。我們通常使用左手邊的括號來表示這些系統。有時，這些系統也可以用將兩個方程寫在一起的方式表示。 ${\begin{cases}2xy-4=-10\\y=-1\end{cases}}$ 請注意，該系統已定義 $y=-1$，由於它是該系統的一部分，我們可以在 $2xy-4=-10$ 中使用此資訊。在進行此操作之前，讓我們先求解第一個等式中的 $x$。我們將始終如一地進行此過程。到目前為止，您應該已經熟悉了這種代數運算，您可能不再需要我們。但是，我們仍然會解釋一些我們認為需要解釋的操作。讓我們從使用代數對系統中的第一個方程式開始 $2xy-4=-10$ $\Rightarrow 2xy=-6$ 回想一下，乘法是可交換的。由於我們試圖隔離 $x$，即我們感興趣的變數，並且 $2y$ 乘以 $x$，可以將兩邊都除以 $2y$。對此的理由僅僅是結合律和交換律的問題，我們在 **例 2.2.b** 中已經詳細解釋過。請記住，這種結合律和交換律允許學生像以下那樣除法 ${\begin{aligned}\Rightarrow x&=-{\frac {6}{2y}}\\&=-{\frac {3}{y}}\end{aligned}}$ 我們將在下一頁進一步探討這種分析。無論如何，這幫助我們求解了 $x$。利用我們所知道的，$y=-1$，我們可以執行以下操作來找到問題的答案 ${\begin{aligned}x&=-{\frac {3}{(-1)}}\\&=3\,\blacksquare \end{aligned}}$

我們所做的是 **用代入法求解**，這是一種技術，可以將系統中一個方程式中隔離的變數用於求解另一個方程式中感興趣的變數。請記住，這可以對任何方程組進行，這也為我們提供了關於我們對方程組可以做什麼的資訊

系統的第一現實

當給出兩個方程式時，始終可以求解其中一個方程組中的一個變數，然後將找到的結果代入另一個方程式。

“系統”這個詞暗示著某種根深蒂固的東西，一個由相互合作的不同部分組成的機制。如果所有這些部分共同努力幫助找到系統中每個變數的解，那麼可能可以使用這些單獨的方程式來幫助求解另一個變數。有時，方程式不需要有兩個不同的變數。請看下一個問題。

**例 2.3.c**：如果 ${\frac {5}{x}}=200$，那麼 $54000-{\frac {200}{x}}$ 等於多少？ 使用方程組來解決這類問題可能看起來很不尋常。我們相信大多數學生會本能地知道如何完全解決這個問題。但是，系統與該問題之間的關係是不言而喻的。這個問題中包含兩個方程式；我們知道要使用這兩個方程式來解決這個問題。因此，假設以下內容為真 (1.2.3.3) ${\frac {5}{x}}=200$ (1.2.3.4) $54000-{\frac {200}{x}}=y$ 我們有兩個未知數，$(x,y)$，我們想找到$y$，隱式地。為此，我們需要知道$x$ 是什麼。唯一能幫助我們的是 (1.2.3.3)。首先，我們需要求解$x$。 ${\begin{aligned}{\frac {5}{x}}&=200\\&\Rightarrow 5x^{-1}=200\\&\Rightarrow x^{-1}=40\\&\Rightarrow x=40^{-1}={\frac {1}{40}}\end{aligned}}$ 現在我們知道了$x$ 等於什麼，我們終於可以找到解集$(x,y)$。唯一可以找到$y$ 的方程是 (1.2.3.4)。因此 ${\begin{aligned}54000-{\frac {200}{x}}&=54000-{\frac {200}{40^{-1}}}\\&=54000-200\left(40^{-1}\right)^{-1}\\&=54000-200\cdot 40&{\text{This step will be justified in the next chapter.}}\\&=54000-8000\\&=46000\blacksquare \end{aligned}}$

然而，有時用代入法求解並不總是最有效的。例如，在這種情況下，或許可以使用以下事實：${\frac {5}{x}}=200$ 由於（1.2.3.4）包含項 ${\frac {200}{x}}$。這些項是相似的，因為它們之間存在一個常數倍數 $k$。根據這一邏輯，$k\cdot {\frac {5}{x}}={\frac {200}{x}}$ 意味著 $k={\frac {200}{5}}=40$。根據傳遞性質，${\frac {5}{x}}=200$ 意味著 $40\cdot 200={\frac {200}{x}}=8000$。因此，$54000-{\frac {200}{x}}=54000-8000=46000$.

大多數情況下，代入法是速度最快的。但是，在某些情況下，消去一個變數可能會大幅度改善情況。這種方法之所以有效，有其自然的理由，這與運算有關。

例 2.3.d：如果方程組中包含 $mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ 和 $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$，求 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 關於 $v$ 的表示式。 人們可能會嘗試代入所需的資訊來找到 $v$ 和 $v_{1}$。然而，僅靠代入法無法提供足夠的資訊來解答這個問題。這是因為 $v_{2}$ 需要更多資訊，才能更容易地進行處理。我們需要將這些方程放在一起考慮。但首先，我們對它們進行標記。 (1.2.3.5) $mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ (1.2.3.6) $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 這兩個方程是同一個系統的一部分。對於一個方程成立的條件，同樣適用於另一個方程。然而，如果它們是同一個系統的一部分，那麼在組合這兩個不同的關係時，對一邊進行的任何操作也必須對另一邊進行。這個代數的基本原理可以擴充套件到不止一個系統。我們可以用以下方法充分證明這一點：令 $A=mv$ 且 $B=0$。根據傳遞性質，$mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ 或 (1.2.3.5)，以及 $0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 或 (1.2.3.6)，意味著 (1.2.3.7) $A=mv={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}$ (1.2.3.8) $B=0={\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}$ 如果我們讓 $A$ 和 $B$ 代表不同的方程，因為這些方程根據傳遞性質各自與另一邊存在著關係，那麼組合方程是一個有效的操作。 $\blacksquare$ （在我們解決問題的過程中，我們發現了一個重要的結論，需要先證明這個結論是正確的，然後才能使用它。這被稱為**引理**，它經常以隱蔽的方式出現。請留意引理。）從我們上面學到的知識，我們可以組合兩個不同的方程，它不會破壞任何東西。因此，讓我們找到 $A+B$ ${\begin{aligned}A+B&=mv+0\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}\right)+\left({\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}\right)\\&={\frac {\sqrt {3}}{2}}mv_{1}+{\sqrt {2}}mv_{2}+{\frac {1}{2}}mv_{1}-{\sqrt {2}}mv_{2}\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}+{\color {Red}{\sqrt {2}}mv_{2}-{\sqrt {2}}mv_{2}}\\&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}+{\color {Red}0}\end{aligned}}$ 希望現在您能夠順利地按照代數運算步驟進行，無需任何指導。無論如何，我們找到了將兩個關係式 (1.2.3.7) 和 (1.2.3.8) 相加得到的方程式。 (1.2.3.9) $A+B=mv=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}$ 如果我們回顧問題，我們想要用 $v$ 表示 $v_{1}$，所以讓我們來做一下。首先簡化方程式。注意 $m$ 是方程式兩邊的公因數，因此可以安全地除掉它，假設 $m\neq 0$。 $mv=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)mv_{1}$ $\Rightarrow v=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)v_{1}$ $\Rightarrow {\frac {v}{\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}}=v_{1}$ 這一步將在下一章中進行解釋。我們已經完成了第一部分。 $\Rightarrow {\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}=v_{1}$ 我們已經回答了問題的前半部分。但是，我們需要找到 $v_{2}$。我們可以利用 (1.2.3.8) 很容易地做到這一點，因為我們可以使用零因子性質。讓我們重新寫一下下面的方程。 ${\begin{aligned}0&={\frac {1}{2}}mv_{1}-mv_{2}{\sqrt {2}}\\&=m\left({\frac {1}{2}}v_{1}-v_{2}{\sqrt {2}}\right)\end{aligned}}$ $\Rightarrow m=0{\text{ or }}{\frac {1}{2}}v_{1}-v_{2}{\sqrt {2}}=0$ 我們可以安全地忽略 $m$ 並處理另一個因子。 $\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)-v_{2}{\sqrt {2}}=0$ 現在用 $v$ 求解 $v_{2}$。 $\Rightarrow v_{2}{\sqrt {2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)$ ${\begin{aligned}\Rightarrow v_{2}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\right)\\&={\frac {2v}{2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\\&={\frac {v}{{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\end{aligned}}$ 我們已經找到了這個問題的兩個解：$v_{1}={\frac {2v}{\left({\sqrt {3}}+1\right)}}$ 和 $v_{2}={\frac {v}{{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}}\blacksquare$。

上述問題演示了方程組的下一個原理，我們已經在上面的問題中證明了它是正確的。方程組的有用之處在於，能夠將方程組的這兩個原理結合起來，幫助解決問題。使用演算法的便利性是數學家遵循的原則之一，因為它可以幫助輕鬆地解決如果沒有演算法就幾乎不方便甚至不可能解決的問題。

系統中的第二個現實

當給出兩個方程時，總可以將系統中的兩個方程結合起來。

方程組可以組合或單獨求解，這兩種操作可以以任意多種方式組合，以輕鬆且可靠地求解我們想要得到的兩個變數。如果可能，最好 **用消元法求解**，即將兩個方程組合起來，消去一個變數，然後透過組合後的方程求解另一個變數。這在上面的問題中得到了證明，也是我們找到使用系統第二現實的實用原因的方式。

從上面你學到的知識，你應該能夠解決任何涉及兩個方程組的問題。在我們回到最初的問題之前，讓我們回顧一個問題；但是，讓我們新增更多資訊並稍微改變一下情況，以便我們可以瞭解物理學是如何再次出現在這本書中的。

**示例 2.3.e**：假設兩個質量非零的塊 $M$ 和 $m$ 連線到一個滑輪上，其中 $M={\frac {3}{2}}m$ 放在一個木製桌子上，動摩擦係數為 $\mu _{k}=0.5$，而 $m$ 懸掛在空中。以下方程模擬了這種情況 $${\begin{cases}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma\\\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma\end{cases}}$$ 其中 $\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$，和 $\mathbf {F} _{w}=-gm$，其中 $g$ 是一個常數，大約等於 $10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。根據以下情況，以下哪些必須為真？選擇所有適用的選項。 桌子上的塊的摩擦力，$\mathbf {F} _{f}$，如果它在桌子上，將是懸掛在空中的質量 $m$ 的九倍。 桌子上的塊的張力，$\mathbf {F} _{T}$，是懸掛在空中的質量的九倍。 系統的加速度大小，$a$，是 $1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。 我們又遇到了一個棘手的難題，不過這次有選項。這些選項實際上是偽裝成真假題的一種問題。我們要確定哪個陳述是正確的，並且只選擇正確的陳述。選項限定了我們的關注點，所以我們要集中精力在陳述的內容上。從我們根據現有資訊可以輕鬆判斷的選項開始。 真或假？ 桌子上的方塊的摩擦力，$\mathbf {F} _{f}$，如果方塊在桌子上，將會是質量$m$的9倍。錯！ 這是最容易評估的一個，因為我們擁有所有必要的資訊。 $\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$ $M={\frac {3}{2}}m$ $g\approx 10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ $\mu _{k}=0.5$ 這只是一個簡單的代入練習。如果這個是正確的，我們很容易找到一個答案。如果不是，我們也沒浪費太多時間。 ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{f}&=-gM\mu _{k}\\&=-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10m&{\text{[Clearly false, but let us continue.]}}\\&=-{\frac {3}{2}}\cdot 5m\\&=-{\frac {15}{2}}m\\\end{aligned}}$ 很明顯，摩擦力不會是懸掛在空中的質量的9倍，因為10、2或5都不是9的倍數。不過，最終答案還是證實了這一點。 真或假？系統的加速度，$a$，是$1{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。正確！ 看一下上面的方程組。令$A={\color {Green}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma}$ 和 $B={\color {Red}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma}$。方程中是否存在可以透過這兩個方程的組合消除的項？是的，可以從 $B$ 中減去 $A$，得到以下結果 ${\begin{aligned}A-B&=Ma-[-ma]=(M+m)a\\&=\left(\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}\right)-\left(\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}\right)\\&={\color {Red}\mathbf {F} _{T}}+\mathbf {F} _{f}-{\color {Red}\mathbf {F} _{T}}-\mathbf {F} _{w}\\&={\color {Red}\mathbf {F} _{T}}-{\color {Red}\mathbf {F} _{T}}+\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}\\&={\color {Red}0}+\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}\end{aligned}}$ 正如我們所知，以下方程描述了這種情況 (1.3.3.10) $\mathbf {F} _{f}-\mathbf {F} _{w}=(M+m)a$ 就像在**示例 2.2.d** 中一樣，我們可以代入我們在上述問題中看到的熟悉資訊。在這種情況下，$\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$ 和 $\mathbf {F} _{w}=-gm$ 將在這裡需要。因此，我們的下一個方程出現了 (1.3.3.11) $-gM\mu _{k}-(-gm)=(M+m)a$ 由於乘法的結合律和交換律，$-\left(-gm\right)=gm$（如果學生需要回憶為什麼，請參見**示例 2.2.d**），因此該方程必須等效於 (1.3.3.12) $-gM\mu _{k}+gm=(M+m)a$ 請注意，$g$ 是左手邊兩項的公因子，因此 $-gM\mu _{k}+gm=g\left(-M\mu _{k}+m\right)$。以下是因式分解後的形式 (1.3.3.13) $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=(M+m)a$ 回顧一下，我們試圖解出 $a$，所以讓我們繼續將等式兩邊都除以$M+m$。 (1.3.3.14) ${\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=a$ 在此時，我們擁有所有必要的資訊來確定上述陳述是否屬實。我們知道以下內容： $g=10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ $\mu _{k}=0.5$ $M={\frac {3}{2}}m$ 以上這些都是幫助我們判斷加速度是否為正值的資訊。這應該是朝著正確方向邁出的良好一步，因為如果加速度為負值，那麼我們就知道這個問題已經結束了，可以繼續評估其他選擇是否為真。無論如何，讓我們代入已知的資訊。 ${\begin{aligned}a&={\frac {10\left(-{\frac {3}{2}}m\cdot {\frac {1}{2}}+m\right)}{{\frac {3}{2}}m+m}}\\&={\frac {10m\left(1-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\right)}{m\left({\frac {3}{2}}+1\right)}}&{\text{(Eliminate the }}m{\text{.)}}\\&={\frac {10\left(1-{\frac {3}{4}}\right)}{{\frac 3{2}}+1}}\\&={\frac {10\cdot {\frac 1{4}}}{\frac 5{2}}}\\&={\frac {\frac 5{2}}{\frac 5{2}}}\\&=1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\end{aligned}}$ 這是找到答案所需的最後一塊資訊。我們想要評估加速度是否確實為$1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，事實證明，我們確實找到了表明這是一個可能答案的資訊。 真或假？ 桌面上方塊的張力 $\mathbf {F} _{T}$ 是 空氣中懸掛質量的九倍。正確！ 這是一個奇怪的陳述。根據方程組，如果 $\mathbf {F} _{T}$ 對於一個或另一個並不不同，那麼張力怎麼可能對於每個塊都不同呢？然而，粗略地看並不算分析，我們確實可以肯定，我們的結論太過倉促，無法成立。回顧方程組。 ${\begin{cases}\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{f}=Ma\\\mathbf {F} _{T}+\mathbf {F} _{w}=-ma\end{cases}}$ 現在我們已經知道了加速度的值，我們可以利用這些資訊來回答關於質量為$M$的物體的張力的問題（這意味著我們必須使用第一個方程來保持它關於$M$）。然而，在物理學中，通常最好保持解的一般性，以確保我們從已知內容中學習到新東西。牢記$\mathbf {F} _{T}$是未知的，$\mathbf {F} _{f}=-gM\mu _{k}$，並且$a={\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=1$。根據我們所知道的 (1.3.3.15) $\mathbf {F} _{T}-gM\mu _{k}=M{\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}$ 這裡，$g$是方程右側的一個因子，因為 ${\begin{aligned}{\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}&=\left(g\left(-M\mu _{k}+m\right)\right)\left(M+m\right)^{-1}\\&=g\left(-M\mu _{k}+m\right)\left(M+m\right)^{-1}&{\text{[}}g{\text{ is on the very left here.]}}\\&=g{\frac {-M\mu _{k}+m}{M+m}}\\&=g{\frac {m-M\mu _{k}}{M+m}}&\left[-M\mu _{k}+m=m-M\mu _{k}\right]\end{aligned}}$ 我們可以抓住機會求解$\mathbf {F} _{T}$，在 (1.3.3.15) 中找到。 $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg{\frac {\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}+Mg\mu _{k}$ $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg\left({\frac {-M\mu _{k}+m}{M+m}}+\mu _{k}\right)$ 注意方程式 (1.3.3.14) 在等式右側再次出現，只是這次缺少了一個 $g$ 的 *因子*。因為 ${\frac {g\left(-M\mu _{k}+m\right)}{M+m}}=a$，我們可以很容易地將上面的等式改寫如下 $\Rightarrow \mathbf {F} _{T}=Mg\left({\frac {a}{g}}+\mu _{k}\right)$ 回想一下，$M={\frac {3}{2}}m$，$g=10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，$\mu _{k}=0.5$ 以及 $a=1{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。根據我們所知，我們可以得出結論 ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{T}&=Mg\left({\frac {a}{g}}+\mu _{k}\right)\\&=Ma+M\mu _{k}g\\&={\frac {3}{2}}ma+{\frac {3}{2}}mg\mu _{k}\\&={\frac {3}{2}}m\left(a+g\mu _{k}\right)\\&={\frac {3}{2}}m\left(1+10\cdot {\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {3}{2}}m\left(6\right)\\&=9m{\text{ Newtons}}\end{aligned}}$ 根據以上計算，$\mathbf {F} _{T}$ 用 $m$ 表示就是懸掛在空中的質量的 9 倍。從字面上看，這是真的！

我們已經找到了方程組在現實生活場景、抽象代數問題和證明中的應用。然而，我們仍然需要學習另一種工具。下面的抽象問題是我們在進行兩個探索之前對它的最後演示。

例 2.3.f：將一個初始正數乘以混合數 $1{\tfrac {1}{3}}$，然後用這個結果除以初始數和 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和。然後，用這個結果減去另一個數與初始數之比。這個操作的結果是 $50$。已知初始數與混合數 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和的兩倍的倒數的兩倍減去這個結果等於 $50$ 乘以初始數的一半，求這兩個數中較大的那個。 對於大多數學生來說，這種型別的問題很難回答，因為他們習慣於回答那些通常比較直觀的問題。但是，如果你參加數學競賽，你可能會遇到這樣的問題（儘管語言很複雜）。 這裡有一個有用的提示。當題目看起來很冗長時，把它變成一個等式！這樣會使問題變得容易得多，希望你現在已經明白了。讓我們來解碼這個題目。設初始數為 $x$，另一個數為 $y$。讓我們來理解題目中所說的內容。 注意：混合分數 $1{\tfrac {1}{3}}$ 等於 $1+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}$，所以從現在開始我們將使用這個表示式。 將一個初始正數乘以混合數 $1{\tfrac {1}{3}}$，然後用這個結果除以初始數和 $1{\tfrac {1}{3}}$ 的和。 簡單來說，$x$ 乘以 ${\frac {4}{3}}$。然後，這個乘積再除以這兩個數的和。因此，表示式為 ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}$ 然後，用這個結果減去另一個數與初始數之比。 用 ${\frac {y}{x}}$ 減去前面的表示式，得到一個新的表示式 ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{x}}$ 這個操作的結果是 $50$。 使這個表示式等於 $50$，這樣就得到了這個問題中的第一個等式。 (1.2.3.16) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{x}}=50$ 給定初始數字和混合數 $1{\tfrac {1}{3}}$ 之和的兩倍的倒數的兩倍減去該結果的一半，將等於初始數字一半的 $50$ 倍... 這有點太多了，讓我們進一步分解這些資訊。 "給定兩倍的初始數字和混合數 $1{\tfrac {1}{3}}$ 之和的兩倍的倒數..." 將兩倍 $x+{\tfrac {4}{3}}$ 的倒數乘以二。這意味著將 ${\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}$ 乘以二，從而得到部分表示式 $2\cdot {\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}$ 注意：雖然你們中有些人可能想要透過分母中的二來消除乘以分數的二，但最好保留二這個因子，至少在看到整個方程之前。 "...減去該結果的一半..." 從之前的表示式中減去 ${\frac {y}{2}}$. $2\cdot {\frac {1}{2\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}$ "...將等於 $50$ 倍初始數字的一半..." 使我們現在得到的表示式等於 $50\cdot {\frac {x}{2}}$，從而得到下一個方程 (1.2.3.17) $2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}=50\cdot {\frac {x}{2}}$ 儘管這些方程看起來很嚇人，但我們已經讓我們的生活變得輕鬆了許多。現在我們只需要找到其中一個數字，無論是初始數字還是另一個數字。在這種情況下，找到初始數字會更容易，因為我們可以找到一種方法來消除另一個數字。 回想一下我們只是允許這兩個方程相互加減。我們透過傳遞性來證明這一點。此外，我們透過平等性質引入了方程，即對一側所做的任何操作都必須對另一側進行。好吧，由於加減和乘除都是明確的候選者，因此可以說將整個方程乘以任何因子都是可以的。 因為這個原理在孤立情況下有效，所以我們需要確保它在與我們已經知道的內容結合使用時有效。假設以下情況為真 (1.2.3.18) $A={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-{\frac {y}{x}}}=50$ (1.2.3.19) $S_{1}=2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {y}{2}}=50\cdot {\frac {x}{2}}$ 我們的目標是將 $-{\frac {y}{2}}$ 轉化為 ${\frac {y}{x}}$，以便我們可以進行以下操作：$A+S_{1}$。這將消除 ${\frac {y}{x}}$，它在 (1.2.3.18) 中用紅色突出顯示。 首先，注意 $S_{1}$ 中有一個公因子 ${\frac {1}{2}}$。由於 ${\frac {y}{x}}$ *沒有* ${\frac {1}{2}}$ 的因子，我們可以將 $S_{1}$ 乘以 $2$，使 $-y$ 和 ${\frac {y}{x}}$ 之間有一個公因子 $1$。下面的操作將用紅色標記我們要消除的目標（盡我們所能）。這給了我們以下結果 ${\begin{aligned}2S_{1}&=2\left[2\cdot {\frac {1}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\color {Red}{\frac {y}{2}}}\right]&\left[{\text{Recall }}C{\tfrac {1}{a}}={\tfrac {C}{a}}{\text{.}}\right]\\&=2\left[{\frac {2}{2\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\color {Red}{\frac {y}{2}}}\right]&{\text{[Recall the distributive property.]}}\\&={\color {Green}2}\cdot \left[{\frac {2}{{\color {Green}2}\cdot \left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}\right]-{\color {Green}2}\left({\frac {\color {Red}y}{\color {Green}2}}\right)&{\text{[Green colors will be eleminated.]}}\\&={\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\color {Red}y}\end{aligned}}$ 這個相同的原則應用於方程 (1.2.3.17) 的右邊，由於該部分的練習非常簡單，我們將在最終答案中將所有中間計算留給讀者作為練習。由此，我們可以得到下一個方程。 (1.2.3.20) $2S_{1}={\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-y}=50x$ 紅色高亮顯示的變數是我們感興趣的變數，它包含一個 $-1$ 的因子，而這個因子在目標表達式 ${\frac {y}{x}}$ 中不存在，因此我們需要用 $-1$ 除以 $2S_{1}$，以便它能夠抵消並使我們更接近 ${\frac {y}{x}}$。(或者，根據乘法的一個基本原理——負數乘以負數等於正數，我們可以乘以 $-1$）。由於這一步的難度很低，我們將把這個關鍵操作留給讀者作為練習。 經過這種操作之後，我們缺少一個因子 ${\frac {1}{x}}$，因為 $y$ 和 ${\frac {y}{x}}$ 之間的唯一區別就是 ${\frac {1}{x}}$ 的因子。因此，我們需要將 $-2S_{1}$ 乘以它。因此，以下操作是成立的 ${\begin{aligned}{\frac {1}{x}}\cdot \left(-2S_{1}\right)&={\frac {1}{x}}\left[-{\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}+{\color {Red}y}\right]\\&={\frac {1}{x}}\cdot \left[-{\frac {2}{x+{\tfrac {4}{3}}}}\right]+{\frac {1}{x}}\cdot {\color {Red}y}\\&=-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}\end{aligned}}$ 我們的計劃終於揭曉了——目標已達成。令 $-{\frac {2}{x}}S_{1}=S_{2}$. 根據我們在 **示例 2.3.d** 中證明的內容，該引理表明我們可以透過加減來合併兩個方程。然而，根據上述陳述，在進行運算 $A+S_{2}$ 時，根據傳遞性質，$A+S_{2}=A-{\frac {2}{x}}S_{1}$，這意味著我們可以在乘以常數或變數時合併兩個方程。這就是我們的引理！該運算成立。首先，我們將透過解決問題來寫出我們工作的結果。（另外，方程的另一邊留作讀者的另一個簡單練習。） (1.2.3.21) $-{\frac {2}{x}}S_{1}=-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}=-50$ 剩下的就是進行我們一直在等待的運算：$A-{\frac {2}{x}}S_{1}$ ${\begin{aligned}A-{\frac {2}{x}}S_{1}&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}{\color {Red}-{\frac {y}{x}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}+{\color {Red}{\frac {y}{x}}}=50-50\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0\end{aligned}}$ (1.2.3.22) $A-{\frac {2}{x}}S_{1}={\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0$ 這僅僅是我們計劃的第一階段。現在我們需要解出$x$。使用公分母來評估表示式會比較好，因為我們可以利用零因子定理。畢竟，分母不能等於零，而分數項為零。因此，分子必須為零。如果分數是單一的，那就很容易評估了。 注意分母項有一個公因數$x+{\frac {4}{3}}$（紅色）。由於問題的設計方式，缺失的因數是$x$。因此，最好將${\frac {x}{x}}$乘以第一個分數。如果你不明白，最好在下面跟著做。 ${\begin{aligned}{\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left({\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}\right)}}&={\frac {x}{x}}\cdot {\frac {{\tfrac {4}{3}}x}{\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {2}{x\left({\color {Red}x+{\tfrac {4}{3}}}\right)}}\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}}{\color {Green}x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}-{\frac {2}{\color {Green}x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}&{\text{(The common denominator is highlighted in green.)}}\\&={\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}-2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0\end{aligned}}$ (1.2.3.23) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}x^{2}-2}{x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)}}=0$ 由於分數項等於零，這意味著分子必須等於零。因此，為了使我們的生活更輕鬆，我們只關注分子。 (1.2.3.24) ${\frac {4}{3}}x^{2}-2=0$ 下面的因式分解形式可能看起來莫名其妙。但是，這將在本華夏公益教科書的多項式章節中解釋。現在，就假裝你理解了，跟著做就可以了。 ${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}x^{2}-2&={\frac {4}{3}}\left(x^{2}-{\frac {3}{2}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\left(x-{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}\right)\left(x+{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\left(x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)\left(x+{\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)=0\end{aligned}}$ (1.2.3.25) $x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ 或 $\Rightarrow x+{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ 題目要求我們從一個正數開始，因此我們只關注會導致該方程正數解的那個方程。 $x-{\frac {\sqrt {6}}{2}}=0$ $\Rightarrow x={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ 在宣稱我們完成了這道題之前，讓我們確保我們的數學推導是有效的。我們需要確保我們沒有陷入將 (1.2.3.23) 變成 ${\frac {0}{0}}$ 的陷阱。為了做到這一點，我們可以利用零因子定理。因為我們不能讓分母等於 $0$，如果我們將分母設為零，我們就知道 $x$ 不能等於什麼。如果我們的解 $x$ 最終導致分母等於零，那麼我們就沒有對問題中提出的原始問題得到解。 (1.2.3.26) $x\left(x+{\tfrac {4}{3}}\right)\neq 0$ 根據零因子定理，$x\neq 0$ 且 $x+{\tfrac {4}{3}}\neq 0$。“求解” $x$ 表明我們的解不會使分母等於零。雖然我們不會顯式地證明這一點，但很明顯 $x={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ 是一個有效的解。 有些讀者可能認為問題已經解決了。然而，我們僅僅處於尋找解決方案計劃的第二階段。問題要求我們找到 _更大_ 的數字，也就是最大的數字，並宣告該數字的大小。因此，我們需要求解 $y$ 並將其與 $x$ 進行比較，然後才能說我們完成了問題。如果我們找到了更大的數字，這可能會浪費時間，但如果我們找到了錯誤的數字，我們會失去分數，因此最好確定答案。 由於 (1.2.3.18) 和 (1.2.3.19) 有一些 $y$，我們將使用這兩個方程式中的一個。如果一個人很聰明，可能會嘗試使用一個簡化後的方程式。我們將允許學生這樣做。我們將選擇使用 (1.2.3.18)，因為我們不需要代入 $x$ 太多，這將使計算變得更容易。無論學生選擇哪個方程式（包含 $y$），計算將很繁瑣。 (1.2.3.27) ${\frac {{\tfrac {4}{3}}\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}}=50$ 讓我們希望我們下面設計的評分方案易於理解。所有可以消去的數字將以紅色突出顯示，而可以因式分解的項將以綠色突出顯示。此外，如果你還記得，平方根函式有一些奇怪的特性，將數字乘以它本身將得到平方根內的數字（此類運算用橙色標記）。記住這些資訊，讓我們應用一些數學。 ${\begin{aligned}{\frac {{\tfrac {\color {Green}4}{3}}\left({\tfrac {\sqrt {6}}{\color {Green}2}}\right)}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)+{\tfrac {4}{3}}}}-{\frac {y}{\left({\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\right)}}&={\frac {\tfrac {2{\sqrt {6}}}{3}}{\tfrac {3{\sqrt {6}}+8}{6}}}-{\frac {2y}{\sqrt {6}}}\\&={\frac {{\color {Green}6}\cdot 2{\sqrt {6}}}{{\color {Green}3}(3{\sqrt {6}}+8)}}-{\frac {2y}{\color {Orange}{\sqrt {6}}}}\cdot {\frac {\sqrt {6}}{\color {Orange}{\sqrt {6}}}}\\&={\frac {2\cdot 2{\sqrt {6}}}{3{\sqrt {6}}+8}}-{\frac {{\color {Green}2}y{\sqrt {6}}}{\color {Green}6}}\\&={\frac {4{\sqrt {6}}}{3{\sqrt {6}}+8}}-{\frac {y{\sqrt {6}}}{3}}\\&={\frac {3(4{\sqrt {6}})-y{\color {Orange}{\sqrt {6}}}(3{\color {Orange}{\sqrt {6}}}+8)}{3(3{\sqrt {6}}+8)}}\\&={\frac {3\cdot 4{\sqrt {6}}-y\cdot 6\cdot 3-y{\sqrt {6}}\cdot 8}{3\cdot 3{\sqrt {6}}+3\cdot 8}}\\&={\frac {12{\sqrt {6}}-18y-8y{\sqrt {6}}}{9{\sqrt {6}}+24}}\\&={\frac {12{\sqrt {6}}-(18+8{\sqrt {6}})y}{9{\sqrt {6}}+24}}=50\\\end{aligned}}$ (1.2.3.28) ${\frac {12{\sqrt {6}}-(18+8{\sqrt {6}})y}{9{\sqrt {6}}+24}}=50$ 我們的計劃即將完成，我們只需要解出 $y$。最簡單的方法是用公式（1.2.3.28）左側的分母乘以等式兩邊。從那裡，很容易證明 $y<x$，而無需完全完成計算。我們將把這一步留給讀者作為非平凡的練習。 根據我們提供的資訊，可以肯定地說 $x>y$，因此較大的那個是 $x$。就大小而言，較大的是 $$x={\frac {\sqrt {6}}{2}}\blacksquare$$

這個例子用於介紹重要的概念證明，可以這麼說，它涉及到對方程組進行的運算。如果瞭解歸納假設，就可以很容易地證明我們對方程組制定的運算適用於任何包含$n$個方程的系統。無論哪種方式，我們對系統最終的現實都會展現出來。

系統的第三個現實

給定兩個方程時，始終可以將兩個方程組合成一個系統，使得該系統中的至少一個方程乘以一個常數。

本文中描述的三個現實將適用於任何以某種方式涉及方程組的問題。我們將在本華夏公益教科書的第二組章節中更多地探討這些想法，包括多於兩個方程的想法。現在，讓我們充分地探討這個概念。

探索 2-3：一對夫婦有一個共同的基金，約翰或瑪麗都會從他們的收入中留出一部分，用於支付必要的支出。約翰願意從他的收入中留出 52% 來支付必要的支出，而瑪麗願意從她的收入中留出 35% 來支付必要的支出。如果必要的支出每月 800 美元，而這對夫婦的總收入每月 2150 美元，瑪麗為了履行她的承諾必須至少留出多少錢？

從我們在示例 2.3.a中建立的設定繼續，可以消除 (1.2.3.1) 中找到的某些變數，以求解 $m$。因為我們想要找到 $m$，我們應該消除 $j$。可以將 (1.2.3.1) 乘以 $-0.52$。然後，透過將這兩個方程相加，我們可以算出 $m$。這將導致 $-0.17m=-318$。我們發現瑪麗的收入是 $1170.59$ 美元。但是，這並不能回答最初的問題：“瑪麗應該留出多少錢來支付必要的支出？”將 32% 的收入乘以該數字即可得到答案：$598.59$ 美元。

注意：接下來的探索需要平方差公式：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$。在我們的 多項式 章節中可以找到該公式的解釋。

探索 2-4：如果兩個數的平均數是它們和的兩倍除以它們的差，並且這兩個平方數的差是 4，那麼最小的數 $s$ 可能是多少？

設這兩個數為 $a$ 和 $b$。以下是對情況的建模

$${\frac {a+b}{2}}={\frac {2\left(a+b\right)}{a-b}}{\text{ where }}a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4$$ 由於有兩個包含相同變數的方程，因此將它們放入一個方程組中： $${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(a+b\right)=2{\frac {\left(a+b\right)}{a-b}}\\\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4\end{cases}}$$ 由於交叉相乘，以下陳述也為真：$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=4\left(a+b\right)$$ 從那裡求解

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=4=4\left(a+b\right)$

$\Rightarrow 1=\left(a+b\right)$

將該值代入方程組的第二個方程，並求解 $a-b$

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=4$

$\Rightarrow \left(a-b\right)\cdot 1=4$

$\Rightarrow \left(a-b\right)=4$

之後，將兩個推匯出的方程代入另一個方程組，並求解 $a$ 和 $b$: $${\begin{cases}\left(a-b\right)=4\\\left(a+b\right)=1\end{cases}}$$ 將兩個方程相加並求解 $a$

$2a=5\Rightarrow a={\frac {5}{2}}=2{\frac {1}{2}}$.

代入任一方程並求解 $b$: $a+b=1\Rightarrow {\frac {5}{2}}+b=1\Rightarrow b=-{\frac {3}{2}}=-1{\frac {1}{2}}$.

因為 $b<a$，$b=s=-1{\frac {1}{2}}$.

稍後將新增更多探索。

不等式中的變數求解

在很多情況下，我們需要了解某些變數的值如何告訴我們整個運算的限制。例如，我們可能需要了解變數的限制，以便我們能夠滿足某些特定條件。

不等式是指一方不一定精確等於另一方的等式。也就是說，一方可能大於 ($>$) 或小於 ($<$) 另一方。從這些推論中，可以得出一些真理。這種可能性給了我們第一個性質。

對於任何兩個實數 $a$ 和 $b$，只存在以下可能性之一

• $a<b$
• $a=b$
• $a>b$

該性質表明，兩個數字不可能同時小於且等於另一個數字。這是不可能的。這就是所謂的 **嚴格不等式**。

存在 **大於或等於** ($\geq$) 和 **小於或等於** ($\leq$)。 然而，對於大於或等於，它只是在說 $a\geq b$，其中 **或者** $a$ 大於 $b$ **或者** $a=b$。 它並不意味著兩者都成立，而是兩者都可能成立。 對於小於或等於，也適用同樣的推理。 因此，一個數字只能處於上述狀態之一。

不等式的傳遞性質

對於任意三個實數 $a$，$b$，和 $c$， 存在以下唯一可能性之一:

• 如果 $a\leq b\leq c$， 那麼 $a\leq c$。
• 如果 $a\geq b\geq c$， 那麼 $a\geq c$。

當任一前提為嚴格不等式時，結論為嚴格不等式

• 如果 $a\leq b<c$， 那麼 $a<c$。
• 如果 $a<b\leq c$， 那麼 $a<c$。
• 如果 $a\geq b>c$， 那麼 $a>c$。
• 如果 $a>b\geq c$， 那麼 $a>c$。

這個性質應該是有道理的。假設$a<b<c$。因為 $b<c$ 並且 $a<b$，我們可以安全地得出結論$a<c$。當涉及到尋找相似的不等式時，這個性質非常重要，尤其是在想要證明某個不等式可能是不可行的時候。請注意，$a<b<c$ 等價於“$a<b$ 並且 $b<c$”。這被稱為 **鏈式記法**。

不等式的逆性質

對於任何兩個實數 $a$ 和 $b$，我們可以得出結論

• 如果 $a<b$，那麼 $b>a$。
• 如果 $a>b$，那麼 $b<a$。

這應該是有道理的。如果 $-3<10$，那麼很明顯 $10>-3$。因為這是一個性質，所以它被定義為真。

不等式的加法性質

對於任何三個實數 $a$，$b$，和 $c$，在不等式的兩邊加上任何實數 $c$ 將得到以下結果

• 對於 $a<b$，$a+c<b+c$。
• 對於 $a>b$，$a+c>b+c$。

假設一個數字處於$a<b$的狀態。如果在不等式的兩邊都加上另一個實數$c$，那麼$a+c<b+c$。這是有道理的，因為如果$a<b$，那麼在兩邊都加上一個常數不會影響不等式，因為兩邊都增加了相同的值。因此，$a$仍然小於$b$。

對於將兩邊乘以同一個實數，也有類似的想法。但是，它比這更復雜一些。我們需要考慮$c>0$和$c<0$的情況。假設有兩個實數$a$和$b$，使得$a<b$。如果兩邊都乘以$c>0$，那麼$ac<bc$，因為兩邊都乘以了相同的數，所以積仍然必須是$ac<bc$。

不等式的乘法性質

對於任何三個實數$a$，$b$，和$c\neq 0$，將實數$c$乘以不等式的兩邊得到以下結果

• 如果$a<b$且$c>0$，那麼$ac<bc$。
• 如果 $a<b$ 且 $c<0$，則 $ac>bc$。
• 如果 $a>b$ 且 $c>0$，則 $ac>bc$。
• 如果 $a>b$ 且 $c<0$，則 $ac<bc$。

類似的除法思想對於任何 $c\neq 0$ 都成立

不等式的除法性質

對於任何三個實數 $a$，$b$ 和 $c\neq 0$，用實數 $c$ 除不等式的兩邊，得到以下結果

• 如果 $a<b$ 且 $c>0$，則 ${\frac {a}{b}}<{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a<b$ 且 $c<0$，則 ${\frac {a}{b}}>{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a>b$ 且 $c>0$，則 ${\frac {a}{b}}>{\frac {b}{c}}$。
• 如果 $a>b$ 且 $c<0$，則 ${\frac {a}{b}}<{\frac {b}{c}}$。

這些性質有它們特殊的應用，在一些問題中非常有用，特別是在不等式組中。

不等式的加法逆性質

對於任意兩個實數 $a$ 和 $b$，將不等式的兩邊乘以 $-1$，得到以下結果

• 如果 $a<b$，則 $-a>-b$。
• 如果 $a\leq b$，則 $-a\geq -b$。
• 如果 $a>b$，則 $-a<-b$。
• 如果 $a\geq b$，則 $-a\leq -b$。

不等式的乘法逆性質

對於任意兩個非零實數 $a$ 和 $b$，將兩邊取其乘法逆元，得到

• 如果 $a<b$，則 ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$。
• 如果 $a\leq b$，則 ${\frac {1}{a}}\geq {\frac {1}{a}}$.
• 如果 $a>b$，則 ${\frac {1}{a}}<{\frac {1}{a}}$.
• 如果 $a\geq b$，則 ${\frac {1}{a}}\leq {\frac {1}{a}}$.

雖然這些性質比等式的性質要多得多，但理解這些性質非常重要，尤其是在處理方程組時。

以後會新增更多內容。

練習

說明：有些問題需要您從五個選項中選擇一個。對於這些問題，請選擇給出的最佳選項。
有些問題需要您在提供的框中鍵入數值答案。
有些問題需要您選擇一個或多個答案選項。

1 初始的兩倍多四等於初始的三倍少三。初始是多少？

2 求解 $x$:
$12x+6={\frac {2x-7}{6}}$

	$-{\tfrac {22}{19}}$
	$-{\tfrac {19}{22}}$
	$-{\tfrac {43}{90}}$
	$-{\tfrac {13}{70}}$
	$-{\tfrac {13}{35}}$

3 初始的兩倍少二等於初始的三倍少更大的兩倍。如果更大的比初始的十二倍少二十四，那麼初始和更大的和是多少？

使用以下資訊回答下面的問題:
$$Mv_{M0}=Mv_{M}+mv_{m}$$

4 一個質量為 $M$ 的方塊以速度 $v_{M0}$ 運動，另一個質量為 $m={\frac {1}{4}}M$ 的方塊，與一根繃緊的繩子連線，繩子高出地面 2 米，處於靜止狀態。較大的方塊與較小的方塊碰撞，導致較小的方塊在空中上升到高度 $h=0.5{\text{ m}}$，在 $\Delta \theta ={\frac {\pi }{6}}$ 弧度 $1.5$ 秒內。描述運動的方程在上面給出。角速度的切向速度為 $v={\frac {\Delta \theta }{r}}$ 下面的方程決定了外部系統的動能。如果一側的動能與另一側的動能不同，則認為該系統是非彈性的。根據以下資訊，該系統保證哪些是正確的？選擇所有適用選項。注意： $g\approx 10{\tfrac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$.
$${\frac {1}{2}}M{v_{M0}}^{2}={\frac {1}{2}}M{v_{M}}^{2}+mgh$$

	較小的方塊的最終速度與 $10{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$ 成正比。
	碰撞後，較大的方塊的運動方向與較小的方塊相反。
	該系統是彈性的。

5 求解 $x$：$x+2x+\ldots +9x+10x+11x=66$

$x=$

6 設 $a\in \mathbb {R}$ 且 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$。如果 $0>c>ab$ 且 $a=b^{-1}+c$，那麼哪些結論一定是正確的？請選擇所有適用的結論。

	$ac^{-1}>b^{-1}$
	$1+bc>c$
	$a-b^{-1}<0$

7 如果 $x\left({\frac {5}{2}}x+{\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {1}{3}}x-{\frac {2}{3}}\right)=0$，求解滿足 $x\geq 1$ 的唯一解。(1.5 分)

$x=$

8 如果 $x+c=y+c$，且 $xc<yc$，那麼在給定條件下，哪個不等式是正確的？

	$x-c<y-c$
	$x\left(c+1\right)-c\geq y\left(c-1\right)$
	$x\left(c+1\right)-c\leq y\left(c-1\right)$
	$x-c>y-c$
	在這種情況下，不存在正確的 不等式。

9 已知 $x$，$y$，$z$ 是大於零的常數實數，且 $xz\leq yz\leq z$，哪些結論一定是正確的？請選擇所有適用的結論。

	$1\geq x^{-1}y\geq x^{-1}$
	$x\leq y\leq 1$
	$xy^{-1}z\leq z\leq y^{-1}z$

以後會新增更多內容。

腳註

1. 汽車上的“力”指的是合力，即 $\mathbf {F} _{\text{net}}=m\mathbf {a}$. 加速度 $\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{T}}$，題目中給出為 $5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$。質量 $m=400{\text{ kg}}$。由此，我們可以確定合力為 $\mathbf {F} _{\text{net}}=\left(400{\text{ kg}}\right)\left(5{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right)=2000{\text{ kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}=2,000{\text{ Newtons}}$.
2. 注意我們提到了 $g=0$ 或 $-M\mu _{k}+m=0$。 這是因為並不總是真的，兩者都必須等於零。 我們只需要至少一個為真。 在這裡，$g\approx -9.81$，這不是零！ 但是，在代數的背景下，我們說的是，如果我們要用 $g\left(-M\mu _{k}+m\right)=0$ 的因式分解形式，那麼我們可以說因式 $g=0$ 或因式 $-M\mu _{k}+m=0$，這樣我們就可以忽略 $g$ 以瞭解更多關於 $m$ 的資訊。 在瞭解了這一點之後，我們現在可以確定 $-M\mu _{k}+m=0$。 否則，該方程將毫無意義。 或者，如果有人沒有在兩個項中都看到 $g$ 的因子，那麼他們可以簡單地執行相同的步驟，然後乘以 ${\frac {1}{g}}$。 這就是我們確切的意思
   $gm-gM\mu _{k}=0\Rightarrow gm=gM\mu _{k}\Rightarrow m=M\mu _{k}$