控制系統/奈奎斯特穩定性判據

奈奎斯特穩定性判據

奈奎斯特穩定性判據是用於測試系統穩定性的測試，類似於 勞斯-赫爾維茨 測試或 根軌跡 方法。然而，奈奎斯特判據可以提供關於系統的更多資訊。勞斯-赫爾維茨和根軌跡可以告訴我們系統極點在特定增益值下的位置。透過改變系統的增益，我們可以確定是否有任何極點移動到右半平面 (RHP)，從而變得不穩定。然而，奈奎斯特判據可以告訴我們關於系統頻率特性的資訊。例如，一些具有恆定增益的系統可能在低頻輸入下穩定，但在高頻輸入下變得不穩定。

這是一個例子，說明系統對不同頻率輸入值的響應不同：考慮一杯普通的水。如果水暴露在普通陽光下，它不太可能過熱。然而，如果水暴露在微波輻射中（例如，來自你的微波爐內部），水將迅速沸騰。

此外，奈奎斯特判據可以告訴我們關於輸入訊號相位、系統時間延遲和其他重要資訊。

輪廓

輪廓是一個複雜的數學構造，但幸運的是，我們只需要關心它們的一些點。我們用希臘字母 Γ (gamma) 來表示輪廓。輪廓是畫在圖上的線，它們遵循某些規則

1. 輪廓必須閉合（它必須形成一個完整的迴圈）
2. 輪廓不能直接穿過系統的極點。
3. 輪廓必須有方向（通常是順時針或逆時針）。
4. 如果輪廓沒有自相交，則稱為“簡單”輪廓。這裡我們只考慮簡單輪廓。

一旦我們有了這樣的輪廓，我們就可以建立關於它們的幾個重要定理，最後利用這些定理來推匯出奈奎斯特穩定性判據。

幅角原理

以下是幅角原理，我們將用它來推匯出穩定性判據。如果你不理解所有術語，不要擔心，我們會逐步講解。

幅角原理

如果我們在一個平面（例如復拉普拉斯平面）中繪製了一個輪廓 Γ，我們可以透過函式 F(s) 來變換這個輪廓，將其對映到另一個平面，即 F(s) 平面。結果輪廓，$\Gamma _{F(s)}$ 將圍繞 F(s) 平面原點旋轉 N 次，其中 N 等於 Z 和 P 之差（函式 F(s) 的零點和極點的數量分別）。

當我們有了輪廓 Γ 後，我們透過將輪廓上的每個點代入函式 F(s)，並將結果值作為變換後的輪廓上的一個點，將其變換為 $\Gamma _{F(s)}$。

示例：一階系統

例如，假設 Γ 是復 s 平面中的一個單位正方形輪廓。正方形的頂點位於點 I、J、K、L，如下所示

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

我們還必須指定輪廓的方向，我們（任意地）說它是順時針輪廓（從 I 到 J 到 K 到 L）。我們還將定義我們的變換函式 F(s) 為以下內容

$F(s)=2s+1$

我們可以分解 F(s) 的分母，我們可以證明在 s → -0.5 處有一個零點，並且沒有極點。將此根繪製在與我們的輪廓相同的圖形上，我們可以清楚地看到它位於輪廓內。由於 s 是一個復變數，定義了實部和虛部，如下所示

$s=\sigma +j\omega$

我們知道 F(s) 也必須是複數。為了簡單起見，我們說 F(s) 平面中的軸是 u 和 v，它們之間的關係如下

$F(s)=u+vj=2(\sigma +j\omega )+1$

從這種關係，我們可以用 σ 和 ω 來定義 u 和 v

$u=2\sigma +1$

$v=2\omega$

現在，為了變換 Γ，我們將輪廓的每個點代入 F(s) 中，所得的值將是 $\Gamma _{F(s)}$ 的點。我們將求解複數值 u 和 v，並且我們將從頂點開始，因為它們是最簡單的示例

$u+vj=F(I)=3+2j$

$u+vj=F(J)=3-2j$

$u+vj=F(K)=-1+2j$

$u+vj=F(L)=-1-2j$

我們可以將頂點之間的直線視為 s 的函式，並將整個函式代入變換。幸運的是，因為我們使用的是直線，我們可以大大簡化

• 從 I 到 J 的直線：$\sigma =1,u=3,v=\omega$
• 從 J 到 K 的直線：$\omega =-1,u=2\sigma +1,v=-1$
• 從 K 到 L 的直線：$\sigma =-1,u=-1,v=\omega$
• 從 L 到 I 的直線：$\omega =1,u=2\sigma +1,v=1$

當我們繪製這些函式時，從頂點到頂點，我們看到 F(s) 平面中的所得輪廓是一個正方形，但沒有以原點為中心，並且尺寸更大。請注意輪廓如何圍繞 F(s) 平面的原點轉動一次。這在後面會很重要。

示例：二階系統

假設我們有一個稍微複雜一點的對映函式

$F(s)={\frac {s+0.5}{2s^{2}+2s+1}}$

我們可以清楚地看到 F(s) 在 s → -0.5 處有一個零點，並且在 s → -0.5 + 0.5j 和 s → -0.5 - 0.5j 處有一對共軛復極點。我們將使用上面相同的單位正方形輪廓 Γ

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

我們可以清楚地看到 F(s) 的極點和零點位於 Γ 內。將 F(s) 設定為 u + vj 並求解，我們得到以下關係

$u+vj=F(\sigma +j\omega )={\frac {(\sigma +0.5)+j(\omega )}{(2\sigma ^{2}-2\omega ^{2}+2\sigma +1)+j(2\sigma \omega +\omega )}}$

現在有點困難，因為我們需要簡化整個表示式，並將其分離成實部和虛部。有兩種方法可以做到這一點，但它們都不像這裡展示的那樣簡短或容易

1. 我們將分子和分母多項式轉換為以 r 和 θ 表示的極座標形式，然後執行除法，最後再轉換為直角座標形式。
2. 我們將輪廓的每個線段代入這個方程，然後進行數值簡化。

奈奎斯特輪廓

奈奎斯特等高線，使整個奈奎斯特准則起作用的等高線，必須包圍複平面的整個不穩定區域。對於模擬系統，這是復 s 平面的右半部分。對於數字系統，這是單位圓外的整個平面。請記住，如果閉環傳遞函式的極點（或等效於特徵方程的零點）位於複平面的不穩定區域，則該系統是不穩定的系統。

模擬系統

模擬系統的奈奎斯特等高線是一個無限的半圓，它包圍了 s 平面的整個右半部分。半圓沿虛軸從負無窮大到正無窮大移動。從正無窮大開始，等高線從虛軸脫離，以順時針方向，形成一個巨大的半圓。

數字系統

數字系統中的奈奎斯特等高線是單位圓的逆時針包圍。

奈奎斯特准則

首先介紹處理奈奎斯特准則時最重要的方程

$N=Z-P$

其中

• N 是包圍 (-1, 0) 點的圈數。
• Z 是特徵方程的零點數。
• P 是開環特徵方程的極點數。

有了這個方程，我們現在可以說明奈奎斯特穩定性判據

奈奎斯特穩定性判據

當 P 為 0 時，如果且僅當 F(s) 平面中的等高線 $\Gamma _{F(s)}$ 不包圍 (-1, 0) 點，則反饋控制系統是穩定的。

當 P 為 0 時，如果且僅當 F(s) 平面中的等高線 $\Gamma _{F(s)}$ 包圍 (-1, 0) 點的次數等於 Γ 包圍的 F(s) 的極點數，則反饋控制系統是穩定的。

換句話說，如果 P 為零，則 N 必須等於零。否則，N 必須等於 P。從本質上講，我們是在說 Z 必須始終等於零，因為 Z 是特徵方程的零點數（因此也是閉環傳遞函式的極點數），它們位於 s 平面的右半部分。

請記住，我們不一定知道特徵方程所有零點的具體位置。因此，如果我們使用奈奎斯特准則發現極點數不等於 N，那麼我們就知道右半平面中一定有一個零點，因此該系統是不穩定的。

奈奎斯特 ↔ 波德

仔細觀察奈奎斯特圖會發現它與系統的波德圖之間存在驚人的關係。如果我們使用波德相點陣圖作為角度 θ，使用波德幅值圖作為距離 r，那麼很明顯，系統的奈奎斯特圖僅僅是波德圖的極座標表示。

要從波德圖獲得奈奎斯特圖，我們取每個頻率 ω 處的相位角和幅值。我們將幅值從分貝轉換回增益比。然後，我們在極座標圖上繪製有序對 (r, θ)。

Z 域中的奈奎斯特

奈奎斯特准則可以在數字域中與模擬系統一樣使用。使用準則的主要區別在於奈奎斯特等高線的形狀必須發生變化，以包圍 Z 平面的不穩定區域。因此，數字系統的奈奎斯特等高線不是無窮小的半圓，而是一個逆時針的單位圓。透過改變等高線的形狀，相同的 N = Z - P 方程依然成立，得到的奈奎斯特圖通常看起來與模擬系統的奈奎斯特圖相同，並且可以以相同的方式解釋。

← 根軌跡

控制系統

可控性和可觀測性 →