FHSST 物理學/動量/衝量

本章開頭提到，動量與力密切相關。現在我們將解釋這種聯絡的性質。

考慮一個質量為 m 的物體，以恆定加速度 ${\overrightarrow {a}}$ 運動。在時間 $\Delta$t 內，物體的速度從初速度 ${\overrightarrow {u}}$ 變為末速度 ${\overrightarrow {v}}$（參見圖 6.3）。我們從牛頓第一定律知道，一定有一個合力 ${\overrightarrow {F}}_{Res}$ 作用於該物體。

圖 6.3：一個物體在合力的作用下。

從牛頓第二定律出發，

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}&=&m{\overrightarrow {a}}\\&=&m({\frac {{\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}})\qquad \qquad {\rm {{since}\qquad {\overrightarrow {a}}={\frac {{\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}}}}\\&=&{\frac {m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {\Delta {\overrightarrow {p}}}{\Delta t}}\end{matrix}}$

這種牛頓第二定律的另一種形式被稱為動量定律。

數學上，

${\overrightarrow {F}}_{Res}={\frac {\Delta {\overrightarrow {p}}}{\Delta t}}$
${\overrightarrow {F}}_{Res}$	: 合力 (N + 方向)
$\Delta {\overrightarrow {p}}$	: 動量變化 ($kg.m.s^{-1}$ + 方向)
$\Delta$t	: ${\overrightarrow {F}}_{Res}$ 作用的時間 (s)

重新整理動量定律,

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\Delta {\overrightarrow {p}}.\end{matrix}}$

乘積 ${\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t$ 稱為衝量,

$\mathrm {Impulse} \equiv {\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t=\Delta {\overrightarrow {p}}$

從這個方程式中我們可以看到，對於給定的動量變化，${\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t$ 是固定的。因此，如果 F_Res 減小，$\Delta t$ 必須增加（即合力必須作用更長時間）。或者，如果 $\Delta t$ 減小（即合力作用時間更短），則合力必須增加才能產生相同的動量變化。

例題 36 衝量和動量變化

問題：一個 150   N 的合力作用在一個 300   kg 的物體上。計算此力使物體速度從 $2\ m.s^{-1}\ to\ the\ right$ 改變到 $6\ m.s^{-1}\ to\ the\ right$ 所需的時間。

答案

步驟 1 

分析問題以確定已知條件。問題明確給出

• 物體的質量，
• 物體的初速度，
• 物體的末速度，以及
• 作用在物體上的合力

所有都以正確的單位給出！

步驟 2 

要求計算什麼？我們被要求計算使物體從給定的初速度加速到末速度所需的時間 $\Delta t$。根據動量定律，

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\Delta {\overrightarrow {p}}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}\\&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}).\end{matrix}}$

因此，我們擁有尋找 $\Delta t$ 所需的一切！

步驟 3

首先，我們選擇一個正方向。雖然沒有明確說明，但合力向右作用。這是由於物體在這個方向上的速度增加。因此，我們選擇右為正方向。

步驟 4

代入，

右為正方向

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}})\\(+150N)\Delta t&=&(300kg)((+6{\frac {m}{s}})-(+2{\frac {m}{s}}))\\(+150N)\Delta t&=&(300kg)(+4{\frac {m}{s}})\\\Delta t&=&{\frac {(300kg)(+4{\frac {m}{s}})}{+150N}}\\\Delta t&=&8s\end{matrix}}$

例項 37 計算衝量

問題： 一個重量為 156 克的板球以 54 公里/小時的速度向一名擊球手移動。擊球手將其擊回給投球手，速度為 36 公里/小時。計算 i) 球的衝量，以及 ii) 球與球棒接觸 0.13 秒時球棒施加的平均力。

答案

步驟 1 

分析問題以確定已知條件。問題明確給出

• 球的質量，
• 球的初始速度，
• 球的最終速度，以及
• 球棒和球接觸的時間

除了時間之外的所有單位都錯誤！

答案 (i)

步驟 2 

要求什麼？要求我們計算衝量

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} =\Delta {\overrightarrow {p}}={\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t.\end{matrix}}$

由於我們沒有球棒對球施加的力 (${\overrightarrow {F}}_{Res}$)，我們必須從球的動量變化中計算衝量。現在，由於

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {p}}&=&{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}},\end{matrix}}$

我們需要球的質量、初始速度和最終速度，這些都已給出。

步驟 3：首先，讓我們更改質量的單位

${\begin{matrix}1000g&=&1kg\\1&=&{\frac {1kg}{1000g}}\\156g\times 1&=&156g\times {\frac {1kg}{1000g}}\\&=&0.156kg\end{matrix}}$

步驟 4

接下來我們改變速度的單位。

${\begin{matrix}1km&=&1000m\\1&=&{\frac {1000m}{1km}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}3600s&=&1hr\\1&=&{\frac {1hr}{3600s}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}54{\frac {km}{hr}}\times 1\times 1&=&54{\frac {km}{hr}}\times {\frac {1000m}{1km}}\times {\frac {1hr}{3600s}}\\&=&15{\frac {m}{s}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}36{\frac {km}{hr}}\times 1\times 1&=&36{\frac {km}{hr}}\times {\frac {1000m}{1km}}\times {\frac {1hr}{3600s}}\\&=&10{\frac {m}{s}}\end{matrix}}$

步驟 5

接下來我們必須選擇一個正方向。我們選擇從擊球手到投球手的方向為正方向。那麼球的初速度為 ${\overrightarrow {u}}=-15\ m.s^{-1}$，而球的末速度為 ${\overrightarrow {v}}=+10\ m.s^{-1}$

步驟 6

現在我們計算動量的變化

從擊球手到投球手的方向是正方向

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {p}}&=&{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}\\&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}})\\&=&(0.156kg)((+10\ m.s^{-1})-(-15\ m.s^{-1}))\\&=&+3.9\ kg.m.s^{-1}\\&=&3.9\ kg.m.s^{-1}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

在最後一步，我們記住了用文字描述動量變化的方向。

步驟 7

最後，由於衝量只是球的動量變化，

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} &=&\Delta {\overrightarrow {p}}\\&=&3.9\ {\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-1}\\&=&3.9\ {\mbox{N}}\cdot {\mbox{s}}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

問題 (ii) 的答案

步驟 8

要求我們做什麼？我們被要求計算球拍對球施加的平均力，${\overrightarrow {F}}_{Res}$。 現在，

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} ={\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t=\Delta {\overrightarrow {p}}.\end{matrix}}$

我們被告知了$\Delta t$，並且我們在部分 (i) 中計算了球的動量變化或衝量！

步驟 9

接下來我們選擇一個正方向。 讓我們選擇從擊球手到投球手的方向作為正方向。 然後代入，

從擊球手到投球手的方向是正方向

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\mathrm {Impulse} \\{\overrightarrow {F}}_{Res}(0.13s)&=&+3.9{\frac {kg.m}{s}}\\{\overrightarrow {F}}_{Res}&=&{\frac {+3.9{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{\mbox{s}}}}{0.13{\mbox{ s}}}}\\&=&30{\mbox{ N}}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

在最後一步中，我們記得用文字包含力的方向。